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2025年河北省初中学业水平考试数学试卷
注意事项：
1.本试卷共8页，总分120分，考试时间 120分钟.
2. 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置.
3. 所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
4. 答选择题时，用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题.
5. 考试结束时， 请将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（ ）
A．2cm B．6cm C． D．10cm
5．一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（ ）
A． B． C． D．
6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C．3 D．6
9．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
10．在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．计算：______．
14．平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可）
15．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．
16．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．
（参考数据：，）
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分7分）
（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组的解集．
18．（本小题满分8分）
（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
19．（本小题满分8分）
如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
20．（本小题满分8分）
某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前产品的年产量；
（2）直接写出，的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
21．（本小题满分9分）
如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当四边形为菱形时，求的长；
（3）当时，求的长．
22．（本小题满分0分）
一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
23．（本小题满分11分）
综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形的周长为______；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线符合要求．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
（4）如图5，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
①当时，求的值；
②当最大时，直接写出的长．
24．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．
（1）求，的值及点的坐标．
（2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
（3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．
①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；
②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．
参考答案
1-12：
B
C
B
C
A
C
A
B
D
B
D
A
13.
14.（答案不唯一）
15.99
16.
17.解：（1）
不等式两边同时除以2得，
数轴表示如下所示：
（2）
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（3）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
18.解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
19. （1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即.
20. (1）万件
（2），
（3）甲种方案总成本较低
21.（1）
（2）
（3）或
22.（1）
（2），
（3）
23.（1）解：四边形是矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，
以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形的对角线交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
直线把矩形分成周长相等的两部分；
（3）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
（4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
．
24.（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为
∴
解得：，
∴，
∴；
（2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则
∴当时，
解得：或
∴或
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴经过点和
∴不能经过点,
（3）①∵，
当重合时，则
∵是中点，
∴,
∵点恰好落在上，经过点
∴
解得：；
②∵直线交于点，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴
联立
消去得，
∴，则
∵点的横坐标是点横坐标的一半．
∴即，
将代入，
∴①
∵点为直线与的唯一公共点，
∴②
联立①②得：或，
当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，
∴．

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