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2025年广西壮族自治区南宁市第三中学中考三模数学测试卷
一、单选题
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）．
A． B． C． D．3
2．以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
3．下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
6．如图，货轮在航行的过程中，发现灯塔位于它的北偏东，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如果，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
9．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心．，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
10．某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠，使点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
12．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…，按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
13．比较大小：2 （填或或）．
14．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红色球的频率为，则估计该布袋中红色球有 个．
15．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度的长为 尺．

16．如图，点P是菱形对角线上的一点，，点E，F分别在上，且，分别连接并延长交于点H，G．记，当k的值达到最大时，的长为 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中的每个小正方形的边长为1）．
(1)画出向下平移6个单位得到的；
(2)在内有一点，点P在经过（1）的平移后，其对应点的坐标为______；
(3)以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为．
19．全球已经进入大数据时代，大数据（bigdata）是指数据规模巨大、类型多样且信息传播速度快的数据库体系．大数据在推动经济发展，改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次参与调查的人数是______，扇形统计图中D部分的圆心角的度数是______；
(2)补全条形统计图；
(3)从统计图中你能获取什么信息？（写出一条即可）
(4)我市市民约有900万人，请估计关注教育资源信息的市民有多少万人．
20．在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度．
小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）：
步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向．
步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角．
(1)步骤二中蕴含的一个数学知识是：______；
(2)测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）．
21．如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，，分别与交于点E，F，连接，，．
(1)求证：；
(2)若的半径为2，，，求的长．
22．阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律．
【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______．
【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）；
【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题：
①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值；
②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数．
23．综合与探究
【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法．
如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即，
∴，
∵，∴．
又∵是边上的高，且为定值，∴为定值．
【类比探究】
（1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程．
【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长．
【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．A
5．C
6．A
7．D
8．B
9．C
10．A
11．C
12．B
解：依题意
13．<
14．15
15．4.55
16．2
17．（1）

；
（2）
18．（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：∵向下平移6个单位得到的，
∴点在经过（1）的平移后，其对应点的坐标为，即；
（3）解：如图所示，即为所求．
19．（1）本次参与调查的人数是（人）；
，
故答案为：1000；；
（2）（人）
补全的条形统计图如图所示：
（3）由统计图知，关注交通信息的人数最多．（答案不唯一，合理即可）
（4）（万人），
答：估计关注教育资源信息的市民有180万人．
20．（1）解：读出角的度数，就是所测目标的仰角的依据是对顶角相等，因此步骤二中蕴含的一个数学知识是：对顶角相等；
（2）解：过点D作于点H，如图所示：
∴，
由题意可知，，，
∴四边形为矩形，
∴，设，
在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，
∴．
答：该信号塔顶端到地面的高度约为88米．
21．（1）证明：∵直线l与相切于点A，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵直线l与相切于点A，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴∽，
∴，即，
∴．
22．解：（1）∵点，，，，
分别验证：，
，
，
，
∵与的关系为．
故答案为：；
（2）根据“邂逅点”满足：
对于：，满足，是“邂逅点”．
对于：，不满足，不是“邂逅点”．
对于：，不满足，不是“邂逅点”．
故点A是“邂逅点”．
故答案为：A；
（3）①∵P是“邂逅点”，
∴，
∴，
将代入中，得
，
即k的值为．
②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为，
设两个“邂逅点”的横坐标分别为，，
联立，得
，
则，
∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数．
23．（1）解：四边形是矩形，
，，，，，
，，
，，
，
解得；
（2）四边形是矩形，
，，，
，
连接，过点作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
，，，
，
，
，
的周长；
（3）如图，连接，，，过点作，
为等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．

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