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重庆市南川区三校联盟2024-2025学年八年级下学期5月联合诊断（期中）数学试题
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
4．如图，为测量位于一水塘旁的两点间的直线距离，在地面上确定可直线到达点、点的点，分别取的中点，量得，则之间的直线距离是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一次函数（），随的增大而增大，则的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．
6．估计的值在（　　）
A．7到8之间 B．8到9之间 C．9到10之间 D．10到11之间
7．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．时，两架无人机都上升了
B．时，两架无人机的高度差为
C．乙无人机上升的速度为
D．时，甲无人机距离地面的高度是
9．如图，在正方形中，M是边上一点，E是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．定义一种新运算：，例如：，给出下列说法：
①；
②的解集为；
③若点P是函数的图象上一点，则点P到x轴的距离最小值是2．
以上说法中正确的是( )
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．如图，在菱形中，，，点为边的中点，连接．则的长是 ．
13．一次函数的图象经过点两点，则的值为 ．
14．如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ．
15．已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为 ．
16．M是一个四位数自然数各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是 ；已知知M为95数，若，当最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．学行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点D作的角平分线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：四边形是平行四边形，连接平分平分．求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，①________，
．
平分平分，
．
②________，
③________
，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形为④________．
19．先化简，再求值：，其中．
20．已知关于的函数．
(1)若y是x的正比例函数，求m的值；
(2)若，求该函数图象与轴的交点坐标．
21．如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
22．如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．
23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
24．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收取费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是________，乙种收费方式的函数关系式是________．
(2)该校某年级每次需印刷（含200和500）份学案，选择哪种印刷方式较合算．
25．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、．
(1)求证：；
(2)在图1中，若在上，且，连接，求证：；
(3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长；
②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________．
参考答案
1．B
解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．B
解：选项ACD中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A、C、D均不符合题意；
B、对于自变量x的值，因变量y不是唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
故选：B．
3．A
解：四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
故选：A．
4．D
解：∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
5．A
解：一次函数，随的增大而增大，
，
在四个选项中，只有A选项，，
故选：A
6．A
解：
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7．D
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D选项正确；
故选：D．
8．B
解：由图象可得，
A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误；
C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误；
B．时，两架无人机的高度差为：，故正确；
D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误；
故选：B．
9．D
解：①延长交的延长线于，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
E是的中点，
，
在和中
，
（），
，
，
故①正确，
②，，
平分，
故②正确；
③设，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故③正确；
④由①得：
，
，
，
故④正确；
故选：D．
10．D
解：∵，，
∴，故正确；
当，即时，
由得，，
解得，
∴不等式无解，该情况不存在；
当，即时，
由得，，
解得，
∴，故错误；
当，即时，，
∵，
∴，
∴点到到轴的距离大于；
当，即时，
，
当时，，
∵，
∴随的增大而减小，
又∵，
∴点到到轴的距离大于；
∴点到到轴的距离大于，故正确；
∴正确的是：①
故选：．
11．
解：根据题意可知：，
解得∶，
故答案为：
12．//
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
故答案为：．
13．3
解：将两点代入可得：，解得：，
所以．
故答案为：3．
14．
解：∵四边形是矩形，
，
∵垂直平分，
∴垂直平分，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
四边形是矩形，
，
，
令，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
解：解不等式，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴，
解得，
∴的范围为，
∵为整数，
∴为、、，
∴满足条件的整数的和为．
故答案为：．
16． 1382 7619
解：∵，即
要得这个数是最小的95偶数M，则要最小，即，要最小且为偶数，即，
∴，，
即最小的95偶数；
∵为95数，
∴，
∵，
要使得最大，千位要尽可能大，从9开始考虑，
若，则大于90，则小于5，与为两位数矛盾，不符合题意；
若，则只能为1，此时，
∴，
当时，有最大值14，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意；
若，则可以取1，2，
当时，此时，
∴，
当时，有最大值13，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意；
当时，此时，
∴，
当时，是8的倍数且最大，符合题意；
综上，最大的最美95数是7619．
故答案为：1382，7619．
17．(1)
(2)
（1）解：
．
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，①，
．
平分平分，
．
②，
③，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
19．化简结果：；求值结果：
解：，
，
，
，
，
将代入得．
20．(1)3
(2)函数图象与x轴的交点坐标为
（1）解：是的正比例函数，
，
解得．
故的值为：3．
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
当时，该函数图象与轴的交点坐标为．
21．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：点是的中点，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，，
四边形是平行四边形．
22．(1)
(2)图像见详解，性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）
(3)1或4
（1）解：如图：当，
如图：当时，
∴，
综上所述：；
（2）解：函数的图象为，
一条性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：观察图象可得时或．
23．(1)见解析
(2)
（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
24．(1)，；
(2)当时，选择乙种方式合算；当时，甲、乙两种方式一样合算；当时，选择甲种方式合算．
（1）解：设甲种收费的函数关系式，乙种收费的函数关系式是，
由题意，得，，
解得：，，
∴，；
则甲种收费方式的函数关系式是（且x为整数），
乙种收费方式的函数关系式是（且x为整数），
（2）解：由题意，得当时，，得；；
当时，，得；
当时，，得；
当时，选择乙种方式合算；
当时，甲、乙两种方式一样合算；
当时，选择甲种方式合算．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
（1）证明：在正方形中，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，，
，
（已证），
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点，
由（2）和题设知：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
；
②如图，把旋转得到，过作于，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．

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