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第二十五章概率初步
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列成语所描述的事件中，随机事件是（　　）
A．百步穿杨 B．瓮中捉鳖 C．旭日东升 D．水中捞月
3．有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各5双，混杂在一个黑色的布袋里，要保证从中摸取不同颜色的筷子共两双，则至少要摸出（ ）只筷子．
A．12 B．13 C．14 D．15
4．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．不透明布袋中有个白球，若干个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，如果取到白球的概率最大，那么布袋中的黄球可能有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个以上
6．在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（ ）
A．6个 B．19个 C．25个 D．26个
7．一个不透明的袋中，装有4个黄球、3个红球和3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出1个球，是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中正确的是（ ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2
9．一个不透明袋子中装有8个红球、个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能为（　　）
A．10 B．5 C．3 D．2
10．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
11．2024年“甲骨文杯”安阳马拉松赛于4月21日开赛，共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑项目．现从这三个项目中随机选择两项进行推广，则选到欢乐跑项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．足球队员小航每场比赛的进球率约为，若他明天将参加一场足球比赛，则下列说法正确的是（ ）
A．小航明天肯定进球
B．小航明天每射球10次必进球1次
C．小航明天一定不能进球
D．小航明天有可能进球
二、填空题
13．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ．
14．小英和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色）每个转盘均被分成面积相等的几个扇形，将两个转盘各转动一次，若配成紫色，则小英获胜，否则小丽获胜，则小英获胜的概率是 ，小丽获胜的概率是 ，可知这个戏规则 ．（填“公平”或“不公平”）

15．木箱中装有14个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中篮球的个数为 ．
16．如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
17．甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4名有 种可能情况．
三、解答题
18．一只不透明的袋中装有一定数量的红球和黄球（它们除颜色外，其余完全相同），小明设计了一个摸球游戏，共摸了次，每次摸出个球，记录其颜色后把球放回袋中，再摸下一次，每次摸球前都把球搅匀．结果有次摸到黄球，次摸到红球，于是小明说：“袋中的红球一定比黄球少．”你认为他的结论正确吗？说明你的理由．
19．一只不透明的袋中装有红球和黄球（它们除颜色外，其余完全相同），全班同学做摸球试验，从袋中任意摸出1个球再放回袋内（每次摸球之前都要搅匀袋中的球）．经过多次试验后，发现摸到红球的频率比黄球大．这可能是什么原因？
20．抛掷一枚如图所示的质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有点）200次，所得朝下面上的点数的依次记录如下（12314表示掷了五次，朝下面上的点数分别为）：
，
，
，
，
．
(1)将下表填写完整：
抛掷次数 1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80
出现1点的频数 1 2 4 6 6 8 9 14 15 17 20 20
出现1点的频率
抛掷次数 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
出现1点的频数 21 25 28 30 31 34 38 39
出现1点的频率
(2)将表中“出现1点”的频率绘制成折线统计图．
(3)当抛掷这枚骰子的次数很大时，你认为“出现1点”的频率在哪个常数附近摆动（精确到）？
21．将社团学生分成6组，各组男、女生的人数如下表：
组 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
男生 6 5 4 5 5 6
女生 5 6 6 5 6 5
从社团选出1名劳动标兵，求下列事件发生的概率．
(1)标兵是第2组的男生；
(2)标兵是第4组的学生；
(3)标兵是女生．
22．如图，把一个圆形转盘的面积按照的比例分为A，B，C三个扇形区域，自由转动转盘，求停止后指针落在B区域的概率．
23．小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下：
公交车 用时/分
A线路 59 151 166 124
B线路 43 57 149 251
(1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？
(2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？
24．有甲、乙、丙三个不透明的布袋，在甲袋中放有12个红球，在乙袋中放有6个红球，6个黄球，在丙袋中放有12个黄球，这些球除颜色外，其它都相同，从三个袋中任意摸出一球，哪一个可以使“摸到红球”是必然发生的？哪一个可以使“摸到红球”是不可能发生的？哪一个可以使“摸到红球”是随机发生的？
《第二十五章概率初步》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C A D C C A C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可．
【详解】解：观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近，
摸到白球的概率会接近，
袋中白球的个数为，
估计袋子中共有（个）球，
可估计袋子中黑球的个数为（个），
故选：C．
2．A
【分析】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】解：A、百步穿杨是随机事件，故A正确；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故B错误；
C、旭日东升是必然事件，故C错误；
D、水中捞月是不可能事件，故D错误：
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查概率相关知识，根据最不利的情况，即某一种颜色的筷子全部取出，共10只筷子，此时袋内只剩两种颜色的筷子，只要任意摸出3只，便可组成一双颜色相同的筷子．
【详解】解：如果前面一直摸出某一种颜色的筷子，共10只筷子，此时袋内只有两种颜色的筷子，另外摸出一双即可，如果又摸两只仍为不同颜色，再摸一只便可组成一双，此时共摸出只，则至少摸出13只筷子．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了列举法求概率．正确的列表是解题的关键．
根据题意列表格，然后求概率即可．
【详解】解：由题意，列表如下；
第一次抛掷 第二次抛掷
正 反
正 （正，正） （正，反）
反 （反，正） （反，反）
由表可知，共有4种等可能结果，其中2次抛掷的结果都是反面向上有1种等可能的结果，
∴2次抛掷的结果都是反面向上的概率为，
故选：C．
5．A
【分析】根据已知条件可得白球的数量应比黄球的数量多，即黄球的数量应少于个，从而确定答案．
【详解】解：∵不透明布袋中由个球，若干个黄球
∴若要从袋子中随机取出个球，如果取到的白球的概率最大，那么白球的数量应比黄球的数量多
∴黄球的数量应少于个
∴布袋中的黄球可能有个或个，那么只有选项符合题意
故答案为：
【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，包含数目多的概率最大．
6．D
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数．
【详解】解：∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，
∴摸到白球的频率稳定在左右，
∴白球的个数为：，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据一个不透明的袋中，装有4个黄球、3个红球和3个白球，求出从袋中任意摸出1个球，是红球的概率即可．
【详解】解：P（摸出1个球是红球）．
故选：C．
8．C
【分析】
根据全面调查和抽样调查的定义、必然事件和随机事件的定义、样本容量的定义、方差的定义逐项判断即可．
【详解】A、总体数量较大，应采用抽样调查，说法错误，该选项不符合题意；
B、中考期间一定会下雨，可能发生，也可能不发生，该事件为随机事件，说法错误，该选项不符合题意；
C、说法正确，该选项符合题意；
D、这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差为18，说法错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全面调查和抽样调查、必然事件和随机事件、样本容量、方差，牢记全面调查和抽样调查的定义、必然事件和随机事件的定义、样本容量的定义、方差的定义是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了可能性的大小的知识，根据摸到哪种球的可能性最大，哪种球的数量最大确定答案即可．
【详解】解：∵摸到红球的可能性最大，
∴三种颜色的球红球数量最大，
∴，
∴各个选项中，的值不可能为，
故选：A．
10．C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意．
【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
11．B
【分析】本题主要考查了用列举法求概率，通过列举找出共有的选择数量，然后再选出选到欢乐跑项目的数量，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：从这三个项目中随机选择两项进行推广，则有①全程马拉松、半程马拉松；②全程马拉松，欢乐跑项目；③半程马拉松，欢乐跑项目一共3种选择，
其中选到欢乐跑项目有2种选项，
故选到欢乐跑项目的概率是：
故选：B．
12．D
【分析】本题主要考查了概率的意义，直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：根据以往比赛数据统计，小航进球率为，他明天将参加一场比赛小航明天有可能进球．
故选：D．
13．/0.625
【分析】根据“2”出现的次数除以总个数即可．
【详解】解：“20220202”，共有8个数字，其中2出现的次数为：5次，
∴“2”出现的频率为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键．
14． 不公平
【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出配成紫色的结果数，然后计算出小英获胜的概率和小丽获胜的概率，于是通过比较两概率大小可判断游戏规则是否公平．
【详解】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果数为3，
则小英获胜的概率，小丽获胜的概率为，
，
这个游戏规则不公平．
故答案为：，，不公平．
15．6
【分析】本题主要考查了用频率估计概率、已知概率求数量、分式方程的应用等知识点，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
设袋子中蓝球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，再根据概率公式分式方程求解即可．
【详解】解：设袋子中蓝球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，解得：，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中蓝球约有6个，
故答案为：6．
16．
【分析】利用阴影部分的面积除以整个大正方形的面积即可得．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则整个大正方形的面积为，
阴影部分的面积为，
所以这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求几何概率，正确求出阴影部分的面积是解题关键．
17． 8 4
【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解．
【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，
第1名 第2名 第3名 第4名
① 丙 乙 丁 甲
② 丙 丁 乙 甲
③ 丁 丙 乙 甲
④ 丁 乙 丙 甲
⑤ 丁 甲 乙 丙
⑥ 丁 乙 甲 丙
⑦ 丙 甲 乙 丁
⑧ 丙 乙 甲 丁
其中①②③④四种情况是甲为第4名，
故答案为，．
18．不正确，见解析
【分析】本题考查了频率与概率的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据摸球的次数太少，会受到偶然性的影响解答即可．
【详解】解：不正确，因为小明摸球的次数太少了，会受到偶然性的影响．
19．袋中红球的数量大于黄球的数量
【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率的稳定值估计概率是解题的关键．根据频率和概率的关系即可解答．
【详解】解：经过多次试验后，发现摸到红球的频率比黄球大，
摸到红球的概率比黄球大，
袋中红球的数量大于黄球的数量．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查频数、频率的计算及频率的稳定性 ．解题关键是准确统计频数，熟练运用频率公式计算，并依据频率变化趋势判断其稳定值．
（1）通过仔细统计投掷记录中出现1点的个数，来确定对应投掷次数下出现1点的频数．依据频率计算公式即可解答．
（2）建立平面直角坐标系，横坐标表示投掷次数，纵坐标表示出现1点的频率．根据表格中的数据，在坐标系中描出对应的点，例如， ， ， ，，用线段依次将这些点连接起来，就得到了“出现1点”的频率折线统计图．
（3）根据频率的稳定性，从表格数据及频率的变化趋势分析即可得出答案．
【详解】（1）解：从记录数据中数出170次投掷时，出现1点的频数为43．
计算180次投掷时出现1点的频数：继续从记录数据中数，得到频数为46．
计算190次投掷时出现1点的频数：继续数，得到频数为47．
计算200次投掷时出现1点的频数：继续数，得到频数为49．
计算170次投掷时出现1点的频率：频率 = 频数÷投掷次数，即．
计算180次投掷时出现1点的频率：．
计算190次投掷时出现1点的频率：．
计算200次投掷时出现1点的频率：．
完整表格如下：
抛掷次数 1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80
出现1点的频数 1 2 4 6 6 8 9 14 15 17 20 20
出现1点的频率
抛掷次数 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
出现1点的频数 21 25 28 30 31 34 38 39 43 46 47 49
出现1点的频率
（2）如图所示：
（3）解：因为随着投掷次数的增加，频率逐渐稳定，大部分数据在到这个区间附近波动 ．
∴当掷的次数很大时，“出现1点”的频率在常数附近摆动．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出6个小组的学生数，再根据概率公式求解；
（2）先求出6个小组的学生数，再根据概率公式求解；
（3）先求出总的学生数和女生数，再根据概率公式求解．
【详解】（1）∵6个小组共有64名学生，第2组有5名男生，
∴标兵是第2组的男生的概率是；
（2）∵6个小组共有64名学生，第4组有10名学生，
∴标兵是第4组的女生的概率是；
（3）∵6个小组共有64名学生，有33名女生，
∴标兵是女生的概率是．
【点睛】本题考查了概率的计算，正确理解题意、掌握概率公式是解题的关键．
22．
【分析】此题考查了几何概率，根据题意得到可将圆的面积均匀地分为（份），其中B区域占2份，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，可将圆的面积均匀地分为（份），
其中B区域占2份，故P（指针落在B区域）．
23．(1)
(2)选择A线路
【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先求出A线路不超过40分钟的有个，B线路不超过40分钟的有249个，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：∵乘坐B线路用时不超过35分钟的有（个），
∴乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为；
（2）解：∵A线路不超过40分钟的有（个），B线路不超过40分钟的有（个），
又∵，
∴选择A线路．
24．甲袋；丙袋；乙袋
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：∵甲袋中放有12个红球，没有其它颜色的球，
∴甲袋可以使“摸到红球”是必然发生的；
∵丙袋中放有12个黄球，没有其它颜色的球，
∴丙袋可以使“摸到红球”是不可能发生的；
∵乙袋中放有6个红球，6个黄球，
∴乙袋可以使“摸到红球”是随机发生的．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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