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25.3用频率估计概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（ ）
A． B． C． D．
2．一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同.若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回,经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于，则小明估计袋子中白球的个数为( )
A． B． C． D．
3．小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为( )
A． B． C． D．
4．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（ ）个
A．15 B．8 C．16 D．18
5．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）

A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.440
6．某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块
C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是
7．某批羽毛球的质量检验结果如下：
抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200
优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128
优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动
B．从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品
C．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只
D．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内
8．在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色
9．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法中，不正确的是（ ）
A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
11．在一个不透明的盒子中装有 a 个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则 a的值大约为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
12．下列说法正确的是（ ）
A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件
C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
二、填空题
13．为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率约为 ．
14．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到0.1）．
15．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ．
16．在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有 个．
17．如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计绿色部分的总面积为 ．
三、解答题
18．某市“半程马拉松”的赛事共有两项：A“半程马拉松”、B“欢乐跑”。小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组
(1)小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为 ；
(2)为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数 20 50 100 200 500
参加“半程马拉松”人数 15 33 72 139 356
参加“半程马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712
①估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 ；（精确到0.1）
②若参加“欢乐跑”的人数大约有300人，估计本次参赛选手的人数是多少？
19．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 126 251
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.252 0.251
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里黑球有多少个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是 　 　（填写所有正确结论的序号）
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一质地均匀的骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
20．【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下图阴影图形）．
【实践方案设计】在草地的外围画了一个长、宽的长方形，有四个小组的同学分别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下：
一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 112 92 177 121
石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33
【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概率（精确到0.1），并算出草地的大致面积．
21．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
22．有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的是一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表（频率结果精确到）：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次数 14 a 38 47 52 66 78 88
“兵”字面朝上的频率 b
(1)_______，_______；
(2)根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的频率的折线统计图；
(3)观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律？
23．在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝球，个红球，在这个袋中加入个红球，这些球除颜色外其他均相同．进行如下试验：随机摸出个，记下颜色，然后放回搅匀，多次重复这个实验，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？
24．为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
射门次数n（次） 10 50 100 200 500 800 1000
射中次数m（次） 7 37 75 142 365 576 720
射中频率
(1)请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到）．
(2)已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
《25.3用频率估计概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A C D A D D D
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】根据各组的频数可求出第小组的频数，再根据频率的计算方法即可求解．
【详解】解：个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，
∴第小组的频数为，
∴第小组频率为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键．
2．C
【分析】设袋子中白球有x个，根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：设袋子中白球有x个，由题意可得，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查利用频率算随机事件概率及概率公式，解题的关键是熟练掌握．
3．D
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率进行求解即可．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴可以估计黑色部分的面积约为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率是解题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故选：A．
5．C
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的频率是0.443，概率不一定是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率不一定是0.440，故D选项不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
6．D
【详解】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，正确理解利用频率估计概率是解题的关键．
解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为，故选项不符合题意；
、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故选项不符合题意．
、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故选项不符合题意；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故选项符合题意；
故选：．
7．A
【分析】根据频数和频率的关系进行判断即可
【详解】A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动，故此选项正确；
B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，不一定是优等品，故此选项错误；
C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有不一定为47只，故此选项错误；
D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率不一定在0.940~0.941的范围内，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握利用频率估计概率的知识是解题的关键．
8．D
【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为，
摸到红球出现的频率，
摸到黄球出现的频率，
摸到蓝球出现的频率，
摸到绿球出现的频率，
∴该球的颜色最有可能是绿球，
故选：．
9．D
【分析】本题考查利用频率估计概率．根据随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，进行求解即可．
【详解】解：∵随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为；
故选D．
10．D
【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率即可解答问题．
【详解】解：A、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；
B、由A可知转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；
C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故C选项正确；
D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确．
故选：D．
11．B
【分析】根据题意可得摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【详解】由题意可得，摸到红球的概率为，则有，
，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了频率与概率，熟练列式计算是解题的关键．
12．D
【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键．
根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意；
B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意；
C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意；
D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意；
故选：．
13．
【分析】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的次数约为450次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为，
故答案为：．
14．0.8
【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率．此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
【详解】解：大量的重复试验，发现“该玉米种子发芽”出现的频率越来越稳定于0.801，
∵精确到0.1
该玉米种子发芽的概率为0.8
故答案为：0.8
15．
【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次，
∴“水”字出现的频率为，
故答案为：．
16．
【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．
【详解】解：估计袋中白球有个，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
17．65
【分析】本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确频率估计概率的方法及应用．
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得点落入黑色部分的概率为，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
∴点落入黑色部分的概率为，
∵边长为的正方形的面积为，
由此可估计阴影部分的总面积约为：，
故答案为：65．
18．(1)
(2)；
【分析】（1）结合题意，利用概率公式直接求解即可；
（2）①结合表格信息，根据用频率估计概率的知识可求解；②参加“欢乐跑”人数的概率约为，总人数约为（人）；
【详解】（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组，
∴小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为：；
故答案为：；
（2）由表格中数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为：；
故答案为：；
②参加“欢乐跑”人数的概率约为，总人数约为（人），
答：本次参赛选手的人数是人．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题的关键．
19．(1)0.25
(2)15
(3)①④
【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据黑球个数=球的总数×得到的黑球的概率，即可得出答案；
（3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案．
【详解】（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）根据题意得：（个），
所以，盒子里黑球有15个；
（3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
20．石子落在草地内的概率0.8，草地的大致面积为
【分析】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即是概率，根据表格中的四组数据，计算出相应频率，估计出石子落在草地内的概率，进而由几何概率模型求法：概率阴影部分面积正方形面积，代值计算即可得到答案，熟练掌握用频率估计概率及几何概率模型求概率方法是解决问题的关键．
【详解】解：分别求出四个小组石子落在草地内的次数与石子落在长方形内的次数比．
一组：；
二组：；
三组：；
四组：；
故估计石子落在草地内的概率为0.8，
草地的大致面积为．
21．(1)
(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：

共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：

共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
22．(1)18；
(2)见解析
(3)当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在0.55附近浮动
【分析】本题考查了利用频率估计概率、画频率分布折线图、频率与频数，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键；
（1）根据图中信息，用频率，即可解答；
（2）根据表格，描点连线，可得折线图，从而解答此题．
（3）根据图中信息，用频率估计概率即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：18，；
（2）画出频率分布折线图，如下图：
（3）解：根据表中数据，试验频率为，，，，，，，，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在左右，
所以，当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在附近浮动.
23．
【分析】根据大量重复实验时，频率可以估计概率，列出方程求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在，
∴摸到红色小球的概率等于，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
∴可以推算出的值大约是．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解决问题的关键在于学会估算概率，熟记概率公式．
（1）根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率；
（2）先根据比例关系求出1000次射门中左脚射门次数，再用240除以左脚射门次数即可求解．
【详解】（1）解：据上表，估计该足球小将射中球门的概率为；
故答案为：；
（2）．
答：左脚射中概率为．
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