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第一章特殊平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
2．如图，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
3．菱形相邻两角的比为，那么菱形的对角线长与边长的比为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为（　　）

A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55
5．如图，平行四边形中，，，，为中点，过点交、于点、，连接、，甲、乙、丙分别给出了一个结论，下列判断正确的是（ ）

甲：四边形为平行四边形；乙：当时，四边形为菱形；丙：四边形不可能为正方形．
A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对
C．只有甲、丙对 D．只有乙、丙对
6．如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ）
A．60 B．30 C．90 D．96
7．如图，在四边形中，已知，，且，，则（ ）
A． B．3 C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x＋8与x轴和y轴分别交于点A和点B，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，交BD于点E，连接AE，则三角形AFE的周长为（ ）
A．14 B．16 C．21 D．22
9．正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　）
A．保持不变 B．一直变小
C．先变小后变大 D．先变大后变小
10．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．
14．如图，已知小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形；以此进行下去…，则正方形的面积为 ．
15．如图，菱形中，，，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形是矩形，，则矩形的面积为 ．

16．已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为 ．
17．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为，若直线与长方形的边，有交点，且恰好将长方形分为面积相等的两部分，则m的值为 ．
三、解答题
18．已知:如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F.
(1)求证：；
(2)连接BF，若AD=5，AF=3，求BF的长.
19．已知菱形的两条对角线长分别为，，求菱形的面积．
20．如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，，垂足为点，且点是中点，若，，.
(1)求的长；
(2)求的度数.
21．如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．
22．如图，长方形中，点、的坐标分别为、 ，点为中点；
(1)尺规作图：请作出的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在线段上是否存在一点P使最小，若存在求出此时的最小值；若不存在请说明理由．
23．已知在中，，，点 为线段 上一点，连接．
(1)如图 1 所示，在右侧作等腰，其中，．当 ， 时，求的长；
(2)如图 2 所示，在右侧作等边，连接，点为 中点，连接 交 点 ．猜想线段 与之间存在的数量关系， 并证明你的猜想；
(3)如图 3， 点为中点，将沿翻折得到，连接，点 为的中点，连接．当的值最小时，连接、，直接写出的值．
24．如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接．

(1)求证：；
(2)如果，试判断四边形的形状．
《第一章特殊平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A A A B B A C
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，，
∴，，，，
∴，
∴．
故选：C．
2．C
【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形此，故选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
D、，
平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
3．D
【分析】根据菱形的性质可求得菱形的两内角，设菱形的边长为1，根据勾股定理求得其两条对角线的长，从而可得到其比值．
【详解】因为菱形相邻的两角互补，
所以得到较小的角的度数是，较大的角是．
设菱形的边长为1，则角所对的对角线长为1，角所对的对角线长是，
所以它们所对的对角线长与边长的比为．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是求出菱形的两个内角的度数．
4．A
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，由翻转变换的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，设，根据勾股定理列方程，解方程即可．
【详解】解：由翻转变换的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
故选：A．
5．A
【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】，，，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
，
，，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，故甲正确；
，
，
，
为中点，，
，
四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形，故乙正确；
当时，四边形为菱形，此时，
四边形不可能为正方形．故丙正确．
故选：A
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定；解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定方法．
6．A
【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵为直角，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，则，
∴四边形的面积为．
故选：A．
7．B
【分析】连接，取的中点，连接，勾股定理求得，进而证明是等边三角形，结合题意，根据角平分线的性质得出即可．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是的角平分线，
又∵，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
8．B
【分析】首先通过一次函数解析式，得到点A和B的坐标，进而即可得出的长，再过点B作BN平行于OF，交CF于N，利用AAS证明△CBN≌△ABO，得出BN＝BO＝8，CN＝OA＝6，再证明四边形OBNF为正方形，得到CN＝OA＝6，BN＝BO＝8，进而得到点C的坐标，进而得到AF的长，然后利用SAS再证明△CDE≌△ADE，进而得到AE＝CE，所以AE+EF＝CE+EF＝CF，即可算出△AEF的周长．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣x＋8与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴当x＝0，则y＝8，故B(0，8)，
当y＝0，则x＝6，故A(6，0)，
∴AO＝6，BO＝8，
过点B作BN平行于OF，交CF于N，
∴∠NBO＝90°，
∴∠ABO+∠ABN＝90°，
∵∠CBN+∠ABN＝90°，
∴∠CBN＝∠ABO，
在△CBN和△ABO中，
∴△CBN≌△ABO（AAS），
∴BN＝BO＝8，CN＝OA＝6，
∵BNOF，∠BOF＝∠CFO＝90°，
∴四边形OBNF为正方形，
∴CN＝OA＝6，BN＝BO＝8，
∴C(8，14)，
∴CF＝14，OF＝8，
∴AF＝8﹣6＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠ADE，
在△CDE和△ADE中，
，
∴△CDE≌△ADE（SAS），
∴AE＝CE，
∴AE+EF＝CE+EF＝CF，
∴△AEF周长＝AE+EF+AF＝CF+AF＝14+2＝16．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与判定定理．
9．A
【分析】连接，可得的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，可得矩形与正方形面积相等．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∴矩形与正方形的面积相等．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接由面积关系进行转化是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
11．A
【分析】根据平行四边形的性质可得，，可得当时，平行四边形为矩形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
当时，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定及平行四边形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键．
12．D
【分析】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.
【详解】∵第三个图形是三角形，
∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，
∵再展开可知两个短边正对着，
∴选择答案D，排除B与C．
故选D．
13．1.25
【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一．
【详解】连接，，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形和正方形的对称中心都是点，
．
故答案为：1.25．
14．
【分析】先计算正方形的面积，正方形的面积，正方形的面积，从中找到规律，确定正方形的面积即可．
【详解】因为小正方形的面积为1，
所以正方形ABCD的边长为1，
因为小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，
外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为1和2，
所以正方形的面积为=5，边长为；
因为把正方形边长按原法延长一倍得到正方形，
外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为和2，
所以正方形的面积为，边长为5；
因为把正方形边长按原法延长一倍得到正方形，
外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为5和10，
所以正方形的面积为，边长为5；
因为把正方形边长按原法延长一倍得到正方形，
外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为5和10，
所以正方形的面积为，边长为25；
由此发现规律如下：正方形的面积等于底数为5，指数为正方形的序号的幂，
所以正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，面积中规律，熟练掌握正方形的性质，直角三角形性质是探寻规律的关键．
15．
【分析】过点作于，过点作于，连接，由，可得，，根据菱形的性质和矩形的性质可得，，则，，，可得出≌，≌，分别求出菱形，，的面积，即可得矩形的面积．
【详解】解：过点作于，过点作于，连接，
四边形是矩形，
，
，
，，
四边形是菱形，，
，，，
，，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
同理：≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定定理以及菱形的性质是解答本题的关键．
16．6
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴菱形的面积为
故答案为：6
【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．
17．
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，表示出点E、F的坐标是解题的关键．
计算出所围矩形的面积，直线恰好将矩形分为面积相等的两部分，所以直线把矩形分为两边均为，根据梯形面积求解m的值．
【详解】解：点B的坐标为，
长方形的面积为.
如图，设直线与的交点为，与y轴交点为.
直线恰好将长方形分为面积相等的两部分，
四边形的面积为60，
，
，
.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需要证明△ABE≌△DAF得到BE=AF，即可证明EF=AE-BE；
（2）先利用勾股定理求出DF的长，进而利用全等三角形的性质求出BE，EF的长，即可利用勾股定理求出BF的长．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠AFD=∠BEA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，
∴EF=AE-AF=AE-BE；
（2）解：如图所示，连接BF，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：，
∵△ABE≌△DAF，
∴BE=AF=3，AE=DF=4，
∴EF=AE-AF=1，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明△ABE≌△DAF是解题的关键．
19．
【分析】根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：∵菱形的对角线互相平分，菱形的两条对角线长分别为，，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查了根据菱形的性质求面积，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）在中，勾股定理得出，继而得出，在中，勾股定理求得的长；
（2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得出是等边三角形，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据（1）的结论得出是等腰直角三角形，根据即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴
又∵点是中点，
∴，
∵
∴，
在中，,
（2）解：如图，取的中点，连接，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
21．证明见解析
【分析】根据正方形的性质得出 AD=CD，∠BAD=∠C=90°，根据邻补角的定义得出∠DAF=90°，所以∠DAF=∠C，然后利用SAS 判断出 △ADF≌△CDE ，根据全等三角形的对应边相等得出 DE=DF．
【详解】证明：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠C=90°，
∴∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠C，
在△ADF和△CDE中， ，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE=DF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可；
（2）先求出点、点的坐标，然后用待定系数法求函数的表达式即可；
（3）作点关于直线的对称点；连接，交于点；此时三点共线，的值最小；
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：如图，作直线；
∵平分
∴
在矩形中，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵点的坐标为
∴
∴
∵点为中点
∴
设直线的函数表达式为：
将、代入得：
解得：
∴直线的函数表达式为：
（3）解：存在；
如图，作点关于直线的对称点；连接，交于点；
则
∴
故当三点共线时，的值最小
此时
∵平分，点的坐标为
∴点的坐标为
∵
∴
即：的最小值为
【点睛】本题考查了尺规作角平分线、矩形的性质、求一次函数的表达式、线段的最值问题；熟练运用待定系数法求一次函数表达式、用轴对称的性质转化线段是解题的关键．
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1中，过点作与点，证明推出，，解直角三角形求出，，可得结论；
（2）结论：，理由如下：如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，利用全等三角形的性质证明，，可得结论；
（3）如图3中，连接，取的中点，连接，，由，推出当点落在上，的值最小，如图4中，设，则，，，利用三角形的中线的性质求出的面积和四边形的面积，可得结论．
【详解】（1）如图1中，过点作与点，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
（2）结论：，理由如下：
如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3中，连接，取的中点，连接，
，，
定值，
是定值，
，
当点落在上，的值最小，如图4中，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题是解本题的关键．
24．(1)见解析
(2)四边形是矩形
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质以及矩形的判定．
（1）根据，可知，得出，再根据等量代换可知；
（2）根据，，可知四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，得出四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴；
（2）解：∵且，
∴四边形是平行四边形．
∵且点D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
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