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1.2矩形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（ ）（用含的式子表示）
A． B． C． D．
3．如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（ ）
A． B． C． D．4
4．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（ ）
A． B．5 C．10 D．20
5．如图，矩形中，P为边上一动点（含端点），F为中点，E为中点，当点P由B向A运动时，下面对变化情况描述正确的是（　　）

A．由小变大 B．由大变小 C．先变大后边小 D．先变小后变大
6．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：

①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是菱形．
其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，，，于点E．则下列条件中，不能使四边形成为矩形的条件是（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，矩形的对角线相交于点O，点E是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于（ ）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
9．如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( )
A． B． C．4 D．
11．如图，矩形的两条对角线相交于点，垂直平分，，则等于（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则 ．
14．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则 cm．
15．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
17．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为，若直线与长方形的边，有交点，且恰好将长方形分为面积相等的两部分，则m的值为 ．
三、解答题
18．如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上．
19．如图，在矩形中，，若点P在边上，连接是以为腰的等腰三角形，求的长．
20．有两个全等的三角形纸片和，其中，，将和按如图所示方式摆放，斜边和的中点重合（标记为点），交于点．当时，试判断四边形的形状，并说明理由．
21．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为　 　．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．
23．如图，已知以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形ABD、BCE和ACF．
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？并说明理由；
(3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在？请说明理由．
24．已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、．
(1)如图1，和在线段的两侧．
①求证：；
②若，；请求出的度数；
(2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示）
《1.2矩形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C B D C A A B
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，则最小值为，此时点P位于处，利用矩形的性质得到，则，再求出直线的解析式为，即可求出点的坐标．
【详解】解：取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，
∴，
∵，
∴最小值为，此时点P位于处，
∵四边形是矩形，点A的坐标是，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
即当最小时，点P的坐标为，
故选：A．
2．D
【分析】如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，设，取的中点，连接，，证明，则在直线上运动，且，当，，三点共线时，，此时最短，从而可得结论．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，
∵，，
∴，，，
∵等腰直角三角形，，
∴，
设，
取的中点，连接，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在直线上运动，且，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，
当，，三点共线时，
，此时最短，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，证明在直线上运动是解本题的关键．
3．A
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接，根据矩形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵直线垂直平分，
∴，
再中，，
∵，
∴在中，，
故选：A．
4．C
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
设，则，
在中，，即，
解得，
则四边形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
5．B
【分析】连接，则为的中位线，当点由向运动时，由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
为中点，为中点，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得，
，
当点由向运动时，
的长度逐渐减小，
减小，
由大变小．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接，构造三角形中位线．
6．D
【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，，得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，选项①正确；
若，
平行四边形为矩形，选项②正确；
若平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，选项③正确；
若，，
平分，
同理可得平行四边形为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．
7．C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，先证明，得出，然后根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
A．∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，故A不符合题意；
B．∵，，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，故B不符合题意；
C．根据不能判定四边形为矩形，故C不符合题意；
D．∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，故D不符合题意．
故选：C．
8．A
【分析】作于，于N，由矩形的性质推出，得到，由三角形面积公式得到，由，推出，由，得到，又，即可求出和的面积比．
【详解】解：作于M，于N，

∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴和的面积比等于．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到，．
9．A
【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，
∴BC=EC，
在△BFC与△CDE中，
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．
10．B
【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，
∴∠FAE=∠PAG，
在△AEF和△AGP中，
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG=EF=2，
∵BC=3，CE=2BE，
∴BE=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
，
∵AG=AE，∠GAE=90°，
∴，
在△GPE中，PE＞GE-PG，
∴PE的最小值为GE-PG=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
11．C
【分析】由矩形的性质得出，证明，都是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
垂直平分相等，
，
，
是等边三角形，则是等边三角形，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12．B
【分析】以为边作等边三角形，连接，证明，得到，，进而求出，得到，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，
，，
，
，
由矩形的性质可得，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，构造等边三角形是解题的关键．
13．1或9
【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．解题的关键是根据题意分情况讨论．
由勾股定理可以求出的长，设，在直角三角形中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明，再利用勾股定理即可．
【详解】解：根据题意得：，
分情况讨论：
当点在线段上时，
根据折叠性质：，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
当点在线段的延长线上时，
根据折叠性质：，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
综上：的长为1或9，
故答案为：1或9．
14．12
【分析】根据矩形对角线相等性质即可求得BD的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AO=6cm，
∴BD=AC=2AO=12cm，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是关键．
15．
【分析】首先根据勾股定理，可求得的长，再根据折叠的性质及平行线的性质，可证得，据此即可求得结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
将一张长方形纸片按图中那样折叠，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边，证得是解决本题的关键．
16．或/或
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，表示出点E、F的坐标是解题的关键．
计算出所围矩形的面积，直线恰好将矩形分为面积相等的两部分，所以直线把矩形分为两边均为，根据梯形面积求解m的值．
【详解】解：点B的坐标为，
长方形的面积为.
如图，设直线与的交点为，与y轴交点为.
直线恰好将长方形分为面积相等的两部分，
四边形的面积为60，
，
，
.
18．见解析
【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，．
，是的高，
和都是直角三角形．
，分别为和斜边上的中线，
．
，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上．
19．或
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论得出是解题关键．先依题意，作图，证明四边形是矩形，再进行分类讨论，第一种情况：当时，再结合勾股定理列式计算，第二种情况：当，即可作答．
【详解】解：依题意，如图所示：
∵四边形是矩形
∴
过点P作
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
∴,
∴第一种情况：当时，是等腰三角形，
∴，
∴第二种情况：当 时，是等腰三角形，
综上：满足条件的的长为或
20．菱形，理由见解析
【分析】根据菱形的判定定理，全等三角形的性质，结合直角三角形的性质证明即可．
本题考查了直角三角形的性质，三角形全等的性质，菱形的判定，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是菱形，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又点是斜边和的中点，
，
平行四边形是菱形．
21．(1)
(2)；存在，或
【分析】（1）设，分别求出，，再由题意得到或，求出的值即可求点的坐标；
（2）过点作轴交于点，由折叠可知，则，在Rt 中，，求出，可知点与点重合，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设，分别求出，，，，根据题意可得或，求出的值即可求点坐标．
【详解】（1）解：，
，
，
点在上，
设，
，
直线将长方形的面积分成1:3两部分，
或，
解得或（舍），
，
故答案为：；
（2）解：，
，
过点作轴交于点，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
在Rt 中，，
解得，
点与点重合，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3，理由如下：
设 ，
，
，
，
，
，
或，
解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
22．或
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段上时，②当点E在线段延长线上时，点F作的平行线，交于点H，交于点G，先求出，再求出，设，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：①当点E在线段上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即；
②当点E在线段延长线上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即．
综上：或．
23．(1)证明见解析；
(2)当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．理由见解析；
(3)不总是存在，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；
（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．
【详解】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，
在△DBE和△ABC中
，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
∵AC＝AF，
∴DE＝AF，
同理AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，
理由是：∵△ABD和△AFC是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AF，
∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形；
当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，
∴∠DAB＝∠FAC＝60°，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAF＝90°，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形；
（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，
理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，
此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．
【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．(1)①见解析；②；
(2)．
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可；②根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
（2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】（1）①证明：连接，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
又∵是的中点，
∴；
②解：∵，是的中点，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，是的中点，
∴．
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