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1.3正方形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）

A． B． C． D．平分
4．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ）

A．3 B．4 C．4.5 D．5
5．如图，四边形为正方形，为、的交点，为，，若，，则正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的矩形是正方形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中，正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知平行四边形中，，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B．AB=CD C．AB=BC D．AC=BD
8．如图，将一张矩形纸片对折，再对折，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，，，则正方形的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．如图，已知边长为的正方形，为的中点，为的三等分点，则的面积是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．12
11．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
12．一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
二、填空题
13．定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ．
14．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ．
15．如图，将正方形纸片折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为 ．

16．如图，正方形的边长为，平行于轴，点的坐标为，则点的坐标为 ．
17．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．

三、解答题
18．已知：如图，在正方形中，，分别是，上的点，且，于点．求证：．
19．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．

(1)若点E为的中点，求证：F点为的中点；
(2)若点E为的中点，，，求的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．
20．在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接和交于点P，请写出与的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E，F分别移动到边，的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明）
(3)如图3，当E，F分别在，的延长线上移动时，连接和，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
21．已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
22．【推理】
如图1，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点，与交于点．
(1)求证：．
【运用】
(2)如图2，在【推理】条件下，延长交于点，若，求线段的长．
【拓展】
(3)如图3，在【推理】条件下，连接，则线段的最小值为______．
23．如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E．
(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论；
(3)若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想的形状并证明你的结论．
24．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形．
《1.3正方形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B B C C C C B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题考查的是正方形的邻边相等，等边三角形的各边相等，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．
本题考查的是正方形，等边三角形，等腰三角形的性质来解决．
【详解】解：∵是正方形，
∴，，
∵三角形是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
2．A
【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】解：连接、，如图，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，，，，
∴，
在中，，
∵H是的中点，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理，二次根式的化简．
3．A
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
即或．
故选：A
【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答．
4．B
【分析】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．连接，证明，得到，折叠，得到，设，则，则中根据勾股定理列方程可求出的值．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是正方形，
∴，．
∵沿对折至，
∴，，
∴，，
又是公共边，
∴，
∵G刚好是边的中点，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理列方程：，
解得：．
所以的长是4，
故选：B．
5．B
【分析】过点作于，作交的延长线于，判断出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再求出，根据正方形的性质可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后判断出四边形是正方形，可得，得，设，，可得，根据，，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于，作交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
在中，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
6．C
【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误；
②有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确；
③有一组邻边相等的矩形是正方形，原说法正确；
④两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原说法正确，
故正确的有3个，
故选：C．
7．C
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】由∠A=∠B=∠C=90°，可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定定理，矩形的判定定理，掌握正方形的判定定理是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了剪纸问题、涉及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
根据翻折变换的性质及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【详解】解：如图，
根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即菱形，
∴菱形里只要有一个角是就是正方形．
展开四边形后的角为：，即．
故选：C．
9．C
【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC＝AB，从而求出正方形ACEF的边长，进而可求出其面积．
【详解】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的边长为4，
∴正方形ACEF的面积为16，
故选：C．
【点睛】本题考查菱形与正方形的性质，属于基础题，对于此类题意含有60°角的题目一般要考虑等边三角形的应用．
10．B
【分析】根据正方形的性质得出，根据为的中点，得出，进而根据为的三等分点，得出，，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
正方形边长是，
，
为的中点，
为的三等分点，
，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形面积公式．
11．C
【分析】本题考查的是正方形与菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断即可得答案，熟记性质是解本题的关键．
【详解】解：A、正方形和菱形的四条边都相等，则此项不符题意；
B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，则此项不符题意；
C、正方形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，则此项符合题意；
D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，则此项不符题意；
故选：C．
12．C
【分析】本题考查求一次函数解析式，涉及正方形性质、正方形周长等知识，根据题意，正方形各边长减少后，得到的新正方形的边长为，从而表示出周长即可得到答案，熟记正方形性质及周长求法是解决问题的关键．
【详解】解：一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的边长为，
得到的新正方形的周长为，
故选：C．
13．2
【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可．
【详解】解：连接，，交于点M，
∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，
∴，同理：，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
14．
【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．
【详解】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．
15．
【分析】先由正方形的性质得到，再由折叠的性质可得，则可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
16．
【分析】本题考查坐标与图形性质以及正方形的性质，根据正方形的性质及边长结合已知推出轴，轴，继而确定点的横、纵坐标．解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系．
【详解】解：∵正方形的边长为，平行于轴，
∴，即，轴，
∴轴，轴，
∵点的坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标为：，
∴点的坐标为．
故答案为：．
17．
【分析】根据图形得到，结合正方形的对角线互相平分一组对角即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
在与中，
∴ ，
，
∵是正方形对角线，
∴，
∴，
故答案为：；

【点睛】本题主要考查正方形的对角线平分一组对角，解题的关键是根据格点图形得到．
18．证明见解析
【分析】如图所示，连接，根据正方形性质，结合两个三角形全等的判定定理SAS得到，根据全等三角形的性质确定是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”可知是边上的中线，从而得到结论．
【详解】证明：连接，如图所示：
在正方形中，，，
，，，
，
在和中，
，
，
，即是等腰三角形，
于点，
由等腰三角形“三线合一”可知是边上的中线，
．
【点睛】本题考查证明线段相等，涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，对于证明三角形中线段相等，常用的有两种思路：①是证明包含这两条线段的两个三角形全等；②是证明包含这两线段的三角形是等腰三角形．根据题意构造辅助线，证明两个三角形全等，进而确定是等腰三角形是解决问题的关键．
19．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案．
【详解】（1）解：证明：如图1中，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，
，
，
又，分别是，的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（3）取的中点，连接，，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
20．(1)，理由见解析
(2)成立
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动，所以，再由正方形的性质可得，，证得，即可求得结果；
（2）同（1）；
（3）由题得，再由正方形的性质可得，，所以和的邻补角也相等，即可证得，最终证得（1）中结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（2）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（3）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
，
在和中，
，
（SAS），
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解决问题的关键是由题干条件得出．
21．(1)③
(2)是，见解析
(3)①3；②的度数不变，且，见解析
【分析】（1）可推出，进而得出结果；
（2）作，可证得，进而得出结果；
（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；
②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
当点P在F点时，，
当点P在C点时，，
∴，
观察四个选项，不可能是③，
故答案为：③；
（2）解：如图2，
点P落在点C的右侧，理由如下：
连接，作于E，
∵点B和点Q关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴点P是否一定在射线上点C的右侧；
（3）解：①如图3，
作，交的延长线于E，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴；
②如图4，
不发生变化，理由如下：
作，
由（2）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数不发生变化．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用证明，即可得出结论；
（2）连接，利用等角对等边证明，设，则，由勾股定理得，，解方程即可；
（3）取的中点，连接，，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，从而得出的运动路径，进而解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
正方形沿折叠，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
正方形沿折叠，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得：，
；
（3）解：取的中点，连接，，
则，，
，为的中点，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，运用勾股定理列方程是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)当点O在边运动到中点时，四边形是矩形；理由见解析
(3)是直角三角形，且时，四边形是正方形；证明见解析
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案；
（2）根据，可得四边形平行四边形，再证明利用矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的性质得出，再利用平行线的性质得出，即可得出答案；
【详解】（1）证明：∵交的平分线于点 E，交的外角平分线于点F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：当点O在边运动到中点时，四边形是矩形．
证明：当O为的中点时，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴四边形是矩形．
（3）解：是直角三角形，且时，四边形是正方形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质是解题的关键．
24．见解析
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定定理是关键．连接交于O，证与互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论．
【详解】证明：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
∵
∴，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
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