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3.3探索与表达规律
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．观察下列数列的规律：27，22，18，15，（　　），12，选择括号中应填哪个选项？（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．一列有规律的数：，，7，10，，，19，22，，则这列数的第2023个数为（ ）
A．6067 B． C．6068 D．
3．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前、后、左、右数，小红都是第5个，问一共有（ ）人．
A．81 B．25 C．32 D．120
4．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第2012个图案需要棋子（　　）枚．
A．5046 B．5782 C．4986 D．6038
5．观察下列按一定规律排列的单项式：，按这个规律，第15个单项式是（ ）
A． B． C． D．
6．观察元素原子结构示意图的规律，则某元素原子结构的原子核中应填的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（ ）枚
A． B． C． D．
8．如图中每个图形都是由口、O、△中的两个（可以相同）构成．观察各图形与它下面的数之间的关系，可知最右面图形下面的“？”表示（　　）
A．23 B．32 C．13 D．31
9．观察下列等式；；；；；；；…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
10．晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（ ）
A． B． C． D．
11．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则值是（ ）
A．17 B．45 C．27 D．55
12．观察下列图形：它们是按一定的规律排列，依照此规律第n个图形共有（　　）个五角星．
A． B． C． D．
二、填空题
13．数的运算中含有一些有趣的数字位置对称的形式，如．按照此等式的形式填空：；．
14．找规律，填一填：1，8，27， ，125，216，…
15．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 ，第n幅图的点数为 ．
16．观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ．
17．先找规律，再填数：，，，，， ，．
三、解答题
18．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是．
(1)填空：、的“友好数”分别是___________；
(2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除．
19．先阅读，再答题
根据你发现的规律，试写出：
(1)；
(2)________________；
(3)计算：
20．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；．
…．
(1)请写出第5个等式：______；
(2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)根据你发现的规律计算：．
21．阅读材料，求值：．
解：将等式两边同时乘以2得：
将②式减去①式得：，
即．
(1)请你仿照此法计算： ；
(2)求的值；
(3)求的值．
22．观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)．
23．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
1 ● ○ 7 …
(1)可知x＝ ，●＝ ，○＝ ；
(2)试判断第2023个格子中的数是多少？并给出相应的理由．
(3)判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2024？若能，求出n的值，若不能，请说明理由．
24．小华用边长为1厘米的正方形纸片分别摆出如下图所示的图形，并依次写出了每个图形的周长．请你按照规律，填写表格．
图形 图1 图2 图3 … 图n
周长/厘米 …
《3.3探索与表达规律》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D C C C D C C
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】本题考查数字变化的规律，根据所给数列发现前后两数的差依次减少1是解题的关键．
观察所给数列发现前后两数的差依次减少1，据此可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
，
，
∴接下来两数的差为2，
则，
且，
符合此规律，
∴括号中应填13．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查数字的变化规律，观察数据可得到其数值部分是，且以2个负，2个正数为一组，重复出现，据此可求解．
【详解】解：1，4，7，10，13，16，19，22，…，
第n个数是：，
该列数以2个负，2个正数为一组，重复出现，
，
第2023个数的符号为正，
第2023个数为：，
故选：A．
3．A
【分析】此题考查了方阵问题中总点数每边点数每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数．
因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：人，由此利用方阵问题中：总人数每边人数每边人数，即可解答．
【详解】解：每边人数是：(人)，
共有：(人)，
答：一共有81人．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形后一个图形比前一个图形多3个棋子，进行求解即可．
【详解】解：观察图形后一个图形比前一个图形多3个棋子，
∴第n个图案需要棋子的个数为：，
∴第2012个图案需要棋子枚；
故选D．
5．C
【分析】本题考查数字的变化规律，通过所给的单项式，探索出系数与次数的关系是解题的关键．
由所给的单项式可得第n个单项式为，当时即可求解．
【详解】解：，
第n个单项式为，
第15个单项式为：，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了数字规律．
通过观察三种原子结构示意图的电子分布规律发现原子核外电子的电子数之和等于原子核中的数字，据此即可解答．
【详解】解：由三种原子结构示意图可知：原子核外电子排布为第一层2个，第二层8个，三个电子层的电子数之和等于原子核中的数字．
故：该元素原子结构的原子核中数字，
故选C．
7．C
【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
【详解】解：由图可知：第个图形需棋子：（枚）；
第个图形需棋子：（枚）；
第个图形需棋子：（枚）；
……
∴第个图形需棋子：（枚）；
故选：C．
8．D
【分析】本题为图形规律题，合理分析变化规律是解题的关键．
观察图形找出规律求解即可．
【详解】
解：观察可得：两个三角形，一内一外，即三角形代表；
观察可得：一内一外，即正方形代表，圆型代表；
观察可得：一内一外，即三角形代表，正方形代表；
观察可得：一内一外，即圆型代表；
综上一内一外，内部圆形为，外部正方形为，则此图为；
故选：D．
9．C
【分析】】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6…，依次循环的，根据，即可得出答案．
【详解】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6…依次循环的，
，
所以的个位数字是8，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了图形类规律探索，明确题意，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键．
观察图形可知，第一个图案为个窗花，第二个图案为个窗花，第三个图案为个窗花，，由此可得第n个图案所贴窗花数，于是得解．
【详解】解：第一个图案为个窗花，
第二个图案为个窗花，
第三个图案为个窗花，
，
由此可得，第n个图案所贴窗花数为个，
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
根据题意可得；；；；…，第n个数记为，进而可得结果．
【详解】解：根据题意可知：
；
；
；
；
…，
第n个数记为，
∴，
∴．
故选：C．
12．D
【分析】本题考查图形类规律探索，其关键是观察图形分析数字关系找出规律求解．
观察图形可以得出规律：每个图形上方始终只有一个五角星，左、右、下的五角星个数与图形序号一样，，从而可得解．
【详解】解：第1个图形共有4个五角星 ，而，
第2个图形共有7个五角星 ，而，
第3个图形共有10个五角星 ，而，
第4个图形共有13个五角星 ，而，
…
第n个图形共有个五角星．
故选：D
13．264，21，18，198
【分析】本题考查了数字运算的规律，解题的关键是理解题目的规律，然后求解．分析题目中算式可得：各个数字关于等号是“轴对称”；依据所给例子的形式填空．
【详解】解：；
．
故答案为：264，21；18，198．
14．
【分析】本题考查的是数字类的规律探究，根据，，，，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，，，，
∴括号内为，
故答案为：
15． 37 /
【分析】本题主要考查了图形类的规律题．根据第1，2，3幅图的点数，可得到规律，即可求解．
【详解】解：第1幅图的点数为，
第2幅图的点数为，
第3幅图的点数为，
依次排下去，
第10幅图的点数为，
第n幅图的点数为．
故答案为：37；
16．2
【分析】本题主要考查了有理数的乘方规律型题．解决本题的关键是熟练掌握以2为底的幂的末位数字的循环规律．
可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循的，根据，得到的个位数字是2．
【详解】∵，，，，
，，，，
，，
∴以2为底的幂的末位数字是以2，4，8，6依次循环，
∴，
∴的个位数字是2，
故答案为：2．
17．
【分析】此题考查的是数字的变化类问题，观察数据得出规律：每个分数的分子为奇数（比序号数的2倍小1），分母为序号数的平方数．据此规律进行解答便可．
【详解】解：根据题意知：每个分数的分子为奇数（比序号数的2倍小1），分母为序号数的平方数．
∴第6个数为：，
故答案为：．
18．(1)，
(2)证明见解析
【分析】本题考查了合并同类项、理解“友好数”的定义，按照定义分析是解题的关键。
（1）由“友好数”的定义可得答案；
（2）由题意得这个两位数是，它“友好数”是，计算两个数的和，即可得证．
【详解】（1）解：由“友好数”的定义可得，、的“友好数”分别是：，，
故答案为：，；
（2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，
则这个两位数为：，
它的“友好数”为：，
这两个数的和为：，
因为，为正整数，
所以，对于任意一个两位数，这个数与它的“友好数”之和一定能被整除．
19．(1)9；11
(2)
(3)
【分析】本题考查数字规律的探索，结合题意分析规律是解题的关键．
（1）根据题中规律得出第5个等式即可得出结果；
（2）根据题意总结出规律即可；
（3）结合（2）中规律求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为，
故答案为：9；11；
（2）由题意可得，第n个等式：，
故答案为：
（3）
，
．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键．
（1）根据规律计算即可求解；
（2）根据规律即可求解；
（3）先将乘法化为加法，再加减即可求解；
【详解】（1）解：第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式：，
故答案为：；
（3）解：原式．
．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．
（3）同理即可得到所求式子的值．
此题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
【详解】（1）解：设，
将等式两边同时乘以得：，
将得：，
即，
则；
故答案为：；
（2）解：设
将等式两边同时乘得：，
将得：，即，
则；
（3）解：
．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律．
（1）根据提供的等式写出第5个等式即可；
（2）观察前4个等式，找出规律即可得到第n个等式．
【详解】（1）解：第5个等式：．
故答案为：．
（2）解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
第n个等式：，
猜想第n个等式为．
23．(1)1，7，
(2)1
(3)不能
【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题．
（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出与的值，再根据第9个数是可得；
（2）找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2023除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；
（3）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．
【详解】（1）任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
，
解得，
，
，
所以，数据从左到右依次为1、7、、1、7、、，
第9个数与第三个数相同，即，
故答案为1，7，；
（2）解：由于表格中的数是1，7，，1，7，，循环，而，
∴第2023个格子中的数是1；
（3）解：，
而，
∴不能．
24．见解析
【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；根据题意，首先列出图图3对应的图形周长，再结合数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：
第1个图形正方形的个数：1，其周长：厘米，
第2个图形正方形的个数：4，其周长：厘米，
第3个图形正方形的个数：9，其周长：厘米，
∴第n个图形正方形的个数：周长：厘米，
图形 图1 图2 图3 … 图n
周长/厘米 4 10 16 …
表格如上所示．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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