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4.3多边形和圆的初步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）

A．54 B．44 C．35 D．27
2．下列图形中不是多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
4．从边形的一个顶点出发，可作8条对角线，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）

A．①②④ B．①② C．①④ D．②③
6．在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．下列选项中的物体属性，不属于几何研究特性的是（　　）
A．位置关系 B．大小 C．形状 D．颜色
10．从多边形的一个顶点出发，可以作8条对角线，则该多边形的边数是（ ）
A．九 B．十 C．十一 D．十二
11．七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传，清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之，在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸板制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅“奔跑者“作品，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A． B． C． D．
12．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　）
A．正方形 B．正八边形
C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形
二、填空题
13．九边形从一个顶点出发的对角线有 条．
14．2022年是农历虎年，小美利用一副七巧板拼出如图所示的“老虎”．已知左侧七巧板拼成的大正方形边长是4，则右侧“老虎”的虎头小正方形的面积是 ．
15．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．

16．过十五边形的一个顶点可以作 条对角线，它们将这个多边形分成 个三角形．
17．七巧板游戏是我国古代人民创造的益智游戏．如图，这是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的简单的平面图形有 ．
三、解答题
18．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：

多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____
多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____
(1)请在表格中的横线上填上相应的结果；
(2)十边形有__________条对角线；
(3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
19．如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，，且．若，求的度数．
20．探究归纳题：
【试验分析】
（1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线；
【拓展延伸】
（2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线；
【探索归纳】
（3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）；
【特例验证】
（4）十边形共有________条对角线．
21．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题：
(1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线．
(2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？
(3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？
22．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”．
数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？
【问题思考】
（1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表：
多边形边数 三 四 五 六
“对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________
【问题探究】
（2）试着总结边形的“对边线”条数；
（3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？
23．将如图所示的四个正方形分别分割成可以剪下4个、7个、8个和9个正方形的图形．
24．已知为的直径，弦与的延长线交于⊙O外一点C，且，，求的度数．
《4.3多边形和圆的初步认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C D B C A D C
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．
2．C
【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案．
【详解】
解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B不符合题意；
不是多边形，故选项C符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键．
根据圆的特征逐项分析即可解答．
【详解】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确；
B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；
C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴；
D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．
故选：B．
4．C
【分析】根据从边形的一个顶点出发可以作条对角线即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线问题，熟练掌握“从边形的一个顶点出发可以作条对角线”是解题关键．
5．D
【分析】只需要计算各个选项中的一个顶点处的角是否能组合成一个周角即可得出答案.
【详解】解：A、若有一个正三角形、两个正方形、一个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
B、若有三个正三角形、两个正方形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
C、若有两个正三角形、两个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
D、由于正五边形的内角为，正方形的内角为，在一个顶点处不能构成一个周角，故不能铺满地面，故②③的正多边形瓷砖图案不可以进行平面镶嵌；
故选：D.
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决此类问题的关键是明确一个顶点处的角是否能组合成一个周角.
6．B
【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：B．
7．C
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，符合题意；
②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，原说法正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，原说法正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
8．A
【分析】此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．
【详解】解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成个三角形后，拼成面积为2的正方形，
则可以为：3，4，5，
故．
故选：A
9．D
【分析】位置关系，大小，形状属于几何研究特性．
【详解】解：颜色不属于几何研究特性，位置关系，大小，形状属于几何研究特性．
故选D．
【点睛】本题考查认识平面图形，几何研究特性研究的是位置关系，大小，形状．
10．C
【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线求解即可．
【详解】解：设多边形边数为n，由题意得：
，
，
故选：C．
11．D
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得答案．
【详解】解：∵正方形的边长为4cm，
∴七巧板中两个大等腰直角三角形的面积为4cm2，两个小等腰直角三角形的面积为1cm2，小正方形和平行四边形的面积为2cm2，右下角的等腰直角三角形的面积为2cm2，则
A中阴影部分面积和为4cm2，
B中阴影部分面积和为3cm2，
C中阴影部分面积和为6cm2，
D中阴影部分面积和为5cm2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
12．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；
B．正八边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；
C．正十二形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；
D．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，正十二形的每个内角是，，故能铺满，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．6
【分析】从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此作答即可．
【详解】九边形从一个顶点出发的对角线有条，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握n边形从一个顶点出发，可以引条对角线是解题的关键．
14．2
【分析】在七巧板中小正方形的面积占整个正方形面积的，然后求出整个正方形的面积，即可求出虎头小正方形的面积．
【详解】解：大正方形的面积为4×4＝16，
虎头小正方形的面积为
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查七巧板的各图形之间的关系，大三角形占大正方形面积的，平行四边形，较小三角形和小正方形各占大正方形面积的，最小三角形占大正方形面积的．
15．
【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积．
【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，

∵正方形的边长为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键．
16．
【分析】根据边形对角线的性质可知，选定多边形一个顶点，这个点本身以及这个点左右两边相邻的点连接不能构成对角线，剩下的个顶点都可以和这个点连接构成对角线，从而得到对角线的条数，进而得到这些对角线将多边形分成的三角形个数为．
【详解】解：对于十五边形，过十五边形的一个顶点与其它点连接对角线，这个点与其本身以及这个点左右两边相邻的点连接不能构成对角线，剩下的个顶点都可以和这个点连接构成对角线，可以作条对角线；这些对角线将十五边形分成了个三角形；
故答案为：；．
【点睛】本题考查多边形的对角线以及对角线将多边形分成的三角形个数，属于几何规律问题，掌握相关分析方法是解决问题的关键．
17．等腰直角三角形、正方形、平行四边形
【分析】根据等腰直角三角形，正方形、平行四边形特征判断．
【详解】解：图形由等腰直角三角形，正方形，平行四边形组成；
故答案为：等腰直角三角形、正方形、平行四边形．
【点睛】本题考查简单的平面图形的特征，熟悉常见的平面图形的特点是解题的关键．
18．(1)3；9；；
(2)
(3)能，
【分析】（1）根据从边形的一个顶点出发的对角线有条，对角线的总条数为：进行计算即可得：
（2）根据从边形对角线的总条数为：进行计算即可得：
（3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得．
【详解】（1）解：如图所示，

从六边形的一个顶点出发的对角线有：（条），
则从n边形的一个顶点出发的对角线有：条，
六边形对角线的总条数为：（条），
n边形对角线的总条数为：，
多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形的一个顶点出发 1 2 3 … 9
多边形对角线的总条数 2 5 …
故答案为：3；9；；；
（2）解：十边形对角线的总条数为：（条），
故答案为：；
（3）能，理由：
解：设这个多边形的边数为，
，
，
解得：，
则这个多边形的边数为．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的对角线形成的规律．
19．．
【分析】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，连接，则，又则，然后根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵点，在上，为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35
【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键．
（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据对角线的公式，可得答案．
【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
故答案为∶1，1，1，1，2；
（2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线；
故答案为：5，9；
（3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线；
故答案为：；
（4）当时，，
∴十边形有35对角线．
故答案为：35．
21．(1)，，，
(2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）
(3)边形的对角线条数的为
【分析】此题考查了多边形的对角线的知识．
（1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况．
（2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）；
（3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数．
【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是；
过顶点可以画条对角线，
过顶点可以画条对角线；
故答案为：，，，；
（2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）；
（3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条，
共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
即边形的对角线条数的为．
22．（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条．
【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念．
（1）根据“对边线”的概念求解即可；
（2）根据（1）中的结果总结求解即可；
（3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可．
【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”，
列表如下：
多边形边数 三 四 五 六
“对边线”条数 1 2 3 4
（2）由（1）得，边形的“对边线”条数为；
（3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线”
∵边形有m条边
∴边形所有边上一共有条“对边线”．
23．见解析
【分析】此题主要考查了应用设计与作图，直接将图形按要求分割得出答案．
【详解】解：如图所示：
24．
【分析】连接，如图，由于直径，则，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质可计算出，而，于是根据三角形外角性质可计算的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角性质等，解题关键是掌握相关性质对角进行转化．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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