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2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——函数
一、单选题（本大题共23小题）
1．[2025北京海淀·一模]函数的图象一定经过点（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025北京海淀·一模]已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．
C．0 D．1
3．[2025北京东城·一模]下列函数中，值域为的函数是
A． B． C． D．
4．[2025北京东城·一模]中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）

A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．[2025北京东城·一模]已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．[2025北京西城·一模]已知集合，，那么集合（ ）
A． B．
C． D．
7．[2025北京西城·一模]下列函数中，图像关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2025北京石景山·一模]已知x，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
9．[2025北京石景山·一模]经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ）
A． B． C． D．
10．[2025北京门头沟·一模]下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．[2025北京门头沟·一模]已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．[2025北京门头沟·一模]已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是
C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点
13．[2025北京延庆·一模]延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）.

A．为奇函数 B．的最大值为1
C．在上单调递增 D．方程有2个实数解
14．[2025北京延庆·一模]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
15．[2025北京房山·一模]自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
A．300 B．450 C．600 D．750
16．[2025北京顺义·一模]下列函数中，单调递增且值域为的是（ ）
A． B． C． D．
17．[2025北京顺义·一模]在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ）
A． B． C． D．
18．[2025北京顺义·一模]已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．[2025北京平谷·一模]下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
20．[2025北京平谷·一模]某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ）
A． B． C． D．
21．[2025北京延庆·一模]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
22．[2025全国·一模]若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．[2025全国·一模]已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共1小题）
24．[2025全国·一模]下列说法正确的（ ）
A．若，，，则
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．“”是“”的必要不充分条件
D．若函数在区间上单调递减，则
三、填空题（本大题共6小题）
25．[2025北京西城·一模]记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论：
①函数为单调函数；
②对于任意的，或；
③集合（为常数）中有且仅有一个元素；
④满足的点构成的区域的面积为8．
其中，所有正确结论的序号是 ．
26．[2025北京石景山·一模]若，则 .
27．[2025北京石景山·一模]高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论：
①若，则；
②函数与函数无公共点；
③；
④所有满足的点组成区域的面积为．
其中所有正确结论的序号是 ．
28．[2025北京房山·一模]已知函数，则 .
29．[2025北京朝阳·一模]已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ．
30．[2025北京朝阳·一模]函数的定义域为 ．
参考答案
1．【答案】A
【详解】令，则，
则，
所以函数的图象一定过点.
故选A.
2．【答案】B
【详解】可化为，故圆心为，
因直线经过圆心，则，
则，此二次函数开口朝上，对称轴方程为，
故其最小值为.
故选B.
3．【答案】C
【详解】试题分析：确定函数的值域，应首先关注函数的定义域.根据指数函数的性质可知的值域为，故选C.
考点：函数的定义域、值域，常见函数的性质.
4．【答案】A
【详解】因为，所以，

因为图象是上凹函数，所以，即故A正确；
由A知，使，则，即，
由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误；
由A知，使，可得，结合，可得，
由的单调递减可得，故，故C错误；
由A知，存在，使，可得，
故存在，使，
由函数的单调性可知时，，
当时，，
当时，，
当时，，故D错误.
故选A.
5．【答案】A
【详解】由，则必有，
由，则，可得，
又，根据基本不等式有，
若且，则有，即是的充分条件，
若，则，此时满足，但不成立，
所以是的非必要条件，
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】A
【详解】因为，，所以，.
故选A.
7．【答案】C
【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误；
B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；
C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确；
D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误.
故选C.
8．【答案】B
【详解】因为，所以，即，故A错误；
因为，所以，即，故B正确；
因为，而余弦函数在上不单调，
如，故C错误；
因为，由于当时，恒有，故D错误；
故选B.
9．【答案】A
【详解】由题意，当时，，
当时，，则，
则，即.
故选A.
10．【答案】A
【详解】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件；
对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件；
对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件；
对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件.
故选A.
11．【答案】B
【详解】当时，，对其求导可得.
因为恒成立，所以在上单调递增.
此时.
，，则，故在上函数值的取值范围为.
当时，，的值域是，所以的值域是.
因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且.
选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误.
选项B：前面已推出，所以B选项正确.
选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误.
选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误.
故选B.
12．【答案】DD
【详解】由题意知，是函数的一个零点，
时，，可得，
令，得到函数图象
当时；；；
当时；；；
由函数图象可知的值域为，注意到一定是函数的一个零点，
对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误；
对于选项B，有3个零点的充要条件是，故B错误；
对于选项C，不存在，有4个零点，故C错误;
对于选项D，当时,有5个零点，D正确.
故选D.
13．【答案】D.
【详解】对A，定义域为R，因为，所以为偶函数，A错误；
对BC，又因为，根据，在R上均单调递增，
则在在R上单调递增，且，则当时，则，
当时，则，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；
则，即的最小值为，B错误；
对D，因为所以,，
再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.
故选D.
14．【答案】A
【详解】因为，
又，所以．
故选A.
15．【答案】C
【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，
因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.
所以，所以，
若，则.
故选C.
16．【答案】B
【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性；
对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意；
对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件；
对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件.
故选B．
17．【答案】C
【详解】由题意，
，
两式相减可得：，
又，
所以，
所以，
故选C．
18．【答案】C
【详解】由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，
所以关于对称，
又由得交点坐标为，则，
对于①：因为，且，所以，故①错误；
对于②：由，因为，则；故②正确；
对于③：直线与联立，可得，即，
设函数，是增函数，
又由，，可得，
所以函数在区间上存在唯一零点，即，
因为，所以，
构造函数，则，
当时，可得，此时函数在单调递增；
当时，可得，此时函数在单调递减；
又，，所以，故③正确.
故选C．
19．【答案】C
【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误，
对于B, 在区间上单调递减，B错误，
对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确，
对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误，
故选C.
20．【答案】A
【详解】由题意可知：，即，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
两式相除可得：，
即，
所以：，
即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，
故选A.
21．【答案】A.
【详解】因为，
又因为，所以.
故选A.
22．【答案】D
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则，
则；；
当即时，，，成立；
当时，，，；
当时，，，；
当即时，，
所以的取值范围是．
故选D．
23．【答案】B
【详解】有意义，即有，解得，
故，则或}.
∵，
∴.
故选B
24．【答案】ACD
【详解】A.∵，，，
∴，故A正确；
B.命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误；
C.当时，，等价于，解得或，
∴“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
D.设，则，
∵函数在区间上单调递减，在上单调递增，
∴在上单调递减，
∵为二次函数，图象开口向上，对称轴为直线，
∴在上单调递减，
∴，故，解得，即，故D正确.
故选ACD.
25．【答案】①②④
【详解】，且，则，则，即，
则在上单调递增，故①正确；
当，时，，
故当时，，有，，此时，
当时，，，，此时，
故②正确；
当时，，当时，，结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误；
设，，其中，，则，因，则，
则，
在每个单位正方形内，的值从到，但不包括，因此在的区域内的每个单位正方形内，的点构成的区域面积为1，
由于的区域内的单位正方形有个，因此满足的点构成的区域面积为图中的面积8.
26．【答案】2
【详解】，，
所以.
27．【答案】①②④
【详解】对于①：若，则，则，
，
即，故①正确；
对于②：函数与函数的图象如图所示，
由图可得函数与函数无公共点，故②正确；
对于③：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，故③错误；
对于④：当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为，
综上点组成区域的面积为，故④正确．
28．【答案】4
【详解】，，故.
29．【答案】 4（答案不唯一）
【详解】因为函数是上的奇函数，且时，，
所以.
当时，由，可得，
令，即，解得，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以时，，，
由为函数是上的奇函数，可得时，，又，
由，可得或，
所以的取值范围为.
30．【答案】
【详解】对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
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