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河北承德市第二中学
2024--2025学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（ ）
A. 120种 B. 144种 C. 48种 D. 24种
2.曲线y=在点(4,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. 4e2 B. 2e2 C. e2 D. e2
3.函数在时有极小值0，则（ ）
A. 4 B. 6 C. 11 D. 4或11
4.已知是等比数列，，，则公比等于（ ）
A. B. C. 2 D.
5.当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
6.某班星期二上午有五节课,下午有三节课,安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育,其中数学是上午或下午连续的两节课,其余课程各一节,现将体育课安排在下午的第三节,则不同的安排方案有(　　)
A. 120 B. 480 C. 600 D. 720
7.除以15的余数是（ ）
A. 9 B. 8 C. 3 D. 2
8.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是()
A. (－1,2) B. (－∞，－3)∪(6，＋∞)
C. (－3,6) D. (－∞，－1)∪(2，＋∞)
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若和都为递增数列，则
10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种
C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种
D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
11.已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______.
13.若对任意的，且，则实数的取值范围是__________.
14.有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有________种．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题13分）在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合;
（3）系数的绝对值最大的项是第几项.
16.(本小题15分）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本(万元)与成正比(其中x(台)表示产量)，并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x(台)的函数关系为(万元)(其中).记当年销售该产品x台获得的利润(利润＝销售收入－生产成本)为万元.
(参考数据：，，)
(1)求函数的解析式；
(2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？
17.(本小题15分）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列前项和为；
（3）设求数列的前项和.
18.(本小题17分）已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若在上最大值为，求实数的值．
19.(本小题17分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若,证明：．
参考答案：
1.【答案】A
【解析】要完成该事件分为两类；
①当最高位是5，则个位可以是0或2或4三种选择，其它位任意排列，共有种，
②当最高位是4，则个位可以是0或2两种选择，其它位任意排列，共有种，
由分类加法计数原理可知比400000大的偶数的排列方法一共有种．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】因为y=,所以y'=.
由导数的几何意义知,曲线y=在点(4,e2)处的切线的斜率k=y'|x=4=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-4).
令x=0,则y=-e2;令y=0,则x=2.
故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=×2×|-e2|=e2.
3.【答案】C
【解析】因为在时有极小值0，所以
又因为，
所以，两式相加得，则或
所以或，检验当时，，
令，解得或，
所以当时，为单调递减函数；
当或时，为单调递增函数；
所以在处取得极小值，满足题意，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，没有极值，舍去；综上，则，
故选：C.
4.【答案】D
【解析】依题意，因为是等比数列，所以，所以，解得.
故选：D.
5.【答案】B
【解析】函数定义域为，对函数求导可得，
因为当时函数取最大值，所以，
代入（1，-2）可得以，即，
所以，所以选择B.
6.【答案】C
【解析】若数学课安排在下午,则只能安排在6,7节,其余5节课全排列,有=120(种)不同的安排方案,若数学课安排在上午,则可以是12,23,34,45,共4种,其余5节课全排列,有4×=4×120=480(种)不同的安排方案,共有120+480=600(种)不同的安排方案.
7.【答案】D
【解析】因为，所以，
根据二项式定理，，
所以即除以15的余数是1，故除以15的余数是2．
故选：D.
8.【答案】B
【解析】∵f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，
∵函数f(x)既存在极大值，又存在极小值，
∴导函数f′(x)有两个不相等的变号零点，
∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，即m2－3m－18>0，
解得m<－3或m>6.
∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)，故选B.
9.【答案】BC
【解析】若的公差为，则：
A：在等差数列中任意两项得关系式知：，
所以，故，则，A错；
B：等差数列的前项和公式，
所以，B对；
C：由，即，而，即，C对；
D：由题设，又是递增数列，则，
所以，即对，，而的符号无法确定，D错.
故选：BC.
10.【答案】ACD
【解析】甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙“捆绑”看成一个元素，
则不同的排法有A＝24(种)，故A正确；
最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
则不同的排法共有
AA＋A＝42(种)，故B不正确；
甲、乙不相邻的排法种数为AA＝72(种)，故C正确；
甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有
＝20(种)，故D正确．
11.【答案】AC
【解析】对于选项A，由题对函数求导得，
令，解得或，则函数在，上单调递增；
令，解得，则函数在上单调递减.
则为函数是极值点，故选项A正确；
对于选项B，因为，，，
所以函数在上有且只有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故选项B错误；
对于选项C，构造函数，且，
则函数是奇函数，是函数的对称中心，
将函数的图象向上移动一个单位得到函数的图象，
所以点是曲线的对称中心，故选项C正确；
对于选项D，令，解得，又，
当切点为时，切线方程为，
当切点为时，切线方程为，故选项D错误.
故选：AC.
12.【答案】
【解析】根据已知条件，的公比为，所以，
所以.
所以数列的前6项和为.
13.【答案】
【解析】对任意的，且，则，所以
，所以，即，由有意义可知，
令，即，又，则函数在上单调递减，所以在上恒成立，因为，由，所以函数的单调递减区间为，所以，故，
即实数的取值范围为.
14.【答案】15
【解析】方法一　首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，
①4个球分给1个人，有3种方法．
②4个球分给2个人，又有两种情况，1人3个、1人1个，有A＝6种方法；2人都是2个，有3种分法．
③4个球分给3个人，只有1,1,2这种情况．有3种分法．
按照分类加法计数原理可得一共有3＋6＋3＋3＝15种．
方法二　先给乙1个球，给丙2个球，则题目转化为有7个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1个球，可将7个球排成一列，在排除两端的6个空位中，插入隔板即可，共有C＝15种分法．
15.【答案】解：（1）当n为偶数时，二项式系数最大为，此题中n为8，所以二项式系数最大为，在二项展开式中为第项，因为
所以；
（2），，
当为整数时为有理项，所以，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
16.【答案】解：(1)依题设：
当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：
，可得：，∴；
∴
(2)由(1)得，
，
∵∴时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴时，取得极大值也是最大值，
，
∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元.
17.【答案】解：（1）根据题意，由于，则①；
又有，，成等比数列，则②，
联立①②且，
解得，，
则，
故数列的通项公式为.
（2）因为
，
所以
，
则；
（3）因为，
所以③，
④，
则③-④得，
综上可知.
18.【答案】解：（1）若，则函数，对函数求导得，
令，解得，则函数在上单调递增；
令时，解得，则函数.在上单调递减.
又，所以函数有极大值e，无极小值；
（2）对函数求导得，
①当，即时，在上恒成立，
故函数在上单调递增，
函数在上的最大值为，故，满足；
②当，即时，在上恒成立， 故函数在上单调递减，
函数在上的最大值为，故，不满足，舍去；
③当，即时，由，得，
令，解得，则函数在上单调递增；
令，解得，则函数在上单调递减.
故函数的最大值为，
所以，不满足，舍去，
综上所述，．
19.【答案】（1）解：由题可知,,．
若,,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减；
若,,
当时,即时,在上恒成立,所以在上单调递增；
当,即或时,令,即,解得,
,
当, 或（舍）,
所以在上单调递增,在上单调递减；
当时,,,且,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；
（2）证明：若,要证,
即证,即证．
令函数,则．
令,即，因为，所以，即，得，令,同理可得．
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
令函数,则．
当时,；当时,．
所以在上单调递减,在上单调递增,所以．
因为,所以,
即,从而得证．

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