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2024-2025学年鲁教版（五四学制）六年级数学下册期末阶段复习
解答压轴题专题提升训练（附答案）
1．（1）如图①， 点在上，，，点是的中点，求线段的长．
（2）如图②， 已知，平分，且， 求的度数．
2．已知，线段，M是线段的中点，P是线段上任意一点，N是线段的中点．
(1)当P是线段的中点时，请画出图形并求出线段的长
(2)当线段时，请画出图形并求出线段的长；
(3)若点P在线段的延长线上，请直接写出线段与线段的数量关系
3．综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________．
②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
4．运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方，可以得到．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出m，n，p之间的数量关系 ．
5．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
(1)填空：当，时，__________；
(2)若，，求的值．
6．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）．
7．如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
(1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简）
(2)若，，求休息区域的面积．
8．【阅读理解】
换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下：
若x满足，求的值．
解：设，
则，
，
那么．
【解决问题】
(1)若x满足，则的值是_____；
(2)若x满足，求的值；
(3)如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别是m，10，13，正方形与正方形的面积之和为89，且边的延长线与边交于点P．求长方形的面积．
9．受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表：
时间 0 4 8 12 16 20 24
水位 2 2.5 3 4 5 6 8
(1)上表反映了_________和________之间的关系，自变量是______，因变量是________；
(2)时，水位是_____________m；
(3)_____________h至_____________h水位上升最快．
10．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
(2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
11．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示．
(1)、两地之间的路程为 千米；
(2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ．
(3)求乙的速度和值；
(4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米．
12．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．
(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
13．在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．
例如：在解方程时，把看作一个整体．
令，原方程变为，
移项，得，
合并同类项，得．
系数化为1，得，
故，解得．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：．
14．【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则．
【尝试运用】
（1）已知方程，则的值为 ；
（2）已知方程，则的值为 ；
【拓展创新】
（3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解．
15．小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套．
(1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答）
(2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？
为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案：
小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖；
小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖．
请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？
16．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
(1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示）
(2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长；
(3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．
(4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值．
17．列方程解决下列问题：
年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和．
(1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？
(2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值．
18．【情境导入】
某服装成本为元，售价为元，则利润为______元；
【课本再现】
下面是北师大版数学教科书七年级上册第页的部分内容：
某商店出售两件衣服，每件售元，其中一件赚，而另一件赔，商店卖出这两件衬衫是赚了，还是赔了，或者不赚也不赔呢？
回答：______（填“赚了”，“赔了”或“不赚不赔”）；
【解决问题】
七年级实践小组去水果店调查，了解到水果店以每箱元的价格购进了箱水果，定价为元，水果店在市场调研后设计了两种方案：
方案一是全部按定价销售，但最终会有箱水果因销售不及时坏掉，所以导致这箱赔本；
方案二是先以定价销售一部分水果后，将剩下的水果在定价的基础上每箱降价销售，最终可以销售完毕．
已知方案二比方案一利润多元，请你算一算方案二中降价前共售出多少箱？
19．如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点E，F是边上一点，连接并延长，交延长线于点H，G为延长线上一点，连接．若平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．如图1，已知A、B分别是边上的任意一点，在内部作，连结，使．
(1)猜想与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点E是线段上一点，作分别交、于点P、F．
①若，求的度数；
②若，直接写出的度数（用含α的代数式表示）．
21．仰卧起坐是湖北省体育中考女生选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，图1是柯乐同学做仰卧起坐时的一个状态，图2，图3是示意图，已知，．
(1)如图2，求证：；
(2)如图3，当柯乐同学在做仰卧起坐的某个瞬间，她腿部的某个位置M与脚后跟D的连线恰好平分，若，求的度数．
22．已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点作交的延长线于点F，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
23．如图1，线段，交于点A，C为射线上一点（不与点A，D重合）．过点C在的右侧作射线，过点D作直线，交于点G（G与D不重合）．
(1)如图2，若点C在线段上，且为钝角（提示：过点C作）．
①直接写出直线与的位置关系______；
②猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)当点C在射线上运动时，直接写出与的数量关系．
24．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
(1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
(2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
(3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数．
参考答案
1．解：（1）因为， ，
所以，
因为，
所以，
因为点是的中点，
所以，
所以；
（2）因为， ，
所以，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
2．（1）解：如图，∵是线段的中点，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∵是线段的中点，
∴；
（2）解：∵是线段的中点，，
∴，
∵，
∴当在左边时，如图，则，
∵是线段的中点，
∴；
如图，当在右边时，，
∵是线段的中点，
∴．
综上所述，或；
（3）解：当在线段延长线上时，如图，设，则，
∵是线段的中点
∴，
∵是线段的中点，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
3．（1）解：①，
，
故答案为：，，；
②∵，
∴，
∵，
∴，
（2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（1）解： ∵，，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
（3）解：∵，且，
∴，
∴．
5．（1）解：
，
故答案为：3；
（2），，
，，
整理得：，，解得：，
．
6．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即．
7．（1）解：由题意可得，游泳池的面积：
休息区域的面积：
（2）解：当时，
（平方米）．
答：休息区域的面积是325平方米．
8．（1）解：设，则，，
那么．
（2）解：设，则，，
∵，
∴，
∴的值为23．
（3）解：由题意得，，则长方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之和为89，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴长方形的面积为40．
9．（1）解：由表可知：
上表反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位，
故答案为：时间，水位，时间，水位；
（2）解：由表可以看出：
时，水位是，
故答案为：；
（3）解：由表可以看出：在相等的时间间隔内，至水位上升最快，
故答案为：，．
10．（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为；
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家．
11．（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米，
故答案为：120；
（2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M，
故答案为： P；N ； M；
（3）解：乙的速度是：（千米/时）；
，
（4）解：相遇之前：，
解得，
相遇之后：，
解得，
即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米．
12．（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发，
∴轿车第1.5小时出发，
∴点所对应的数是1.5；
故答案为：1.5；
（2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时，
轿车在段的速度为千米/小时，
轿车在段的速度为千米/小时，
故答案为：60，80，110；
（3）根据图象可知，轿车到达乙地时，
货车行驶时间为，
此时，货车与甲地的距离为千米；
（4）根据图象可知，轿车先到达乙地，
货车达到时间为小时，
可知，轿车比货车提前小时，
即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达．
13．解：
令，则原方程变为，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故，
解得：．
14．（1）解：方程
，
故答案为：6；
（2）解：方程，
，
故答案为：6；
（3）解：已知关于的一元一次方程，
两边同除以2024变形得：，
关于的一元一次方程的解为，
，解得：，
关于的一元一次方程(的解为．
15．（1）解：设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意得：
，
解得：，
则，
答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒；
（2）解：小红的方案，设张做盒身，则有张做盒盖，
根据题意得：，
解得：；
小军的方案，设余下的纸板张做盒身，
根据题意得：，
解得：，
，
则小军做出的包装盒更多．
16．（1）解：由题意得，当点P在上运动时，，
∴；
（2）解：由题意得，当点P在上运动时，
；
由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在上运动时，则，
解得：；
当点P在上运动时，则，
解得；
综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或；
（4）解：∵的面积是，
∴，
∴，
∴或，
解得：或，
∴当的面积是时t的值为或2．
17．（1）解：设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，
由题意得，，
解得，
∴新办法后第一个月型汽车台数：(台)，
新办法后第一个月型汽车台数：(台) ，
答：在新办法出台后第一个月，该经销商销售的型和型汽车分别为台和台；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，
答：的值为．
18．解：课本再现：设赚了的那件衣服成本为元，赔了的衣服成本为元，
根据题意得：，（元），
解得：，，
（元），
商店卖出这两件衬衫是赔了，
故答案为：赔了；
解决问题：方案一的利润：（元），
则方案二的利润为：（元），
设方案二中降价前共售出箱，
根据题意得：
答：方案二中降价前共售出箱．
19．（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）解：，理由如下：
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）解：①过点作．
由（1）知，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴ ．
∵，
∴．
∴，
∴．
②∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
21．（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
（2）由（1）得，
∴
∵平分，
∴
设，则，，
∴
∴，解得：，
∴，
∴．
22．（1）解：过点C作，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由：
过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
即．
23．（1）解：①∵，
∴；
②，利用如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：．
理由：如图，过点C作，

∴，
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
24．（1）解：如图①，过作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
如图②，过作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图③，延长，交于点，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图④，
由（1）的结论可得：，，
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．

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