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湘版数学七年级上册
小结与复习
第4章 图形的认识
知识架构
知识架构
图形的认识
立体图形
平面图形
直线
射线
线段：长短比较（度量法、叠合法 ）；两点之间线段最短；度量与计算
角：大小比较（度量法、叠合法 ）；角的互余互补（同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 ）；度量与计算
要点梳理
一、立体图形与平面图形
各部分不都在同一平面内的几何图形，是立体图形。
各部分都在同一平面内的几何图形，是平面图形。
几何图形是由点、线、面、体组成的.
立体图形可以展开成平面图形，平面图形可以围成立体图形
二、线段、射线、直线
联系：线段和射线都是直线的一部分.
比较线段长短的方法：度量法、叠合法.
1.线段、射线、直线的联系与区别
二、线段、射线、直线
2.点和直线的位置关系
点 A 在直线 l 上
或直线 l 经过点 A.
A
l
点 A 在直线 l 外
A
l
或直线 l 不经过点 A
(点 A 不在直线 l 上).
当两条不同的直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点.
3.基本事实：两点确定一条直线.
两点之间，线段最短.
二、线段、射线、直线
4.线段的中点
若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时B叫作线段AC的中点.
A
a
a
M
B
M 是线段 AB 的中点
几何语言：
因为M 是线段 AB 的中点
所以 AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 MB )
反之也成立：
因为 AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 AB )
所以 M 是线段 AB 的中点
三、角
1.角的定义
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角.
动态定义：把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫作角.
2.角的表示
①用三个大写字母表示，顶点字母写在中间
符号：∠
②用一个大写字母表示
③用一个希腊字母表示
④用一个数字表示
三、角
3.角的大小比较与分类
角的大小用单位度、分、秒表示.
比较角大小的方法：度量法、叠合法、尺规作图法.
角的分类：
三、角
4.角的度量与计算
度、分、秒之间的换算是六十进制.
1°=60′
1′=60″
用借位法和进位法进行角度的和、差运算
三、角
5.角平分线
从一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.
几何语言：如图，∵ OC 平分 ∠AOB
（或AC是∠AOB的角平分线），
∴ ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC
（或∠AOC =∠BOC = ∠AOB）
三、角
6.余角和补角
考点一 立体图形与平面图形的区别与联系
考点讲练
例1　观察如图所示的棱锥,回答下列问题:
(1)这个图形是平面图形还是立体图形
(2)图中有多少个顶点 多少条棱 多少个面
(3)图中有哪些平面图形
解:(1)这个图形是立体图形.
(2)有5个顶点,有8条棱,5个面.
(3)图中的平面图形:正方形和三角形.
针对训练
1.在圆、正方形、圆锥、长方体、线段、球、三棱柱、直角三角形中,是立体图形的有　 　,是平面图形的有
　 　.
圆锥、长方体、球、三棱柱
圆、正方形、线段、直角三角形
考点二 直线、射线、线段的概念与性质
例2　下列说法:①射线AB与射线BA表示的是同一条射线;②线段AB与线段BA表示的不是同一条线段;③直线AB与直线BA表示的是同一条直线;④线段、射线都是直线的一部分.其中,正确的是
　 　.(填序号)
③④
例3　“把弯曲的公路改直,就能缩短路程”,其中蕴含的数学道理是 ( )
A.两点确定一条直线　　　 B.直线比曲线短
C.两点之间直线最短 D.两点之间线段最短
D
例4　如图,回答下列问题:
(1)图中有几条直线 能用字母表示出来的有哪些
(2)图中有几条射线 能用字母表示出来的有哪些
(3)图中有几条线段 用字母表示出来.
解:(1)图中有1条直线,表示为直线AD(或直线AB、AC、BD、BC、CD).
(2)共有8条射线,能用字母表示的有射线AB、BA、BC、CB、CD、DC.
(3)共有6条线段,表示为线段AB、AC、AD、BC、BD、CD.
例5　如图,有四个点A,B,C,D,按照下列语句画出图形:
(1)画直线AB;
(2)画射线BD;
(3)作线段BC;
(4)线段AC和线段BD相交于点O;
(5)反向延长线段BC至点E,使BE=BC.
解:如图所示.
例6　已知线段AB=24cm，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，
点E在线段AC上，且CE= AC，画图并计算ED的长.
解:如图所示.∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC= AB=12cm.
∵D是线段CB的中点，
∴CD=BD= CB=6cm.
又∵CE= AC=4cm，
∴ED=CE+CD=4+6=10cm.
针对训练
2.下面说法与所示的几何图形相符的是 ( )
A.点P在直线n上
B.直线OA和直线m表示同一条直线
C.点P在射线OB上
D.直线OA与直线PB都经过点O
D
3.在某次会议前,工作人员进行会场布置,工作人员会在主席台上由两人拉着一条绳子,然后以“准绳”摆放整齐的茶杯,这样做的理由是 ( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.过一点可以作无数条直线
B
4.如图,可以用字母表示出来的不同线段有　 　条.
5.(1)往返于A、B两个城市的客车,中途有四个停靠点,该客车
有　 　种不同的票价,该客车要准备　 　 种车票.
(2)有5个人,每两个人握一次手一共要握　 　次手.
10
15
30
10
6.如图,在平面上有三个点A,B,C,请按下列要求作图:
(1)作直线AB.
(2)作射线AC.
(3)在射线AC上用无刻度的直尺和圆规作线段AD,使AD=2AB.
解:如图所示。
7.延长线段AB至点C,D,E分别是线段AC和线段BC的中点.
(1)已知AB=10,BE=2,求DB的长.
(2)若DE=a cm,求线段AB的长.
解:（1）∵E是BC的中点，BE=2，
∴BC=2BE=4.
∵AB=10，∴AC=10+4=14
又∵D是AC的中点，
∴AD=CD= AC=7，
∴BD=AB-AD=10-7=3.
（2）∵D,E分别是线段AC和线段BC的中点，
∴AD=CD= AC，BE=CE= BC.
∵DE=CD-CE即 (AC-BC)=DE
∴ AB=DE即 AB=a
∴AB=2a
答：AB的长为2a cm.
考点三 角的相关概念与性质
例7　如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC为 2∶5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.
解:设∠ABE=2x°，则∠CBE=5x°，∠ABC=7x°.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC= x°，
又∠DBE=∠ABD-∠ABE= x-2x= x°，
∴ x=21，解得：x=14.
∴ ∠ABC=7x=98°.
例8 已知∠2是∠l的余角，∠3是∠2的补角，且∠1=40°,分别求∠2，∠3的度数.
解:∵ ∠1+∠2=90°，∠1=40°，
∴ ∠2=50°.
∵ ∠3+∠2=180°，
∴ ∠3=130°.
针对训练
8.如图,射线OB,OC在∠AOD的内部,且∠AOB∶∠BOC∶∠COD=2∶5∶3.若射线OM平分∠AOD,且∠BOM=45°,求∠AOD的度数.
解:设∠AOB=2x°，则∠COB=5x°，∠COD=3x°，
∴∠AOD=∠AOB+∠COB+∠COD=10x°.
∵OM平方∠AOD，
∴∠AOM=∠DOM= ∠AOD=5x°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=3x=45，解得：x=15.
∴∠AOD=10x=150°.
9.(1)一个角的余角比这个角的补角的一半少42°，求这个角的度数;
(2)一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.
解:(1)设这个角的度数为x°.
由题意得，(180-x)-(90-x)=42
解得 x=84
答：这个角的度数为84°.
（2）设这个角的度数为x°.
由题意得， (180-x)-3(90-x)=10
解得 x=50
答：这个角的度数为50°.
课堂小结
图形与几何
立体图形
平面图形
点
线段：长短比较；两点之间线段最短
射线
直线：两点确定一条直线
角：大小比较（含角平分线 ）；度量与计算；余角与补角（同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 ）
下 课
Thanks!
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