资源简介

2024-2025学年高一下学期期中考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．如图，分别用基底{,}表示向量,,,则（ ）
A. B. C. D.
2．已知向量，，则（ ）
A. 5 B. 14 C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，角，，所对的边分别为,,，若,,则（ ）
A. B. C. D. 2
5. 在中，内角，，所对的边分别是,,，若的面积是,则（ ）
A. B. C. D.
6. 过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分，它们的体积之比是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知和两点，若点在直线上，且，又是的中点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ）
A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ）
A．该圆台的高为1
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5
11. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
D. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知是方程的一个虚根，则实数__。
13. 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是________。
14. 在中，，，，若为中点，则长为 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）在中，,,分别是角，，的对边，且。
（1） 求的大小；
（2） 若,,求的值。
16. （15分）已知复数.
（1） 求复数；
（2） 若,求实数,的值。
17. （15分）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长。

(1)求“浮球”的体积：
(2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？
18.（17）如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕所在直线旋转一周。
（1） 求阴影部分形成的几何体的表面积；
（2） 求阴影部分形成的几何体的体积。
19.（17） 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍。
(1)若，，求该几何体的体。.
(2)若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积。
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值。2024-2025学年高一下学期期中考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1． 2．如图，分别用基底{,}表示向量,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.因为,,,所以.
2． 已知向量，，则（ ）
A. 5 B. 14 C. D.
【答案】B
【解析】选B.方法一：因为，，所以，所以.
方法二：.又，所以.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.,..故选C.
4. 在中，角，，所对的边分别为,,，若,,则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】选D.由正弦定理得,所以,,所以.
5. 在中，内角，，所对的边分别是,,，若的面积是,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.由 及已知整理得 的面积为,所以,所以,因为,所以.
6. 过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分，它们的体积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.如图，设圆锥底面半径，高.因为 为 的中点，所以,.
方法一：,,
所以.
方法二：,,则,所以.
7. 已知和两点，若点在直线上，且，又是的中点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.设，
则，，
由，则
解得 即，
设，因为 是 的中点，
所以 解得
即.故选A.
8. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ）
A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍
【答案】C
【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案.
【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：，
原来球体的体积为：，
当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径，
此时球体体积为：，由，
所以球的体积增大为原来的27倍.
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
【答案】AD
【分析】A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到，A正确；B选项，写出z在复平面内对应的点坐标，得到所在象限；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，利用模长公式得到D正确.
【详解】A选项，，
故虚部为-2，A正确；
B选项，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，B错误；
C选项，z的共轭复数，C错误；
D选项，，D正确.
故选：AD
10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ）
A．该圆台的高为1
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5
【答案】BCD
【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确.
【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高，
利用勾股定理计算可得，所以A错误；
对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；
对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；
所以该圆台的体积为，可得C正确；
对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：
易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；
由弧长公式可知，解得；
所以可得，
设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，
易知，且，
由勾股定理可知，可知D正确.
故选：BCD
11.（多选）在中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
D. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
【答案】ABD
【解析】选.以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为 ，故A正确；以 所在直线为旋转轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其底面半径为，故所得旋转体的体积，故B正确；以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为 ，体积为 ，故C错误，D正确.故选.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知是方程的一个虚根，则实数__.
【答案】26
【解析】 是方程 的一个虚根，则另一个虚根是，由根与系数的关系,
得 解得
13.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是________.
【答案】
【解析】设球 的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以.
14. 在中，，，，若为中点，则长为 .
【答案】
【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长.
【详解】在中，，，
所以，则，
由余弦定理得：，故，
由余弦定理得：，
若为中点，则在中，，
由余弦定理得：，
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，,,分别是角，，的对边，且.
（1） 求的大小；
（2） 若,,求的值.
【答案】
（1） 解：因为,
所以由正弦定理，得,
所以,
又,
所以.
又 ,所以.
（2） 将,,,
代入 得,
,
即,解得 或.
16. 已知复数.
（1） 求复数；
（2） 若,求实数,的值.
【答案】
（1） 解：
.
（2） 把 代入,
得,
整理得,
所以 解得
17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.

(1)求“浮球”的体积：
(2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？
【答案】(1)
(2)克
【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解.
【详解】（1）该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，
得球的半径与圆柱底面半径均为，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以个“浮球”的表面积为，
因此，个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶克，
所以总共需要胶的质量为：（克）．
18.如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕所在直线旋转一周.
（1） 求阴影部分形成的几何体的表面积；
（2） 求阴影部分形成的几何体的体积.
【答案】
（1） 解：由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，
,
，
.
故所求几何体的表面积为 .
（2） , ,故所求几何体的体积为 .
19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
(1)若，，求该几何体的体积.
(2)若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积.
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【分析】（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解；
（2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
（2）（ⅰ），所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
（ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面，
，，设
，，
，所以，
所以，
，
当四点共线时，最短，
所以
所以的最小值为.

展开更多......

收起↑