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2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——三角函数
一、单选题（本大题共15小题）
1．[2025北京朝阳·一模]为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
2．[2025北京西城·一模]在长方形中，为的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025北京朝阳·一模]已知，，则（ ）
A． B． C． D．1
4．[2025北京平谷·一模]已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
5．[2025北京海淀·一模]已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（ ）
A．1 B．
C． D．
6．[2025北京东城·一模]在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（ ）
A． B． C． D．
7．[2025北京房山·一模]已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．[2025北京西城·一模]已知函数．若，则（ ）
A． B．或
C． D．或
9．[2025北京石景山·一模]已知x，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．[2025北京朝阳·一模]某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线，的距离分别为，（为定值），入口B，C分别在直线，上，公园的一边AB与直线所成的锐角为，另一边AC与AB垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是（ ）

A．函数的最大值为
B．函数的最小值为
C．若，且则
D．若，且，则
11．[2025北京平谷·一模]已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
12．[2025全国·一模]将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，直线为的图象的一条对称轴，则函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
13．[2025全国·一模]已知函数 ， ，对任意 恒有 ，且在区间 上有且只有一个 使 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．[2025北京门头沟·一模]已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
15．[2025全国·一模]已知过点作与轴不垂直的直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共9小题）
16．[2025北京延庆·一模]已知是第四象限角且，，则的值为 .
17．[2025全国·一模]已知函数，且函数图象过点，则函数在区间上的最小值为 .
18．[2025北京石景山·一模]如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为
19．[2025全国·一模]已知，，则 ．
20．[2025北京东城·一模]已知函数，若的最小正周期为，则 ；若存在，使得，则的最小值为 .
21．[2025北京丰台·一模]已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， .
22．[2025北京房山·一模]若对任意实数恒成立，则满足条件的一组的值为 ， .
23．[2025北京门头沟·一模]在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的 .
24．[2025北京海淀·一模]如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：
①；
②最大值是35；
③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；
④存在，使得时到的距离等于15米．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共2小题）
25．[2025北京石景山·一模]已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：是的对称中心；
条件③：可以由函数平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
26．[2025北京顺义·一模]已知函数.
(1)求的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围.
条件①：在上是单调函数；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：对任意的，都有成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案
1．【答案】D
【详解】试题分析：因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D.
考点：三角函数图像变换
【易错点睛】对y＝Asin（ωx＋φ）进行图象变换时应注意以下两点：
（1）平移变换时，x变为x±a（a＞0），变换后的函数解析式为y＝Asin[ω（x±a）＋φ]；
（2）伸缩变换时，x变为（横坐标变为原来的k倍），变换后的函数解析式为y＝Asin（x＋φ）．
2．【答案】B
【详解】设，则，如下图所示：
因为，，，所以，，
所以，，故，
因此，.
故选B.
3．【答案】B
【详解】由，，得，
整理得，所以.
故选B．
4．【答案】A
【详解】由，，
则，
因为在区间上没有最值，
所以，
则，解得，
所以的最大值为.
故选A.
5．【答案】D
【详解】连接交轴于,
由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称，
故为圆心，故，
,,
故，解得，
故选D
6．【答案】C
【详解】由题意得，
A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，若，此时，D错误.
故选C
7．【答案】A
【详解】由函数，则易知其图象对称中心，
当时，为函数图象的对成中心，
则当时，，充分性成立；
当时，由，可能得到，必要性不成立.
故选A.
8．【答案】B
【详解】因为，则该函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的对称轴方程为，
因为，则或，
故选B.
9．【答案】B
【详解】因为，所以，即，故A错误；
因为，所以，即，故B正确；
因为，而余弦函数在上不单调，
如，故C错误；
因为，由于当时，恒有，故D错误；
故选B.
10．【答案】D
【详解】在中，，，根据正弦函数的定义，可得.
因为，，所以，在中，，根据余弦函数的定义，可得.
对于，，将，代入可得：
，进一步化简为，.
对于选项A，因为，所以，.当取最小值（取不到），最大值时，没有最大值，所以A错误.
对于选项B，由，，当，即，时，取得最小值，所以B错误.
对于选项C，当时，，单调递增，单调递减；当时，，单调递减，单调递增.
所以若且，不一定有，C错误.
对于选项D，若且，则，.因为，，所以，D正确.
故选D.
11．【答案】B
【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ，
点,
当点在点时，点在曲线上， ，
当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大；
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小，
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大，
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，增大,逐渐减小，
当点在点时，,
综上可得的最小值是1,
故选B.
12．【答案】D
【详解】由题意可得，，
因为的图象关于直线对称，
所以，
则，即，
又，所以，则，
令，则，
则的单调递增区间为，
当时，的一个单调递增区间是，故D选项正确；
当时，的一个单调递增区间是，
由于和之间无其他整数，故A，B，C选项错误.
故选D．
13．【答案】C
【详解】由题意知 ，则 ，
其中 ，
又 在（ ， ）上有且只有一个最大值，且要求 最大，
则区间（ ， ）包含的周期应最多，
所以 ，得 ，即 ，所以 .
分类讨论：
①.当k=19时， ，此时 可使 成立，
当 时， ，
所以当 或 时， 都成立，舍去；
②.当k=18时， ，此时 可使 成立，
当 时， ，
所以当 或 时， 都成立，舍去；
③.当k=17时， ，此时 可使 成立，
当 时， ，
当且仅当 时， 都成立，
综上可得： 的最大值为 .
故选C.
14．【答案】B
【详解】因为满足，且在区间上具有单调性，
则点和关于点对称，
即为函数的对称中心，
又由函数的零点为，解得，
所以，解得，
当时，，即的值可以是.
故选B.
15．【答案】B
【详解】可设直线的方程为，即，
圆心到的距离，又，
所以，解得，
记直线的倾斜角为，，，．
故选B．
16．【答案】.
【详解】因为是第四象限角且，所以，，
因为，所以，
则.
17．【答案】
【详解】由题意得，，
∵函数图象过点，∴，
∵，∴，
∴，解得，
∴.
∵，∴，
结合在单调递减，
∴函数在区间上的最小值为.
18．【答案】/0.6
【详解】由题意，点的横坐标为，则，
则.
19．【答案】
【详解】由，，
所以，，所以．
20．【答案】
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为，又，
所以为函数的最大值或最小值，
要使最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，
由，则，
则或，解得，
所以的最小值为.
21．【答案】 2
【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且.
设则.
且，则，则，同理，
因此.解得.
因为函数的图象过点，可得，
所以，，则，.
由于，则，那么.
将代入可得：.
22．【答案】1 （答案不唯一）
【详解】若对任意实数恒成立，
则满足条件的一组的值为，.
23．【答案】（答案不唯一）
【详解】由题意，，则或
24．【答案】①③
【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，，
又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米，
所以第分钟，点距离地面的高度为：，
第分钟，距离地面的竖直高度为：，
化简得，
所以，故①正确；
当，即时，得最大值，为，故②错误；
若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需,
所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误；
因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确.
25．【答案】(1)；
(2)最大值为2，最小值为.
【详解】（1）①，由，得；
②，由是的对称中心，得，
则，；
③，由，
因为可以由函数平移得到，
则，；
由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③.
选①③，由上述可知，，，，
则，即，
所以或，，
则或，，
又，则，即；
选②③，由上述可知，，，，，
则，，即，，
又，则，即；
（2）由，得，
则，则，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
26．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，
所以
，
所以.
（2）对于条件①：在上是单调函数，
因为在上是单调函数，所以，
所以，又因为，解得，
因为，
解得，
所以函数的单调单调递增区间为：
，
若函数在上单调递增，则，
整理有，
当时，解得，
当时，无解，得其他值时不等式无解；
因为，
解得，
所以函数的单调单调递减区间为：
，
若函数在上单调递减，则，
整理有，
当时，解得，
当时，无解，得其他值时不等式无解；
对于条件②：图象的一个对称中心为，
因为，解得，
所以函数的对称中心为，
若是图象的一个对称中心，
则，解得；
对于条件③：对任意的，都有成立，
则时，函数取得最大值，有，
解得；
若选条件①②，则有，方程无解，
或，时，，
所以，因为，所以，
因为在区间上仅有一个零点，
所以解得；
若选条件①③，则有有，方程无解，
或，时，，
所以，因为，所以，
因为在区间上仅有一个零点，
所以解得；
若选条件②③，则有，
即，方程解不唯一，
此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求.
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