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2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——平面向量
一、单选题（本大题共11小题）
1．[2025北京延庆·一模]已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．[2025北京西城·一模]蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ）
A．44 B．48
C．72 D．76
3．[2025北京门头沟·一模]已知向量，满足，，且，的夹角为，则（ ）
A． B． C．5 D．10
4．[2025北京顺义·一模]已知,点M满足，则的可能取值是（ ）
A．4 B． C．1 D．
5．[2025北京顺义·一模]已知平面向量，满足，，，则（ ）
A．6 B．3 C． D．
6．[2025北京丰台·一模]在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．[2025全国·一模]已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C． D．3
8．[2025北京房山·一模]已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
9．[2025全国·一模]已知非零向量，，满足：，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025北京朝阳·一模]在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
11．[2025北京平谷·一模]已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题（本大题共1小题）
12．[2025全国·一模]设向量，满足，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．与的夹角为钝角
三、填空题（本大题共4小题）
13．[2025北京石景山·一模]设，，，则 ．
14．[2025北京东城·一模]已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； .

15．[2025北京海淀·一模]已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ．
16．[2025北京西城·一模]设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值 ， ．
参考答案
1．【答案】B.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选B.
2．【答案】B
【详解】设点，正六边形的边长为4，
所以，
所以，
所以，
设点到原点的距离为，则的最大值为，
由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，
如图，可取，
所以，
即的最大值为48.
故选.
3．【答案】C
【详解】由题意得
.
故选C.
4．【答案】B
【详解】设点，由，整理得：，
即点的轨迹为圆心在，半径为的圆，
因，即点在圆外，
则表示圆外的点到圆上的点的距离，如图，有.
故选B.
5．【答案】D
【详解】由，则，
由，
则，解得.
故选D.
6．【答案】C
【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，
所以为直角三角形，，所以，
又因为所以所以，
又因为E为边上的动点，所以
，
因为，所以即
所以的最大值为6.
故选C．
7．【答案】C.
【详解】由，得，则，
所以.
故选：C.
8．【答案】D
【详解】若，则，
即
又，
.
故选D.
9．【答案】C
【详解】由，可得，两边平方得，即，
∵，∴，
∴，
∴向量与的夹角为.
故选C.
10．【答案】C
【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角；
又，故点在三角形底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：
又，则，
故，；
则，设，，
故，当且仅当时取得等号；
也即的最小值为.
故选C.
11．【答案】B
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，所以是必要条件，
综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
12．【答案】AC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，
所以，与不垂直，故B错误；
对于C，，，，，
，所以与夹角为，故C正确；
对于D，，与的夹角不为钝角，故D错误；
故选AC．
13．【答案】
【详解】由，得，
因为，所以，即，
所以.
14．【答案】
【详解】平移向量与共起点，易看出的夹角为，
；
，， ，
的夹角的余弦值，的夹角为，
.
15．【答案】 ； .
【详解】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为；
不妨设，满足；
则，，，
设与的夹角为，则，
则，
令，故，
根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，
又当时，，当或时，，故，又，故.
16．【答案】 （答案不唯一，填也对） （答案不唯一，第一空填，则第二空填，第一空填，则第二空填）
【详解】因为，，
所以，即，
因为，，所以，
又向量与共线，，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或
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