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2025-2026学年第一学期北师大版数学八年级上册第二章《实数》检测试卷
（测试时间：100分钟 试卷满分：100分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．要使有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．2与
3．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．若，为两个连续整数，且，则的值为（ ）
A．30 B．13 C． D．
5．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知、均为实数且与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
下列说法：
①负数没有立方根； ②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；
③一个数的算术平方根一定是正数；④的算术平方根是
其中不正确的有（　 　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（ ）
A．4 B． C．5 D．
10. a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，
如3的“伴随数”是，-2的“伴随数”是，
已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，
以此类推，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案．
11．当x 时，二次根式有意义．
12．已知，则的值为 .
13. 比较大小 ．（填“”“”或“”）
已知实数a，b满足，则立方根是 ．
15．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是 ．
16．在中，，若，则 ．
在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是 ．
对于实数x，我们规定[X）表示大于x的最小整数，如[4）═5，[）=2，[﹣2.5）=﹣2，
现对64进行如下操作：
64 [）=9 [）="4" [）=3 [[）=2，
这样对64只需进行4次操作后变为2，
类似地，只需进行4次操作后变为2的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（（1）计算：；
（2）求等式中的值：．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．已知的算术平方根为，立方根为．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
22．阅读下面计算过程：
；
；
．
试求：
的值；
（为正整数）的值；
的值．
分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；；

请用含有为正整数的等式______；
推算出______．
求出的值．
24．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，
我们只要找到两个数a，b，使，，即，，
那么便有：.
例如化简：.
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以.
根据上述方法化简：.
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2025-2026学年第一学期北师大版数学八年级上册第二章《实数》检测试卷解答
（测试时间：100分钟 试卷满分：100分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．要使有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于所给的代数式中含有二次根式，因此二次根式的被开方数必须非负，解不等式，即可求得x的取值范围．
【详解】解：要使根式有意义
则被开方数x＋1≥0，得x≥－1
故选：B．
2．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．2与
【答案】A
【分析】根据相反数的定义，化简判断即可．
【详解】A、∵，∴与互为相反数，故该项正确，符合题意；
B、∵，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
C、∵与2互为相反数，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
D、∵，∴2与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
故选A．
3．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和计算算术平方根，先根据数轴得到、、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知，
，
，
故选：A．
4．若，为两个连续整数，且，则的值为（ ）
A．30 B．13 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出a、b的值从而得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
又，为两个连续整数，且，
∴，
∴．
故选：A．
5．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解：若开始输入的的值是，
则其立方根为，是有理数，
则的算术平方根是，
∵是无理数，
∴输出，
故选：C．
6. 已知、均为实数且与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴
∴，，
解得：，．
∴．
故选：B．
下列说法：
①负数没有立方根； ②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；
③一个数的算术平方根一定是正数；④的算术平方根是
其中不正确的有（　 　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据立方根、算术平方根、平方根进行判断即可．
【详解】解：①负数有立方根，说法不正确，符合题意；
②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，说法不正确，符合题意；
③0的算术平方根一定是0，说法不正确，符合题意；
④的算术平方根是，说法正确，不符合题意；
故选：B．
8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．
【详解】解：大正方形的边长为，
，
，即，
又，
，
，
，
，
与最接近的整数是4，
即大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：B．
9．如图，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的应用，估算无理数的大小，根据算术平方根性质求出，再根据无理数的估算结合，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
同理，得，
∵，即，
∴正方形的边长，即．
∴正方形的边长可能是．
故选：B．
10. a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，
如3的“伴随数”是，-2的“伴随数”是，
已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，
以此类推，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．
根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键．
【详解】解：由题意知，
，
，
，
，
．．．，
由此可知，这列数按4，，，重复出现，
，
．
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案．
11．当x 时，二次根式有意义．
【答案】x＞0
【详解】解：根据题意得，＞0，
解得x＞0．
12．已知，则的值为 .
【答案】或1或0
【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可．
【详解】解：，
或或，
或或，
，
的值为：或1或0
故答案为：或1或0．
13. 比较大小 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，先计算出，再估算出，得出，即可得解．
【详解】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
已知实数a，b满足，则立方根是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的立方根，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
先根据非负性求得，再代入求得，即可求解立方根．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴立方根是1，
故答案为：1．
15．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是 ．
【答案】4
【分析】先根据一个数的两个平方根互为相反数得到的值，计算出这个正数，求得立方根即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：，
则这个正数是，
即，
故答案为：4．
16．在中，，若，则 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理得，再代入计算即可．
【详解】解：在中，，
，
，
故答案为：．
在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可．
【详解】解：输入x的值是64时，
则，
那么，
因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，
故答案为：．
对于实数x，我们规定[X）表示大于x的最小整数，如[4）═5，[）=2，[﹣2.5）=﹣2，
现对64进行如下操作：
64 [）=9 [）="4" [）=3 [[）=2，
这样对64只需进行4次操作后变为2，
类似地，只需进行4次操作后变为2的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】3968
【详解】试题分析：将63代入操作程序，只需要3次后变为2，
设这个最大正整数为m，则，从而求得这个最大的数．
【解答】解：63 [）=8 [）=3 [）=2，
设这个最大正整数为m，则m [）=63，
∴＜63．
∴m＜3969．
∴m的最大正整数值为3968．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（（1）计算：；
（2）求等式中的值：．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查了实数的混合运算和利用平方根解方程，解题的关键是掌握运算法则和方程的解法．
（1）根据乘方、立方根、算术平方根，以及绝对值性质化简各项，再相加即可；
（2）将其整理为，再利用平方根的性质求解，即可解题．
【详解】解：（1）
；
（2）
解得或．
20．计算：
(1)；
(2)．
【答案】
(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可；
（2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．已知的算术平方根为，立方根为．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根，平方根，立方根的计算，掌握算术平方根、平方根、立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据立方根，算术平方根的计算方法即可求解；
（2）由（1）可得，的值，代入计算，再根据平方根的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：∵的算术平方根为，
∴，
∵立方根为，
∴，
∴，
解得：，
即，；
（2）解：∵，
∴的平方根为．
22．阅读下面计算过程：
；
；
．
试求：
的值；
（为正整数）的值；
的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可；
（2）先找出有理化因式，最后求出即可；
（3）先分母有理化，再合并即可．
【详解】（1），
（2）原式，
（3）原式，
，
，
．
分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；；

请用含有为正整数的等式______；
推算出______．
求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（2）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）
，
所以，
故答案为：；
（3）
．
24．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，
我们只要找到两个数a，b，使，，即，，
那么便有：.
例如化简：.
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以.
根据上述方法化简：.
【答案】见解析
【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】根据题意，可知，，
由于，，
所以，，
所以.
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