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2025年江西省宜春实验学校中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列四个数中，最小数的是（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
2．（3分）作为新兴力量，DeepSeek承载着打破国外技术垄断、为中国AI开拓新局的使命，在全球AI竞技场上崭露头角，助力中国迈向AI强国之列．数据显示，DeepSeek发布20天后，其日活跃用户已达22150000人，将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A．2.215×108 B．22.15×107
C．2.215×107 D．0.2215×108
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
4．（3分）“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐玩具之一．如图，这是一个木制的陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），则它的俯视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路．已知∠ABE＝∠FBM，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝60°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF，使之与地面的夹角∠CBE为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．（3分）关于二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）+2（a＞0）的下列说法中，正确的是（　　）
A．该二次函数的图象都经过（1，0）和（3，0）．
B．当a＝1时，该二次函数的最小值为2．
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x＜0或x＞2时，y＜2．
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n（m＜n），则1＜m＜n＜3．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
8．（3分）分解因式：xy2﹣x＝　 　 ．
9．（3分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则4x1+2x1x2的值为　 　 ．
10．（3分）在菱形ABCD中，AD＝5，AE⊥BC于点E，EC＝2，连接BD交AE于点F，则AF的长为　 　 ．
11．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有四人共车，三车空；三人共车，五人步，问人与车各几何．其大意为：现在有若干人乘车，每四人共乘一辆车，则有三辆空车；每三人共乘一辆车，则有五人无车可乘，问车和人各多少？若设有x辆车，根据题意，可列方程为　 　 ．
12．（3分）如图，点E是矩形ABCD的对角线AC上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，已知AB＝3，BC＝6，若AB上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则AG的长为　 　 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）如图，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD并延长至点E，使得AD＝DE，求证：AB＝CE．
14．（6分）先化简，再求值：（），且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
15．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是AC的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作出BC边上的中线AP．
（2）在图2中作出等腰三角形ABE，使得AE＝AB．
16．（6分）为弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，我校正积极筹备2025年科技文化艺术节．八年级一班、二班准备在“歌曲串烧”“民族舞蹈”、“民乐演奏”“诗歌朗诵”（用字母A、B、C、D依次表示这四个节目）中各随机选择一个节目进行表演．
（1）八年级一班选中“民乐演奏”概率为　 　 ；
（2）请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率．
17．（6分）如图，已知四边形AOCB为矩形，且B点坐标为（6，4），反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且BE＝3CE，连接DE．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DE的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，4月30日，神舟十九号飞船顺利着陆，这一去一回的“太空交接班”标志着我国航天事业迈向体系化发展的新阶段．某航模商店购进A、B两种航空模型进行销售，已知购进A种航空模型和B种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型3个和B种航空模型2个共需155元．
（1）求A、B两种航空模型进价分别多少元；
（2）某商店计划购买A、B两种航空模型共80个，若A、B两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买A种航空模型多少个？
19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，点E为AC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，CD＝4，求△ABC的面积．
20．（8分）“节约用水，从我做起”．学校的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），开启前AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其中AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm．
（1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度．
（2）求EC的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，，
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在十四届全国人大三次会议上，国家卫生健康委员会宣布我国将开展“体重管理年”3年行动．某校兴趣小组为了解该校学生的健身锻炼情况，通过调查，形成了如下调查报告．
调查目的 1．了解本校学生暑期健身活动的总时长； 2．给该校学生提出合理的健身活动建议.
调查方式 随机抽样调查
调查对象 部分初中生
调查内容 同学，你暑期健身活动的总时长为（　　）． A.0～10小时； B.10～20小时； C.20～30小时； D.30～40小时； E.40小时及以上（每组含最小值，不含最大值） 请根据实际情况选择最符合的一项，感谢参与!
调查结果
建议 …
结合调查信息，解答下列问题．
（1）本次调查共抽查了　 　 名学生，扇形统计图中组别B所对应圆心角的度数为　 　 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1200名学生，请你估计该校学生暑期健身活动总时长不低于30小时的人数；
（4）请你根据以上统计数据，给该校学生暑期锻炼提一条合理化建议．
22．（9分）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为t＝1：0.5，当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由；
（3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上．当水面离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF．
（1）如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE．
①AE与BD之间的位置关系是　 　 ，数量关系是　 　 ；
②若，则线段AF＝　 　 ；
（2）如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，试探究BD与FG的数量与位置关系并证明；
（3）如图3，连接CF和BE，若，当线段CF取最小值时，请求出△BCE的面积．
2025年江西省宜春实验学校中考数学二模试卷
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C． B D B D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．x≠﹣5．
8．x（y﹣1）（y+1）．
9．2．
10．．
11．4（x﹣3）＝3x+5．
12．3或1或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解：原式＝31；
（2）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE．
14．解：原式＝[]
＝（） x
＝x﹣1+x﹣2
＝2x﹣3
由于x≠0且x≠1且x≠﹣2
所以x＝﹣1
原式＝﹣2﹣3＝﹣5
15．解：（1）如图1，连接CO，BD，相交于点G，连接AG并延长，交BC于点P，
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴AP为△ABC的边BC上的中线，
则AP即为所求．
（2）如图2，连接CO，BD，相交于点G，连接AG并延长，交BC于点P，连接OP并延长，交⊙O于点F，连接BF并延长，交AC的延长线于点E，
可知AP为△ABC的边BC上的中线，
∴CP＝BP，
∵CO＝BO，OP＝OP，
∴△COP≌△BOP（SSS），
∴∠COP＝∠BOP，
∴∠EAF＝∠BAF．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴△ABE为等腰三角形．
即等腰三角形ABE为所求．
16．解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中八年级一班选中“民乐演奏”的结果有1种，
∴八年级一班选中“民乐演奏”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中一班、二班同学表演不同节目的结果有12种，
∴一班、二班同学表演不同节目的概率为．
17．解：（1）∵四边形AOCB为矩形，
∴∠BAO＝∠B＝∠BCO＝90°，
∵B点坐标为（6，4），
∴AB＝OC＝6，OA＝BC＝4，
∵BE＝3CE，
∴CEBC＝1，
∴E（6，1），
∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点，
∴1，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵比例函数y的图象与矩形交于D点，
∴D点的纵坐标为4，
∴4，
∴x，
∴AD，
∴BD＝AB﹣AD，
∴DE．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）设A种航空模型的进价是x元，B种航空模型的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种航空模型的进价是25元，B种航空模型的进价是40元；
（2）设购买A种航空模型m个，则购买B种航空模型（80﹣m）个，
根据题意得：（40﹣25）m+（50﹣40）（80﹣m）≥1100，
解得：m≥60，
∴m的最小值为60．
答：至少购买A种航空模型60个．
19．（1）证明：连接OD，OE，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AO＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∴∠DOE＝∠BDO，∠B＝∠AOE，
∵OC＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠DOE＝∠AOE，
在△DOE与△AOE中，
，
∴△DOE≌△AOE（SAS），
∴∠ODE＝∠BAC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴，
∴，
∴BC＝9，
∴AB3，
∴△ABC的面积AB AC36＝9．
20．解：（1）如图：过点A作AF⊥MN，垂足为F，
在Rt△AMF中，AM＝10cm，
∴AF＝AM sin37°≈106（cm），
∴A点上升的高度约为6cm；
（2）延长AF交CE于点G，则AG⊥EH，
由题意得：MF＝EG＝8cm，ME＝FG＝DM+DE＝6+22＝28（cm），
∵AF＝6cm，
∴AG＝AF+FG＝6+28＝34（cm），
在Rt△ACG中，∠ACG＝60°，
∴CG（cm），
在Rt△AMF中，AM＝10cm，
∴MF＝AM cos37°≈108（cm），
∴EG＝MF＝8cm，
∴EC＝EG+CG＝827.7（cm），
∴EC的长约为27.7cm．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．解：（1）本次调查共抽查学生60÷30%＝200（名），
扇形统计图中组别B所对应圆心角的度数为360°72°，
故答案为：200，72°；
（2）C选项人数为200×40%＝80（名），E选项人数为200×8%＝16（名），
则A选项人数为200﹣（40+80+60+16）＝4（名），
补全图形如下：
（3）1200456（名），
答：估计该校学生暑期健身活动总时长不低于30小时的人数约为456名；
（4）由以上数据知，不超过30小时的人数占总人数的0.62，占比较大，所以大部分学生还要加强锻炼．
22．解：（1）由题意得，二次函数的顶点坐标为（2，3），
设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3（a≠0），
∵二次函数经过原点，
∴4a+3＝0，
解得a，
∴该二次函数的解析式为y（x﹣2）2+3；
（2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当x＝3.5时，y（3.5﹣2）2+3＝1.3125，
∵1.3125＞1.25，
∴水柱不能喷射到护栏上；
（3）∵河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为t＝1：0.5（其中i＝tan∠ABE），
∴AE：BE＝1：0.5，
∴BE＝2.5，
则点B与原点O的水平距离为3.5+2.5＝6，
∴点B的坐标为（6，﹣5），
又∵点A的坐标为（3.5，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A，B坐标代入解析式得：，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣2x+7（3.5≤x≤6），
联立方程组，即（x﹣2）2+3＝﹣2x+7，
解得x1＝2（不合题意，舍去），x2，
当x时，y＝﹣27，
即河水离地平面AD距离米为时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处．
六、解答题（本大题共12分）
23．解：（1）①如图1中，设AE交CD于点O．
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CEA＝∠CDB，AE＝BD，
∵∠COE＝∠AOD，
∴∠ECO＝∠DAO＝90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：AE⊥BD，AE＝BD；
②∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CE＝CE，∠DCE＝90°，
∴DECD＝6，
∵∠DAO＝90°，EF＝FD，
∴AFDE＝3，
故答案为：3；
（2）BD＝2FG，BD⊥FG，
证明：如图2中，连接AE．
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，∠CAE＝∠CBD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DAE＝135°﹣45°＝90°，
∵AG＝GD，EF＝FD，
∴GFAEBD，FG∥AE，
∴BD＝2GF，∠DGF＝∠DAE＝90°，
∴BD⊥FG；
（3）如图3中，
∵CF是等腰直角△CDE斜边上的高，
∴当CD最小时，CF的值最小，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的值最小（如图4中），
此时四边形AECD是正方形，DE∥CB，
∴S△ECB＝S△DCBS△ABC223．

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