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临澧一中2025届高三 数学 模拟考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则　　
A． B． C． D．
2．已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为，中位数为，第75分位数为，则　　
A． B． C． D．
3．数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为　　
A． B． C． D．
4．若，则的值为　　
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
6．在的展开式中，项的系数为　　
A．252 B．210 C．126 D．120
7．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象　　
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
8．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，△为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，，均为复数，则下列命题中正确的是　　
A．若，则 B．
C．若，则的最大值为2 D．若复数，则
10．已知数列满足，的前项和为，则　　
A． B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为
11．已知曲线，，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有　　
A．曲线与直线恰有三个公共点 B．曲线与直线相切
C．是关于的函数 D．是关于的函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若双曲线的离心率为2，则的值为 ．
13．设，是一个随机试验中的两个零件，若，，，
则 ．
14．在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点，使，连接，，三棱锥的内切球的球心为，三棱锥的内切球的球心为，则平面与平面的夹角的正弦值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分） 学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目．规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分．现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
（1）若小明先进行“定位球传准”考核，记为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
16．（本小题满分15分） 已知函数．
（1）若，且与函数的图象相切，求的值；
（2）若对成立，求实数的取值范围．
第一列 第二列 第三列 第四列
第一行 1 2 3 4
第二行 5 6 7 8
第三行 9 10 11 12
17．（本小题满分15分） 在等差数列和等比数列中，和是下表第行中的数，2，，且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列．
（1）请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；
（2）若的公比为整数，且，数列满足，求的前项和．
18．（本小题满分17分） 在四棱锥中，已知，，，，，
， 是线段上的点．
（1）求证：底面；
（2）是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分） 如图，椭圆，，已知右顶点为，
且它们的交点分别为，，，
（1）求与的标准方程；
（2）过点作直线，交于点，交于点，设直线的斜率为，直线的斜率
为，求；（上述各点均不重合）
（3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点，求点坐标，使直线与直线的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）
参 考 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A C D A C B C C CD AD ABD 3
8．【解答】设在双曲线的左支上，
外接圆面积为，，．
，，，，，
，，
则的坐标为，即，，
代入双曲线方程可得，由，可得，即有．
11．【解答】对于，令，得，等价于求与的交点个数，
如图，，
，
，
故恰有3个交点，故正确；
对于，令，得，
因为与相切，所以曲线与直线相切，故正确；
对于、，令，而原式化成代入，
有，故是的单调函数，不是的单调函数，
即成立，反之不成立，故错误、正确．
14．【解答】设三棱锥的内切球分别与面、面相切于，两点，
则平分，平分，由题意知，，，
取的中点，则在的平分线上，
同理可得，三棱锥的内切球球心在的平分线上，
因为△和△均为等边三角形，且是的中点，
所以，，又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，同理可得，，
所以为平面与平面的夹角的平面角，
又在的平分线上，在的角平分线上，所以，
设正四面体棱长为，则，，
所以．
15．（1）由题意可得，的可能取值为0，4，10，
则，，，
0 4 10
0.2 0.24 0.56
的分布列为： （6分）
（2）由（1）可知小明先进行“定位球传准”考核，
累计得分的期望为，
若小明先进行“20米运球绕杆射门”考核，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，6，10，
，，，
则的期望为，
，小明应选择先进行“定位球传准”考核． （13分）
16．（1），
，，且与函数的图象相切，
设切点为，，得，得，是方程的解，切点坐标，
所以，解得； （5分）
（2）据题意，得对恒成立．
设，则． （6分）
当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间为．（1），且．，解得；
当时，由得函数单调减区间；由得函数单调增区间为，，又，，不合题意．
当时，，在上单调递增，
又，，不合题意．
当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间，，又，，不合题意． （14分）
综上，所求实数的取值范围是． （15分）
17．（1）对于等差数列，设公差为，
当，，时，则，所以，
当，，时，则，所，
当，，时，则，所以，
当，，时，则，所以，
满足题意的数列有4个，分别为，，，； （4分）
对于等比数列，设公比为，
当，，时，则，所以，
当，，时，则，所以，
满足题意的数列有2个，分别为，； （8分）
（2）因为的公比为整数，由（1）知，则，所以，
所以，所以，
所以， （12分）
所以的前项和． （15分）
18．（1）证明：取的中点，连接，则四边形是正方形，
因为，所以，
又，，所以，，
即，，
因为，，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以平面．（7分）
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，，，，，，
所以，1，，，1，，，1，，
设，，，则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
取，则，，所以，，，
因为与平面所成角的余弦值为，
所以，，整理得，
解得或（舍负），
故存在点使得与平面所成角的余弦值为，此时． （17分）
19．（1）由题意得，，又因为在上，代入得，
所以，则，； （4分）
（2）设，，，，则，
又因为，所以，则，
同理可得，所以； （9分）
（3）设直线，，，分别为，，，，其斜率依次为，，，，
设直线，联立，得，
即有，所以，
代入直线方程得，则，
设，则经过，的两直线，之间斜率满足关系：，
将直线，绕原点顺时针旋转后也会经过，，
所以两者斜率满足，所以，
同理将直线，绕原点顺时针旋转后也会经过，，
所以两直线斜率满足，，
设，则有，，代入上式得：，
得到，所以，
因此存在定点，使直线和直线的斜率之积为定值5． （17分）

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