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湘版数学七年级上册
小结与复习
第3章 一次方程（组）
知识架构
一次方程（组）
方程及其概念
等式的基本性质
一元一次方程
二元一次方程组
三元一次方程组
概念及其解法
应用
概念及其解法
应用
概念及其解法
应用
要点梳理
一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程．
2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程．
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c.
4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程．
1. 等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数
(或整式)，等式两边仍然相等．
如果 a＝b，那么 a±c＝b±c.
2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以
同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式．
如果 a＝b，那么 ac＝ bc ， = (c ≠ 0).
二、等式的性质
3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性）
4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性）
解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号．
(3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，
常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．
(4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式．
(5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，
得 x＝m 的形式.
三、一元一次方程的解法
1. 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作二元一次方程.
2. 二元一次方程组的概念：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组.
3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解.
四、二（三）元一次方程组的有关概念
4. 三元一次方程组的概念：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.
五、二元一次方程组的解法
①代入消元法：
②加减消元法：
转化
代入
求解
回代
写解
检验
变形
加减
求解
回代
写解
检验
六、三元一次方程组的解法
消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.
1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程（组）．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案 (包括单位)．
[注意] 审题是基础，找等量关系是关键.
七、用一次方程与方程组解决实际问题
2. 常见的几种方程类型及等量关系：
(1) 行程问题中基本量之间的关系：
① 路程＝速度×时间；
②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
③追及问题：甲为快者，
被追路程＝甲走路程－乙走路程；
④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
（2）等积变形问题中基本量之间的关系：
① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积.
（3）储蓄问题中基本量之间的关系：
① 本金×利率×年数 = 利息； ② 本金 + 利息 = 本息和.
（4）销售问题中基本量之间的关系：
① 实际售价 - 进价(成本) = 利润；② 利润÷进价×100% = 利润率；
③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价.
（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系：
① 现有量 = 原有量 ×（1+增长率）.
② 现有量 = 原有量 ×（1- 降低率）.
考点一 方程（组）的有关概念
考点讲练
C
例1 如果 x = 2 是方程2x-a=6的解，那么 a 的值是 ( )
A. 6 B. 2 C. －2 D. －10
解析：将 x＝2 代入方程得 4＋a＝6，解得 a＝－2.
方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值.
针对训练
1. 若 (m－2) x|m|－1＋3＝-1 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值为_____．
－2
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为 0.
例2 若(a + 5)x + y| a | - 4＝2 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a 的值为______．
【解析】由题意，未知数 x 的系数为 a + 5，
所以 a + 5≠0.
由未知数 y 的次数为 | a | - 4，所以 | a | - 4 = 1，即 a =±5. 但 a≠-5. 所以 a = 5.
5
2. 若 xm+3 - yn - 2 = 5 是二元一次方程，则 mn 的值为________．
-6
针对训练
例3 根据等式的性质，下列各式变形正确的是 ( )
A.若 3x = 5，则
B.若 x = y，则 x - 2 = 2 - y
C.如果 x = y，那么 -6x = -6y
D. x = 4，那么 x =2
考点二 等式的基本性质
C
(m ≠ 0)
y - 2
8
3.下列等式变形中不正确的是 ( )
A. 若 x = y，则 x + 2 = y + 2
B. 若 ，则 x = y
C. 若 -5x = -5y，则 x = y
D. 若 mx = my，则 x = y
D
(m ≠ 0)
针对训练
考点三 一元一次方程的解法
例4 解下列方程：(1) 5x+3=-x-3 (2)
解：（1）5x+x=-3-3
6x=-6
x=-1
（2）4(2x-1)-3(3x-4)=12
8x-4-9x+12=12
8x-9x=12+4-12
-x=4
x=-4
解： 3(x－3) -6=2(2x+5)
3x-9-6=4x+10
3x-4x=10+9+6
-x=25
x=-25
针对训练
4. 解方程：
考点四 二（三）元一次方程组的解法
例5 解下列方程组：
例5 解下列方程组：
解：由①得：x=7-3y ③
将③代入②得：3(7-3y)-4y=-18
解得y=3
将y=3代入③得：x=-2
代入法
加减法
解：①×3-②得：13y=39
解得：y=3
将y=3代入①得：x+3×3=7
解得：x=-2
∴ 原方程组的解为
解：设2x-y=m，x+2y=n，则原方程组化为
③×2+④×5得：31m=124
解得：m=4
将m=4代入④解得：n=7
∴ ⑤×2+⑥解得：x=3
将x=3代入⑥解得y=2
∴原方程组的解为
解：①×2-②得：y-18z=-20 ④
①×3+③得：2y-23z=-27 ⑤
⑤-④×2得：13z=13 解得：z=1
将z=1代入④解得：y=-2
将y=-2，z=1代入①解得：x=5
∴ 原方程组的解为
针对训练
5. 解方程组：
解：(1)原方程组整理为
①-②得：2y=-4 解得y=-2 将y=-2代入①解得：x=9
∴ 原方程组的解为
（2）设 ，则x=2k，
y=3k，z=4k
代入②解得：k=2
∴原方程组的解为
考点五 一元一次方程的应用
例6 小丽每天要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学. 一天，小丽以0.8m/s的速度出发，5 min后，小丽的爸爸发现她忘了带数学书. 于是，爸爸立即以1.2m/s的速度去追小丽，并且在途中追上了她. 爸爸追上小丽用了多长时间 追上小丽时，距离学校还有多远
解：设爸爸追上小丽用了x秒.
由题意，得 0.8(5×60+x)=1.2x
解得 x=600
追上时爸爸走的路程：1.2×600=720（米）
追上时距离学校：1000-720=280（米）
答：爸爸追上小丽用了600秒. 追上小丽时，距离学校280米.
例7 如图，足球的表面由白块和黑块组成. 已知黑块是五边形，白块是六边形，且每一白块的6条边中，有3边与黑块相接，另3边与白块相接，每一黑块的5边全与白块的边相接. 已知黑块总数是12，求白块数.
解：设白块有x块，则白块一共有6x条边.
其中有3x条边与黑块相接.
由题意得，3x=12×5
解得 x=20
答：白块有20块.
针对训练
6.一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁.
——《算法统宗》
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完.试问大、小和尚各有多少人？
解：设小和尚有x人，则大和尚有(100-x)人.
由题意，得
解得 x=75
大和尚： 100-x =100-75=25(人) .
答：大和尚有25人，小和尚有75人.
7.建一个长方形花圃，为了节约材料，以建好的墙或局部为长方形的长，其他三边用总长为70m的栅栏围成. 现在甲、乙两人各设计了一个方案：甲的方案是长比宽多10m，乙的方案是长比宽多4m. 已知墙长28m，问谁的方案比较符合实际？为什么？
解：设甲的方案宽为x m，则长为 (10+x) m.
由题意得， 2x+ (10+x)=70
解得 x=20
∵10+20＞28，
∴甲方案不符合实际.
设乙的方案宽为y m，则长为(4+y)m.
由题意得， 2y+(4+y)=70
解得 y=22
∵4+22＜28，
∴乙方案符合实际.
答：乙的方案比较符合实际.
考点六 二元一次方程组的应用
例8 为建设宜居宜业和美乡村，满足人民日益增长的精神文化需求，某村委会决定扩建“村民活动中心”，分两次采购了同一型号的电脑和乐器(两次采购的单价不变)，具体如下表：
求该型号电脑和该种乐器的单价.
解：设电脑的单价为x元，乐器的单价为y元.
由题意，得
解得
答：电脑的单价为3500元，乐器的单价为600元.
针对训练
8.为在全社会弘扬劳动精神、奉献精神，小亮所在年级到某地参加志愿者活动. 车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同.到达目的地后，先从车上搬下2箱，分发给每位志愿者1瓶矿泉水，有8位未领到；接着又从车上搬下3箱，继续分发，最后每位志愿者都有2瓶矿泉水，还剩下8瓶. 问：有多少人参加志愿者活动？每箱有多少瓶矿泉水？
解：设有x人参加志愿活动，每箱有y瓶矿泉水.
由题意，得
解得
答：有56人参加志愿者活动，每箱有24瓶矿泉水.
课堂小结
一次方程与方程组
概念与性质
应用
一元一次方程
等式的性质
二元一次方程
二元一次方程组
方程的解
性质1
性质2
性质3
性质4
解方程
方程(组)的解
一元一次方程
一元一次方程
实际问题
方程(组)
消元
代
入
法
加
减
法
下 课
Thanks!
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