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(共23张PPT)
13.3　三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
1、请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空:
知识关联
已知：如图，点B、A、E在同一直线上，∠1=∠B.
求证：∠C=∠2.
证明：∵∠1=∠B(　　　　 )
∴AD∥BC(　　　　　　　　 　)
∴∠C=∠2(　　　　　　 　)
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
2、如图，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法.
知识关联
分析：可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角.
解决方案：利用三角形的内角和
问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
探究与应用
【探究】三角形的内角和
探究与应用
【探究】三角形的内角和
度量法
600＋480＋720＝1800
480
720
600
探究与应用
【探究】三角形的内角和
折叠法
探究与应用
【探究】三角形的内角和
A
B
C
2
1
剪拼法
探究与应用
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在
一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现
证明的思路吗？
【探究】三角形的内角和
探究与应用
【探究】三角形的内角和
已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
证明：如图, 过点A作直线l,使l //BC. ∵ l//BC,
∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理 ∠3= ∠5.
∵ ∠1 ,∠4, ∠ 5组成平角，
∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等180°.
验证结论
A
B
C
B
C
探究与应用
【探究】三角形的内角和
证法2：
延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
E
D
1
2
C
B
A
A
B
C
A
B
探究与应用
【探究】三角形的内角和
C
B
A
E
D
F
关键是通过“平移”将分散的聚集在一起“转化”为一个平角
A
B
C
D
E
C
A
B
1
2
3
4
5
l
探究与应用
【探究】三角形的内角和
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
探究与应用
【理解应用】
例1 如图 ，在△ABC 中，∠BAC =40°，∠B = 75°, AD是△ ABC的角平分线.求 ∠ADB 的度数.
C
B
D
A
解：由∠BAC=40°，AD是△ ABC的角平分线，
得∠BAD= ∠BAC=20°.
在△ ABD中，
∠ADB =180°－∠B－∠BAD
= 180° － 75°－ 20°=85°.
【理解应用】
探究与应用
变式.在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180°.
解得 x ＝ 33°.
所以 3x ＝ 99° ， x ＋ 15 ＝ 48°.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
探究与应用
【理解应用】
例2 下图是A、B、C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛 看A、B两岛的视角∠ ACB呢？
北
北
C
A
B
D
E
分析：A，B，C三岛的连线构成 ABC，
所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB, ∠ABC,就能求出∠ACB.
探究与应用
【理解应用】
解：∠CAB=∠BAD － ∠CAD=80°－ 50°=30°.
由 AD//BE，得
∠ BAD +∠ ABE=180°.
所以∠ ABE=180°－ ∠BAD = 180°－ 80°= 100°,
∠ ABC=∠ ABE － ∠EBC=100° － 40°=60°.
在△ABC中，
∠ ACB =180° － ∠ABC － ∠ CAB
= 180° － 60° － 30°=90°.
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ ABC是60°,
从C岛看A、B两岛的视角∠ ACB是90°.
北
北
C
A
B
D
E
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
探究与应用
【理解应用】
方法二：
B
D
C
E
北
A
1
2
50°
解：过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE，
∴ CF∥ BE，
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 °
F
探究与应用
【拓展提升】
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，写出∠BPC与∠A 之间的数量关系．
解：∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB）
=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ．
B
A
C
P
变式一　如图在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A=60°,则∠BFC的度数为 ( )
A.118°　　　B.119°　　　 C.120°　　　D.121°
探究与应用
C
【拓展提升】
B
A
C
F
D
E
变式二　如图在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°,
则∠A的度数是 ( )
A.50° B.57.5° C.60° D.65°
探究与应用
A
【拓展提升】
B
A
C
F
课堂小结与检测
【小结】
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
三角形的
内角和等
于180 °
辅助线
求角度
【检测】
课堂小结与检测
1.下列各组角中,属于同一个三角形的内角的是(　　)
A.95°、75°、10° B.60°、73°、67°
C.34°、36°、50° D.25°、160°、15°
A
2.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是_____三角形 .
直角
【检测】
课堂小结与检测
3.在△ABC中∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A= ， ∠B= ，∠ C= .
60°
50°
70°
4.已知:如图所示,可求出∠1=　 °, ∠2= 　 °,∠3=　 °.
60
35
90

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