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(共27张PPT)
13.2　与三角形有关的线段
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
┐
请同学们尝试解决下面的三个问题:
知识关联
1.如果将一张三角形纸片只剪一刀，你能将其面积分成相等的两部分吗
2.一张三角形纸片，要把它分成面积相等的四块，你有几种不同的分法
3.你能通过测量计算，得到一张三角形纸片的面积吗
如图所示，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE,…)中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
探究与应用
【情境问题】
(1)有一条线段经过边BC的中点;
(2)还有一条线段平分∠BAC.
(3)在这些线段中，有一条线段垂直于边BC;
说明：这三条线段是三角形的重要线段；分别是三角形的中线、角平分线和高。
探究与应用
【探究1】三角形的中线定义及性质
1、定义：连接三角形的顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
思考：①一个三角形有几条中线？
②△ABE、△ACE的面积有怎样的关系？
符号语言
∵AE是△ABC的BC边上的中线;
∴BE=EC= BC
三条
相等
如图AE是△ABC边BC上的中线
注意：三角形的中线将三角形的面积等分
1.如果将一张三角形纸片只剪一刀，你能将其面积分成相等的两部分吗
课堂小结与检测
【探究1】三角形的中线定义及性质
沿三角形任意一边的中线剪开即可
A
C
B
探究与应用
【探究1】三角形的中线定义及性质
锐角三角形
(1) 这三条中线之间有怎样的位置关系？
(2) 锐角三角形的三条中线是在三角
形的内部还是外部
锐角三角形的三条中线交于同一点；
锐角三角形的三条中线都在三角形的内部.
2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线,并观察所作的图形，看看你有什么发现
探究与应用
【探究1】三角形的中线定义及性质
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
探究与应用
中线有几条
中线之间是否相交
相交交点位置
中线在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
3
3
相交
相交
相交
3
3
3
三角形内部
三角形内部
三角形内部
三角形的三条中线的特性：
【探究1】三角形的中线定义及性质
探究与应用
【理解应用】
例1 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长．
解：设AB=AC＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋ x＝12.解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，三角形存在，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
探究与应用
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则x＋ x＝15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm.
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，
所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
【理解应用】
1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
探究与应用
【探究2】三角形的角平分线定义及性质
∵AM是△ABC中∠BAC的平分线;
∴∠1=∠2= ∠BAC
思考：三角形的角平分线在三角形的什么部位？它们有交点吗？
都在三角形的内部
有交点
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察所作的图形，看看你有什么发现
探究与应用
【探究2】三角形的角平分线定义及性质
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
三角形的三条角平分线交于同一点.
1.三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高线，简称三角形的高。如图，线段AD就是BC边上的高
探究与应用
【探究3】三角形的高线定义及性质
∵AD是△ABC的BC边上的高;
∴AD⊥BC于点D;
∴∠ADB=∠ADC=90°
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
思考：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察所作的图形，看看你有什么发现
探究与应用
【探究3】三角形的高线定义及性质
锐角三角形
D
E
F
O
A
B
C
(1) 这三条高之间有怎样的位置关系？
(2) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
探究与应用







钝角三角形
A
B
C
D
E
F
O
(2)钝角三角形的三条高交于一点吗？
(3)它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点。
(1)AC边上的高是？
AB边上的高是？
BC边上的高是？
BF
CE
AD
【探究3】三角形的高线定义及性质
探究与应用
【探究3】三角形的高线定义及性质
直角三角形
A
B
C
D
直角边BC边上的高是 ;
直角边AC边上的高是 ;
(2) AB边上的高是 ;
(1) 画出直角三角形的三条高,
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点。
AC
BC
CD
探究与应用
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
【探究4】三角形的高线定义及性质
探究与应用
【理解应用】
例2 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
总结：三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过该边所对的顶点；
(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
探究与应用
【理解应用】
例3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
A
B
C
D
E
∟
探究与应用
【拓展提升】
如图，BE、CF均是△ABC的中线，且BE=CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N。求证：AM=AN.
证明:∵BE,CF均是△ABC的中线,
∴ .
∵AM⊥CF,AN⊥BE,
∴ AM·CF= AN·BE.
又∵BE=CF,
∴AM=AN.
已知△ABC，如何将它分成四个面积相等的三角形
探究与应用
【拓展提升】
课堂小结与检测
【小结】
高
中线
角平分线
三角形重要线段
三角形的三条中线的交点是三角形的重心
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
三角形的三条角平分线相交于一点，在三角形内部
三角形的三条高相交于一点，可以在三角形的内部、外部、边上
【检测】
课堂小结与检测
2.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)
A．形状相同的三角形 　B．面积相等的三角形
C．直角三角形 　 D．周长相等的三角形
B
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
D
【检测】
课堂小结与检测
3.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿
AF
DC
AC
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2_____.
∠2
∠4
∠ABC
图①
图②
【检测】
课堂小结与检测
4.在ΔABC中，CD是中线，已知BC－AC=5cm，ΔDBC的周长为25cm, 求ΔADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
∴BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
A
D
B
C
【检测】
课堂小结与检测
5.在ΔABC中，
(1)画出∠C的平分线CD;
(2)画出BC边上的中线AE;
(3)画出△ABC的边AC上的高BF.
解:(1)如图,CD即为所求.
(2)如图,AE即为所求.
(3)如图,BF即为所求.

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