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第十三章 三角形
13.3　三角形的内角与外角
13.3.2 三角形的外角
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
【思考】
知识关联
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
1
2
3
探究与应用
【探究1】三角形外角的概念
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（∠1,即∠BCD是△ABC的外角）
B
A
1
D
C
外角
探究与应用
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个顶点有2个外角（对顶角）．
【探究1】三角形外角的概念
【归纳概括】
探究与应用
【探究1】三角形外角的概念
F
A
B
C
D
E
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC和△BEF的外角;
练习：如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠EFD是△BEF和△DFC的外角;
探究与应用
【探究2】三角形外角的性质
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
探究与应用
【探究2】三角形外角的性质
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
探究与应用
【探究2】三角形外角的性质
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
B
C
1
2
E
A
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A + ∠B.
D
【推理证明】
探究与应用
【探究2】三角形外角的性质
三角形内角和定理的推论:
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
探究与应用
【探究2】三角形外角的性质
练习：求下列各图中∠1的度数.
30°
60°
1
35°
120°
1
45°
50°
1
90°
85°
95°
探究与应用
【理解应用】
例1 如图，在△ABC中，已知D是边BC上的一点，且∠ADE＝∠B，那么∠1与∠2相等吗？为什么？
解：∠1＝∠2.理由：
因为∠ADC＝∠B＋∠1，
∠ADC＝∠ADE＋∠2，
所以∠B＋∠1＝∠ADE＋∠2.
又因为∠ADE＝∠B，
所以∠1＝∠2.
探究与应用
【探究3】三角形的外角和
A
B
C
1
2
3
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝
(每个顶点取一个外角)
探究与应用
【探究3】三角形的外角和
∠2＋ ∠ABC=180°,
∠3＋ ∠ACB=180°,
三个式子相加得到
∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=540°,
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°,
故∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°.
方法一：∠1＋ ∠BAC=180°,
解：
A
B
C
1
2
3
探究与应用
【探究3】三角形的外角和
解：方法二：过A作AD平行于BC，
B
C
1
2
3
4
A
∠3＝∠4,
∠2＝∠BAD,
所以， ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAD=360°.
D
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAD,
两直线平行，同位角相等
结论：三角形的外角和等于360°.
练习
探究与应用
【探究3】三角形的外角和
判断题：
1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ）
2.三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ ）
3.三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ）
探究与应用
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
1
2
3
【理解应用】
一共转了360°
课堂小结与检测
【小结】
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
【检测】
课堂小结与检测
1．图中是△ABC的外角的是(　　)
A．∠EAB和∠EAD B．∠EAB和∠DAC
C．∠EAB和∠EAD，∠DAC D．以上说法都不对
B
【检测】
课堂小结与检测
2．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，
若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于(　　)
A．40° B．45°
C．50° D．55°
C
3.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC。若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是 ( )
A.24° B.59° C.60° D.69°
【检测】
课堂小结与检测
B
A
B
C
D
E
4.如图若∠α=125°,∠1=50°,则∠β的度数是　　　　.
【检测】
课堂小结与检测
105°
1
β
α
【检测】
课堂小结与检测
5 .如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
C
D
解：(1)因为∠ADC是△ABD的外角.
(2)在△ABC中，
因为∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
B
A
所以∠C=180 -∠B-∠BAC
=180 -40 -70 =70°.

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