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广东省深圳市福田区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·福田模拟）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．（2025·福田模拟）下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（　　）
A．四合云纹 B．葫芦纹
C．如意纹 D．莲花纹
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】中心对称图形是指图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合.
3．（2025·福田模拟）深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑。数据420000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据420000用科学记数法可表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．（2025·福田模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
【答案】D
【知识点】正投影
【解析】【解答】解：当直角三角板ABC向白炽灯靠近时，由于光源与三角板之间的距离减小，根据光的直线传播原理，影子的大小会增大
故答案为：D
【分析】当直角三角板ABC向白炽灯靠近时，由于光源与三角板之间的距离减小，根据光的直线传播原理，影子的大小会增大
6．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图。以大本营内的中心点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
决定胜负的那个冰壶所在位置位于第二象限
故答案为：B
【分析】根据点与象限的关系逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·福田模拟）如图，在矩形ABCD中，边AB绕点顺时针旋转到EB的位置，点的对应点落在CD边的中点，若，则点旋转到点的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；弧长的计算；求特殊角的三角函数值；旋转的性质；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠C=90°，AB=CD
由旋转性质可得AB=BE
∴BE=CD
∵点E是CD中点，且CE=2
∴
在Rt△BCE中，
∴∠CBE=30°
∴∠ABE=60°
∴点旋转到点的路径长为
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得四边形ABCD是矩形，则∠ABC=∠C=90°，AB=CD，由旋转性质可得AB=BE，则BE=CD，再根据线段中点可得，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得∠CBE=30°，则∠ABE=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
8．（2025·福田模拟）一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”AC与地面DO的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为BD。当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度BD的值为（　　）
A．150 B． C．200 D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠D=∠ACB-∠DAC=30°，∠ABO=∠ACB+∠BAC=60°
在Rt△AOD中，
在Rt△AOB中，
∴BD=DO-BO=200
故答案为：C
【分析】根据三角形外角性质可得∠D=∠ACB-∠DAC=30°，∠ABO=∠ACB+∠BAC=60°，解直角三角形可得DO，BO，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025·福田模拟）若，则代数式的值等于　 　。
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：5
【分析】提公因数化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．（2025·福田模拟）办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是　 　。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“三等分角”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光PA射入水面，在点处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑点。水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点。因水面始终与杯底平行，则折射光线。若，，则的度数为　 　。
【答案】74
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CEB=∠1+∠2=74°
∵EC∥BD，CD∥AB
∴四边形BDCE是平行四边形
∴∠3=∠CEB=74°
故答案为：74
【分析】根据三角形外角性质可得∠CEB=∠1+∠2=74°，再根据平行四边形判定定理可得四边形BDCE是平行四边形，则∠3=∠CEB=74°，即可求出答案.
12．（2025·福田模拟）已知反比例函数（为常数且），当时，的最大值是-2，则当时，的最小值为　 　。
【答案】
【知识点】函数值；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，的最大值是-2
∴反比例函数图象在第三象限，y随x的增大而减小
∴反比例函数图象过（-3，-2）
∴m=-3×(-2)=6
∴反比例函数的解析式为
∴当时，y在x=4上取得最小值为
故答案为：
【分析】根据反比例函数的性质可得反比例函数图象在第三象限，y随x的增大而减小，则反比例函数图象过（-3，-2），再根据待定系数法求出反比例函数的解析式为，再根据其性质即可求出答案.
13．（2025·福田模拟）如图，在中，平分，连接BD并延长至点E，使得，连接AE，恰好有。若，则　 　。
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求余弦值
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点H，连接CE
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴BH=CH，AH⊥BC，即AH垂直平分BC
∴BD=CD=DE
∴∠DBC=∠DCB，∠DEC=∠DCE
∵∠DBC+∠DCB+∠DEC+∠DCE=180°
∴∠DCB+∠DCE=90°，即∠BCE=90°
∵
∴设BC=4x，则BD=CD=DE=3x
∴
在Rt△BDH中，
在Rt△BCE中，
∵
∴
∴
∵AD⊥BC，CE⊥BC
∴AD∥CE
∴
故答案为：
【分析】延长AD交BC于点H，连接CE，根据角平分线性质可得BH=CH，AH⊥BC，即AH垂直平分BC，根据垂直平分线性质可得BD=CD=DE，根据等边对等角可得∠DBC=∠DCB，∠DEC=∠DCE，再根据角之间的关系可得∠DCB+∠DCE=90°，即∠BCE=90°，设BC=4x，则BD=CD=DE=3x，根据勾股定理可得DH，CE，再根据余弦定义可得AD，再根据直线平行判定定理可得AD∥CE，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
14．（2025·福田模拟）计算：。
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0指数幂，二次根式性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务。
化简 解：原式…………………………………………① …………………………………………② …………………………………………③
（1）化简过程中，从第 ▲ （填序号）步开始出现错误。错误的原因是 ▲ 。
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值。
【答案】（1）①；
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则。（备注：言之有理即可）
（2）原式
当时，原式
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x=-2代入即可求出答案.
16．（2025·福田模拟）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔进行用户评价调研。现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：
B词典笔：
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写。
翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8.2 8 ① ▲ 8.4 8.5 0.84
B 8.3 8.5 10 8.4 ② ▲ 1.44
（2）样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是 ▲ 人。
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由。
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法。
【答案】（1）8；8
（2）140
（3）作为消费者，我会选择B品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中B品牌的平均数，中位数，众数均高于A品牌，说明其翻译准确性更好。
（4）答案不唯一：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本。这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项
（备注：言之有理即可）
【知识点】折线统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）①A中，8出现的次数最多为3次，则众数为8
②将B中数据按从小到大的数据排列为7，7，7，7，8，8，8，9，10，10，10
处在最中间的数为8，则中位数为8
故答案为：8；8
（2）由题意可得：
翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为
故答案为：140
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据200乘以不低于8分的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17．（2025·福田模拟）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生。在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录：
交易编码 种类与数量 销售总价（元）
1 一辆电动风力小车、两个简易电动风扇 18
2 两辆电动风力小车、三个简易电动风扇 31
（1）求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？
（2）若该摊位希望总捐款金额不低于2000元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共300件，那么电动风力小车至少需要多少辆？
【答案】（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
则：，解得
答：一辆电动风力小车售价为8元，一个简易电动风扇价格为5元。
（2）解：设需要辆电动风力小车，由题意有：
解得.
取整数，
的最小值为167。
答：摊位至少需要167辆电动风力小车。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设需要辆电动风力小车，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025·福田模拟）如图，在中，。
（1）实践与操作：点在线段BC上，以为圆心作恰好过，两点，并与线段BC交于另一点。小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示。请你用尺规作图：作出点与点，并补全。
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若。
①求证：直线AB是的切线；
②若，求的半径。
【答案】（1）解：如图所示，、点、点即为所求。
（2）解：①证：连接AO
，
又是的半径
直线AB是的切线。
②设的半径为，则
在Rt中，，
即，解得
故的半径为
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线作图即可求出答案.
（2）①连接AO，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
②设的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）。
（1）轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式。
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）轨道初段AC的总长为40cm；
设，则解得
故
（2）解：①由题意，为顶点，设，则
代入，有
解得（舍去）
故
②设直线OP表达式：，代入，有
即，
联立
得
直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与拋物线对称轴平行
故线段OP与抛物线光滑连接
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点
由题意
解得，
当时，
故轨道起点与点之间的距离为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由图3可得AC长，设，根据待定系数法带点计算即可求出答案.
（2）①由题意，为顶点，设，则，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
②设直线OP表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得即，联立二次函数解析式，根据二次方程判别式，可知直线OP与抛物线有且只有一个交点.
（3）：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程可得，再将m值代入二次函数解析式即可求出答案.
20．（2025·福田模拟）如图1，点是对角线BD上的一点，且使得，连接AP并延长，交CD于点。
（1）若，求的值。
（2）如图2，将沿AB方向平移到，求证：。
（3）如图3，连接PC，取PC的中点，连接DM交AE于点，若，求的值。
【答案】（1）解：
中
中
（2）解：如图1
平移
，
又
（SAS）
（3）解：如图5所示，延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设
为PC的中点
四边形CDPQ是平行四边形
中，
又，
中，
又
又
又
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得AB∥CD，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据平移性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AB=MB，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设，根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市福田区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·福田模拟）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（2025·福田模拟）下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（　　）
A．四合云纹 B．葫芦纹
C．如意纹 D．莲花纹
3．（2025·福田模拟）深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑。数据420000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·福田模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
6．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图。以大本营内的中心点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·福田模拟）如图，在矩形ABCD中，边AB绕点顺时针旋转到EB的位置，点的对应点落在CD边的中点，若，则点旋转到点的路径长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·福田模拟）一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”AC与地面DO的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为BD。当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度BD的值为（　　）
A．150 B． C．200 D．
9．（2025·福田模拟）若，则代数式的值等于　 　。
10．（2025·福田模拟）办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是　 　。
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光PA射入水面，在点处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑点。水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点。因水面始终与杯底平行，则折射光线。若，，则的度数为　 　。
12．（2025·福田模拟）已知反比例函数（为常数且），当时，的最大值是-2，则当时，的最小值为　 　。
13．（2025·福田模拟）如图，在中，平分，连接BD并延长至点E，使得，连接AE，恰好有。若，则　 　。
14．（2025·福田模拟）计算：。
15．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务。
化简 解：原式…………………………………………① …………………………………………② …………………………………………③
（1）化简过程中，从第 ▲ （填序号）步开始出现错误。错误的原因是 ▲ 。
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值。
16．（2025·福田模拟）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔进行用户评价调研。现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：
B词典笔：
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写。
翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8.2 8 ① ▲ 8.4 8.5 0.84
B 8.3 8.5 10 8.4 ② ▲ 1.44
（2）样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是 ▲ 人。
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由。
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法。
17．（2025·福田模拟）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生。在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录：
交易编码 种类与数量 销售总价（元）
1 一辆电动风力小车、两个简易电动风扇 18
2 两辆电动风力小车、三个简易电动风扇 31
（1）求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？
（2）若该摊位希望总捐款金额不低于2000元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共300件，那么电动风力小车至少需要多少辆？
18．（2025·福田模拟）如图，在中，。
（1）实践与操作：点在线段BC上，以为圆心作恰好过，两点，并与线段BC交于另一点。小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示。请你用尺规作图：作出点与点，并补全。
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若。
①求证：直线AB是的切线；
②若，求的半径。
19．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）。
（1）轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式。
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由。
20．（2025·福田模拟）如图1，点是对角线BD上的一点，且使得，连接AP并延长，交CD于点。
（1）若，求的值。
（2）如图2，将沿AB方向平移到，求证：。
（3）如图3，连接PC，取PC的中点，连接DM交AE于点，若，求的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】中心对称图形是指图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据420000用科学记数法可表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】正投影
【解析】【解答】解：当直角三角板ABC向白炽灯靠近时，由于光源与三角板之间的距离减小，根据光的直线传播原理，影子的大小会增大
故答案为：D
【分析】当直角三角板ABC向白炽灯靠近时，由于光源与三角板之间的距离减小，根据光的直线传播原理，影子的大小会增大
6．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
决定胜负的那个冰壶所在位置位于第二象限
故答案为：B
【分析】根据点与象限的关系逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；弧长的计算；求特殊角的三角函数值；旋转的性质；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠C=90°，AB=CD
由旋转性质可得AB=BE
∴BE=CD
∵点E是CD中点，且CE=2
∴
在Rt△BCE中，
∴∠CBE=30°
∴∠ABE=60°
∴点旋转到点的路径长为
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得四边形ABCD是矩形，则∠ABC=∠C=90°，AB=CD，由旋转性质可得AB=BE，则BE=CD，再根据线段中点可得，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得∠CBE=30°，则∠ABE=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠D=∠ACB-∠DAC=30°，∠ABO=∠ACB+∠BAC=60°
在Rt△AOD中，
在Rt△AOB中，
∴BD=DO-BO=200
故答案为：C
【分析】根据三角形外角性质可得∠D=∠ACB-∠DAC=30°，∠ABO=∠ACB+∠BAC=60°，解直角三角形可得DO，BO，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：5
【分析】提公因数化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“三等分角”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】74
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CEB=∠1+∠2=74°
∵EC∥BD，CD∥AB
∴四边形BDCE是平行四边形
∴∠3=∠CEB=74°
故答案为：74
【分析】根据三角形外角性质可得∠CEB=∠1+∠2=74°，再根据平行四边形判定定理可得四边形BDCE是平行四边形，则∠3=∠CEB=74°，即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】函数值；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，的最大值是-2
∴反比例函数图象在第三象限，y随x的增大而减小
∴反比例函数图象过（-3，-2）
∴m=-3×(-2)=6
∴反比例函数的解析式为
∴当时，y在x=4上取得最小值为
故答案为：
【分析】根据反比例函数的性质可得反比例函数图象在第三象限，y随x的增大而减小，则反比例函数图象过（-3，-2），再根据待定系数法求出反比例函数的解析式为，再根据其性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求余弦值
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点H，连接CE
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴BH=CH，AH⊥BC，即AH垂直平分BC
∴BD=CD=DE
∴∠DBC=∠DCB，∠DEC=∠DCE
∵∠DBC+∠DCB+∠DEC+∠DCE=180°
∴∠DCB+∠DCE=90°，即∠BCE=90°
∵
∴设BC=4x，则BD=CD=DE=3x
∴
在Rt△BDH中，
在Rt△BCE中，
∵
∴
∴
∵AD⊥BC，CE⊥BC
∴AD∥CE
∴
故答案为：
【分析】延长AD交BC于点H，连接CE，根据角平分线性质可得BH=CH，AH⊥BC，即AH垂直平分BC，根据垂直平分线性质可得BD=CD=DE，根据等边对等角可得∠DBC=∠DCB，∠DEC=∠DCE，再根据角之间的关系可得∠DCB+∠DCE=90°，即∠BCE=90°，设BC=4x，则BD=CD=DE=3x，根据勾股定理可得DH，CE，再根据余弦定义可得AD，再根据直线平行判定定理可得AD∥CE，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0指数幂，二次根式性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）①；
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则。（备注：言之有理即可）
（2）原式
当时，原式
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x=-2代入即可求出答案.
16．【答案】（1）8；8
（2）140
（3）作为消费者，我会选择B品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中B品牌的平均数，中位数，众数均高于A品牌，说明其翻译准确性更好。
（4）答案不唯一：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本。这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项
（备注：言之有理即可）
【知识点】折线统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）①A中，8出现的次数最多为3次，则众数为8
②将B中数据按从小到大的数据排列为7，7，7，7，8，8，8，9，10，10，10
处在最中间的数为8，则中位数为8
故答案为：8；8
（2）由题意可得：
翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为
故答案为：140
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据200乘以不低于8分的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
则：，解得
答：一辆电动风力小车售价为8元，一个简易电动风扇价格为5元。
（2）解：设需要辆电动风力小车，由题意有：
解得.
取整数，
的最小值为167。
答：摊位至少需要167辆电动风力小车。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设需要辆电动风力小车，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示，、点、点即为所求。
（2）解：①证：连接AO
，
又是的半径
直线AB是的切线。
②设的半径为，则
在Rt中，，
即，解得
故的半径为
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线作图即可求出答案.
（2）①连接AO，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
②设的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）轨道初段AC的总长为40cm；
设，则解得
故
（2）解：①由题意，为顶点，设，则
代入，有
解得（舍去）
故
②设直线OP表达式：，代入，有
即，
联立
得
直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与拋物线对称轴平行
故线段OP与抛物线光滑连接
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点
由题意
解得，
当时，
故轨道起点与点之间的距离为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由图3可得AC长，设，根据待定系数法带点计算即可求出答案.
（2）①由题意，为顶点，设，则，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
②设直线OP表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得即，联立二次函数解析式，根据二次方程判别式，可知直线OP与抛物线有且只有一个交点.
（3）：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程可得，再将m值代入二次函数解析式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：
中
中
（2）解：如图1
平移
，
又
（SAS）
（3）解：如图5所示，延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设
为PC的中点
四边形CDPQ是平行四边形
中，
又，
中，
又
又
又
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得AB∥CD，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据平移性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AB=MB，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设，根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
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