资源简介

浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2025年中考三模数学试题
1．（2025·定海模拟）在下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025·定海模拟）如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·定海模拟）年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·定海模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·定海模拟）关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（2025·定海模拟）如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·定海模拟）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·定海模拟）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
9．（2025·定海模拟）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．（2025·定海模拟）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·定海模拟）将多项式因式分解得　 　．
12．（2025·定海模拟）一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为　 　.
13．（2025·定海模拟）当时，则　 　．
14．（2025·定海模拟）如图，在中，，于点，若，则　 　．
15．（2025·定海模拟）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为　 　
16．（2025·定海模拟）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是　 　
17．（2025·定海模拟）计算：．
18．（2025·定海模拟）解方程组：
19．（2025·定海模拟）丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，B．汽车南站送祝福，C．地铁小义工，D．警营岗位体验，并让同学们自主选择其中一项参加．以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图（缺少部分信息）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？
20．（2025·定海模拟）数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）参考数据：
21．（2025·定海模拟）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高，计算得__________．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
22．（2025·定海模拟）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）当，求的值．
23．（2025·定海模拟）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
24．（2025·定海模拟）如图1，是的直径，是左半圆上的任意一点（不与，重合），是劣弧上一动点．连结，，在右半圆上取一点，使得，连接并交于点．
（1）求证：
（2）如图2，当为左半圆上的中点时，求证：在点运动过程中，始终存在．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，取右半圆中点，连结，，求证：与面积相等
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是整数，属于有理数，∴此选项故不符合题意；
B.0是整数，属于有理数，∴此选项不符合题意；
C．是无理数，∴此选项符合题意；
D．是分数，属于有理数，∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数叫无理数"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知，从几何体的上面看到的平面图形是由三个小正方形组成的，上面有两个横向摆放的小正方形，其中右侧小正方形的下方有一个小正方形，
俯视图的形状如下图所示，
故答案为：B．
【分析】俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，根据几何体中小立方块的位置和个数画出俯视图即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法可得：万．
故答案为：．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与，不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、单项式的乘法、同底数幂的乘法逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在方程中，，
∴
∵任何数的平方都大于等于0，即，
∴，即．
当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案选：A．
【分析】由题意，先计算判别式的值并判断其符号，然后根据一元二次方程根的判别式“"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”判断求解．
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
8．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，根据正方形性质可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，则∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△MDG（AAS），则AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，再根据线段中点可得CF＝BC＝2，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图可知分钟时茗茗到达地，
∴茗茗速度米/分．
分钟时清清到达B地，则清清速度米/分．
40分钟时，清清跑的路程为米，两人相距米，故A选项正确，不符合题意；
50分钟时，茗茗跑的路程为米，此时茗茗距离地米，清清在地，所以米，故B选项正确，不符合题意．
两人相向而行，根据相遇时间（为两人速度之和），米/分，米，
所以第一次相遇时间，故C选项错误，符合题意；
从开始到第二次相遇，两人路程和是个6000米，即18000米，米/分，得，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】由图象获取关键时间点信息，求出茗茗和清清的速度，根据速度及时间计算40分钟、50分钟时两人的路程，判断a、b的值，利用速度和与路程，依据相遇时间公式计算第一次、第二次相遇时间，判断c、d的值。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】40
【知识点】简单事件概率的计算；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意知，摸到红球的频率稳定在0.2左右，
可估计红球的数量为：（个），
故答案为：．
【分析】根据总数乘以对应频率即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，再代入代数式化简即可求出答案.
14．【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，由等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠EDC=20°，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；旋转的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故答案为：．
【分析】过B点作于E点，根据旋转性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得BE，再根据，可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，则，，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图：
由题意可知，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，要使的面积最大，则点到的距离最大，
∵，点在上，
∴，如图：
当点在优弧的中点时，点到的距离最大，
此时为等边三角形，
过点作于点，如图：
∵为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的最大面积为，
故答案为：．
【分析】连接，由题意可知，，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，求出，根据，要使的面积最大，则点到的距离最大，根据圆周角定理可得，当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，过点作于点，根据等边三角形性质可得，则，根据勾股定理可得CE，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据0指数幂，负整数指数幂，实数的乘方，立方根化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：
得，解得，
把代入①得，解得
∴原方程组的解为 ．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
19．【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生人数为（人），
∴抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示：
（2）解：由（1）得抽取的学生人数为200人，
∴扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：（人），
∴ 若该校共有2000名学生，则选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有680人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据D项活动的人数和所占百分比计算出总抽取人数，即可计算出选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，补全条形统计图即可；
（2）用“地铁小义工”活动所对应人数除以抽取的总人数，再乘360°即可求解；
（3）用样本估计总体，用该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生所占比乘2000即可求解.
20．【答案】解：过点作，垂足为
由题意得：，在中，
在中，
旗杆的高度约为16米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作，垂足为，分别解，，得出，，根据，即可求解．
21．【答案】（1）解：就是所求作的高，如图所示，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：
（2）如图所示，点E就是求作的点，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；求余弦值；三角形的高
【解析】【分析】（1）取格点P，连接，交于点，则就是所求作的高，利用勾股定理求出AB和AC长，即可得到，解题即可；
（2）取格点M和N，连接，线段交于点，则AE即为所作．
22．【答案】（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：①
②，理由如下：
∵抛物线中， ，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，点在抛物线上，且，
∴；
（2）解：∵抛物线中， ，
∴函数开口向上，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，都有，
由题意可知，点在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，
，解得 ，
∴的取值范围是 ．

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴；
【分析】（1）①根据抛物线对称轴方程即可求出答案.
②根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：①∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵抛物线中， ，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，点在抛物线上，且，
∴；
（2）∵抛物线中， ，
∴函数开口向上，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，都有，
由题意可知，点在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，
，解得 ，
∴的取值范围是 ．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵为左半圆上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，设交于Q，连接，
∵M、N分别为左半圆和右半圆的中点，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与面积相等．
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得，再根据弧之间的关系可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（3），设交于Q，连接， 根据题意可得，，则为的直径，根据圆周角定理可得，由（1）可得，则，根据直线平行判定定理可得，根据三角形面积可得，根据角之间的关系可得，则，根据圆周角定理可得，，则，根据圆内接四边形性质可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵为左半圆上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，设交于Q，连接，
∵M、N分别为左半圆和右半圆的中点，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与面积相等．
1 / 1浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2025年中考三模数学试题
1．（2025·定海模拟）在下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是整数，属于有理数，∴此选项故不符合题意；
B.0是整数，属于有理数，∴此选项不符合题意；
C．是无理数，∴此选项符合题意；
D．是分数，属于有理数，∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数叫无理数"并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·定海模拟）如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知，从几何体的上面看到的平面图形是由三个小正方形组成的，上面有两个横向摆放的小正方形，其中右侧小正方形的下方有一个小正方形，
俯视图的形状如下图所示，
故答案为：B．
【分析】俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，根据几何体中小立方块的位置和个数画出俯视图即可．
3．（2025·定海模拟）年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法可得：万．
故答案为：．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
4．（2025·定海模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与，不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、单项式的乘法、同底数幂的乘法逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·定海模拟）关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在方程中，，
∴
∵任何数的平方都大于等于0，即，
∴，即．
当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案选：A．
【分析】由题意，先计算判别式的值并判断其符号，然后根据一元二次方程根的判别式“"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”判断求解．
6．（2025·定海模拟）如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
7．（2025·定海模拟）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
8．（2025·定海模拟）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
9．（2025·定海模拟）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，根据正方形性质可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，则∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△MDG（AAS），则AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，再根据线段中点可得CF＝BC＝2，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025·定海模拟）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图可知分钟时茗茗到达地，
∴茗茗速度米/分．
分钟时清清到达B地，则清清速度米/分．
40分钟时，清清跑的路程为米，两人相距米，故A选项正确，不符合题意；
50分钟时，茗茗跑的路程为米，此时茗茗距离地米，清清在地，所以米，故B选项正确，不符合题意．
两人相向而行，根据相遇时间（为两人速度之和），米/分，米，
所以第一次相遇时间，故C选项错误，符合题意；
从开始到第二次相遇，两人路程和是个6000米，即18000米，米/分，得，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】由图象获取关键时间点信息，求出茗茗和清清的速度，根据速度及时间计算40分钟、50分钟时两人的路程，判断a、b的值，利用速度和与路程，依据相遇时间公式计算第一次、第二次相遇时间，判断c、d的值。
11．（2025·定海模拟）将多项式因式分解得　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．（2025·定海模拟）一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为　 　.
【答案】40
【知识点】简单事件概率的计算；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意知，摸到红球的频率稳定在0.2左右，
可估计红球的数量为：（个），
故答案为：．
【分析】根据总数乘以对应频率即可求出答案.
13．（2025·定海模拟）当时，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，再代入代数式化简即可求出答案.
14．（2025·定海模拟）如图，在中，，于点，若，则　 　．
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，由等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠EDC=20°，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．（2025·定海模拟）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为　 　
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；旋转的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故答案为：．
【分析】过B点作于E点，根据旋转性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得BE，再根据，可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，则，，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．（2025·定海模拟）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是　 　
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图：
由题意可知，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，要使的面积最大，则点到的距离最大，
∵，点在上，
∴，如图：
当点在优弧的中点时，点到的距离最大，
此时为等边三角形，
过点作于点，如图：
∵为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的最大面积为，
故答案为：．
【分析】连接，由题意可知，，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，求出，根据，要使的面积最大，则点到的距离最大，根据圆周角定理可得，当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，过点作于点，根据等边三角形性质可得，则，根据勾股定理可得CE，再根据三角形面积即可求出答案.
17．（2025·定海模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据0指数幂，负整数指数幂，实数的乘方，立方根化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2025·定海模拟）解方程组：
【答案】解：
得，解得，
把代入①得，解得
∴原方程组的解为 ．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
19．（2025·定海模拟）丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，B．汽车南站送祝福，C．地铁小义工，D．警营岗位体验，并让同学们自主选择其中一项参加．以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图（缺少部分信息）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？
【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生人数为（人），
∴抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示：
（2）解：由（1）得抽取的学生人数为200人，
∴扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：（人），
∴ 若该校共有2000名学生，则选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有680人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据D项活动的人数和所占百分比计算出总抽取人数，即可计算出选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，补全条形统计图即可；
（2）用“地铁小义工”活动所对应人数除以抽取的总人数，再乘360°即可求解；
（3）用样本估计总体，用该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生所占比乘2000即可求解.
20．（2025·定海模拟）数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）参考数据：
【答案】解：过点作，垂足为
由题意得：，在中，
在中，
旗杆的高度约为16米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作，垂足为，分别解，，得出，，根据，即可求解．
21．（2025·定海模拟）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高，计算得__________．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1）解：就是所求作的高，如图所示，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：
（2）如图所示，点E就是求作的点，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；求余弦值；三角形的高
【解析】【分析】（1）取格点P，连接，交于点，则就是所求作的高，利用勾股定理求出AB和AC长，即可得到，解题即可；
（2）取格点M和N，连接，线段交于点，则AE即为所作．
22．（2025·定海模拟）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）当，求的值．
【答案】（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
23．（2025·定海模拟）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：①
②，理由如下：
∵抛物线中， ，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，点在抛物线上，且，
∴；
（2）解：∵抛物线中， ，
∴函数开口向上，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，都有，
由题意可知，点在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，
，解得 ，
∴的取值范围是 ．

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴；
【分析】（1）①根据抛物线对称轴方程即可求出答案.
②根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：①∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵抛物线中， ，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，点在抛物线上，且，
∴；
（2）∵抛物线中， ，
∴函数开口向上，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，都有，
由题意可知，点在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，
，解得 ，
∴的取值范围是 ．
24．（2025·定海模拟）如图1，是的直径，是左半圆上的任意一点（不与，重合），是劣弧上一动点．连结，，在右半圆上取一点，使得，连接并交于点．
（1）求证：
（2）如图2，当为左半圆上的中点时，求证：在点运动过程中，始终存在．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，取右半圆中点，连结，，求证：与面积相等
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵为左半圆上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，设交于Q，连接，
∵M、N分别为左半圆和右半圆的中点，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与面积相等．
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得，再根据弧之间的关系可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（3），设交于Q，连接， 根据题意可得，，则为的直径，根据圆周角定理可得，由（1）可得，则，根据直线平行判定定理可得，根据三角形面积可得，根据角之间的关系可得，则，根据圆周角定理可得，，则，根据圆内接四边形性质可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵为左半圆上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，设交于Q，连接，
∵M、N分别为左半圆和右半圆的中点，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与面积相等．
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