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湖南省邵阳市武冈市武冈市2025年九年级模拟考试三模数学试题
1．（2025·武冈模拟）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】解：如图，正六边形的对称轴有6条．
故答案为：C．
【分析】根据对称轴的定义：对称轴是一个可以把图形或物体分成两半，且这两半相互对称的直线。简单来说，如果一个图形沿着这条轴线对折，两侧完全重合，那么这条轴线就是该图形的对称轴。据此即可求解
2．（2025·武冈模拟）据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
3．（2025·武冈模拟）星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程与时间的关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：图像分为三个阶段：
第一个阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增加而减小；
第二个阶段：在公园停留一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而变化；
第三个阶段：沿原路匀速步行回家，离公园的距离随时间的增大而增大，且这段的速度小于第一阶段的速度；
故答案为：B。
【分析】根据题干中提供的信息：从家匀速跑到公园，可知，距离随时间的增加而减小；在公园某处停留了一段时间：在这段时间里，距离不发生变化，所以是一条直线；在沿原路匀速步行回家，距离随时间的增大而增大，据此即可求解
4．（2025·武冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；探索规律-点的坐标规律；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：根据题意，可得
∵，
∴在x轴的负半轴上，
∵，，，，…，
∴的横坐标为，
即，
故答案为：A。
【分析】用2027除以4，先确定出在x轴的负半轴上，根据等腰直角三角形的性质和图像的坐标性质，求出、、、…的坐标，总结出各个点的坐标变化规律，即可求解
5．（2025·武冈模拟）下列说法正确的是（　　）．
A．是的平方根 B．2是的算术平方根
C．的平方根是2 D．8的立方根是2或
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：-4没有平方根；
B：的算术平方根是2；
C：的平方根是；
D：8的立方根是2．
故答案为：B．
【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的求解方法，然后对各个选项逐一进行求解即可
6．（2025·武冈模拟）如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（　　）
A．4，4 B．4，9 C．5，9 D．9，9
【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：每种兰花单枝上的花朵数从小到大排列为，
则这组数据的中位数为，
这组数据的众数为，
故答案为：D．
【分析】先对各个数从小到大进行排列，然后根据根据该数列数量是奇数还是偶数，假如是奇数，则取该数列中间的那个数，若是偶数，则用中间两个数相加，除以2，即可求出中位数；根据众数的定义：众数是指该数列中出现次数最多的那个数，据此即可求解
7．（2025·武冈模拟）如果，那么、的值分别是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴x2+（m-5）x-5m=x2-3x+k，
∴m-5=-3，-5m=K，
解之：m=2，k=-10.
故答案为：C
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边去括号合并，再根据对应项的系数相等，可得到关于m，k的方程组，解方程组求出k，m的值.
8．（2025·武冈模拟）下列说法中错误的是（　　）
A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若a＝b，则ac＝bc
C．若ac＝bc，则a＝b D．若 ，则a＝b
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2，然后再加上3，等式仍成立，即3﹣2a＝3﹣2b，故本选项不符合题意.
B、在等式a＝b的两边同时乘以c，等式仍成立，即ac＝bc，故本选项不符合题意.
C、当c＝0时，等式a＝b不一定成立，故本选项符合题意.
D、在等式 的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质逐项分析即可.
9．（2025·武冈模拟）在中，的角平分线交于点，点分为4和5两部分，则的周长为(　　)
A．24 B．26 C．28 D．26或28
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵∠ABC的平分线分对边AD为5和4两部分，
如果AE＝4，则四边形周长为26；
如果AE＝5，则AB＝DC＝5，AD＝BC＝9，
∴的周长为28；
∴的周长为26或28．
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质，可得AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，即可得∠AEB＝∠CBE，又因为BE是∠ABC的平分线，则∠ABE＝∠CBE，∠ABE＝∠AEB，故AB＝AE；根据“点E分AD为4和5两部分”，分别从AE为5和4两种情况进行分析，然后再根据周长的公式，代入数据即可求解
10．（2025·武冈模拟）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9，故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，
而
故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则
解得：
而
故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为直线x=2，最小值为-9，判断出函数的增减性，据此判断①②；根据二次函数图象的几何变换可判断③；令y=0，求出x的值，根据两点间距离公式求出两交点的距离，据此判断④.
11．（2025·武冈模拟）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　 　．
【答案】240
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为，
故答案为：240
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，用400乘以0.6，即可求出阴影部分面积。
12．（2025·武冈模拟）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为　 　（写出一个即可）．
【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，
∴2<第三边<8.
∵三角形的边长均为整数，
∴第三边的长可以为4.
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围，然后结合三角形的边长均为整数进行解答..
13．（2025·武冈模拟）把5×5×5写成乘方的形式　 　
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：5×5×5＝ .
故答案是： .
【分析】根据乘方是乘法的一种简写形式，把相同的因数作为底数，相同因数的个数作为指数即可得出答案.
14．（2025·武冈模拟）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是　 　．
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的解，
∴，
∴
∴
故答案为：2026
【分析】将x的值代入，得到，求出a和b的关系式，然后再将该式子代入2024+4a-2b中，即可求解
15．（2025·武冈模拟）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为　 　．
【答案】3
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|=0，
∴a-1=0，b-2=0，
解得：a=1，b=2，
∴a+b=1+2=3，
故答案为：3.
【分析】利用相反数的性质可得|a﹣1|+|b﹣2|=0，再利用绝对值的非负性求出a、b的值，最后将a、b的值代入a+b计算即可.
16．（2025·武冈模拟）已知反比例函数的图象经过点，则k的值是　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故答案为：6
【分析】将点（3，2）代入，即可求出k的值。
17．（2025·武冈模拟）如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则　 　°．
【答案】40
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，求出的度数，然后再一次根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可求出的值
18．（2025·武冈模拟）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 　 　．
【答案】3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点G在的延长线上时，的值最大，最大值，
∴的最大值为3，
故答案为：3．
【分析】如图，连接．因为P点是AC的中点，CD是抛物线的对称轴，由此可知PD是三角形AGB的中位线，根据三角形的中位线定理可知；然后再根据抛物线的方程，求出A和B的横坐标，进而即可求出AB的长，将抛物线的方程整理成顶点式，求出顶点坐标C，再根据勾股定理，求出BC的长，当B、C、G三点共线时，BG取得最大值，然后再根据，即可求出DP的最大值．
19．（2025·武冈模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数幂、二次根式、零指数幂的运算方法，将、和进行运算，然后再计算特殊角的三角函数值，最后再将这些数相加减即可
20．（2025·武冈模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分运算，然后再对括号外的分式的分子根据平方差公式进行分解，再将除法换算乘法，再进行约分化简，最后再将a的值代入化简后的式子中，即可求解
21．（2025·武冈模拟）如图，直线l与相切于点D，为的直径，过点A作于点E，延长交直线l于点C．
（1）求证：平分；
（2）如果，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接OD．
∵直线与相切于点D，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得出，结合题意可证，根据平行性的性质，可得，又因为OA=OD，可得，即得出，即AD平分；
（2）设的半径为r，可知，，．在Rt三角形OCD中，根据勾股定理，建立方程：，代入数据即可求解
（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
22．（2025·武冈模拟）如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且．
（1）如图（1），若点D是的中点，求证：；
（2）如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论；
（3）如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
∵D为中点，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，过D作，交于F，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
即；
（3）解：．
证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P，
∵是等边三角形，
∴也是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据D是AC的中点，三角形ABC是等边三角形，根据三线合一的性质，即可求出求出且；又根据 ，即可求出，又因为，所以，进而推出，所以，根据等边三角形性质求出，即可得出答案；
（2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，只需要证明是等边三角形，推出，即可得出答案；
（3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵D为中点，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，过D作，交于F，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
即；
（3）解：．
证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P，
∵是等边三角形，
∴也是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
23．（2025·武冈模拟）中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？
【答案】解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆，由题意得：
，
化简得：，
解得：，，
要尽可能给顾客更多优惠，
取，
，
∴每辆汽车的售价应定为24万元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每辆汽车售价降低x万元，则多买2x辆，根据利润=售价-进价，求出每辆新能源汽车的利润，再根据“售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆”和“每周的销售利润达到84万元”，用每辆汽车的实际利润乘以每周实际卖出去的汽车数量，然后再建立起方程：，最后再进行求解，然后再根据“给顾客更多优惠”，则需要降价的力度要最大，据此确定x的值，然后再用原定价减去降价的钱数，即可求出实际售价
24．（2025·武冈模拟）2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
比赛项目
关注人数 42 30
（1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
【答案】（1）a=18，b=60，D所在扇形圆心角的度数为：144度
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据两图中A的数据可得总人数为：
（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：
，
答：a和b的值为18和60人；D所在扇形圆心角度数为144度。
【分析】（1）用比赛A项目的关注人数除以其占比28%，求出关注比赛的总人数；然后再用总人数乘以比赛C的占比，即可求出a值；然后再用总人数减去比赛A、比赛B、比赛C的关注人数，即可求出b的值；用比赛D的人数除以总人数，求出其占比，然后再乘以360度，即可求出D所在扇形的圆心角的度数。
（2）根据题意，可知，D选项代表的是3000米绕表赛，因此，用D比赛项目的关注人数除以总人数，然后再乘以当天观看比赛的市民总人数，即可求解。
（3）根据根据“2男2女对该路段进行值守”，画出树状图，然后根据题干中可能存在的12种情况，再根据“恰好抽到的两名交警性别相同”，从树状图中找到性别相同的情况即可，再利用概率的公式进行求解即可。
（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：，
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
25．（2025·武冈模拟）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若，请直接写出的解集；
（3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A点代入 ，求出反比例函数的解析式；根据“二次函数 的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点””，可设反比例函数上的“和六点”为，然后再根据“一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点””，建立方程：，然后再解方程，求出m的值，最后再求出“和六点”坐标，最后再将这两个坐标代入 ，即可求出二次函数的解析式。
（2）先根据反比例函数和二次函数的解析式，在坐标轴上画出这两条函数的图形，先找出反比例函数与二次函数的交点，然后找出的解集即可
（3）先根据二次函数解析式对称轴的公式：，代入数据求出对称轴；根据“P为抛物线对称轴上一动点”，可设P点的坐标为；然后再根据“点A的横坐标小于点B的横坐标”，确定A和B的坐标；根据“是以A为顶点的等腰三角形 ”，求出AP=AB，根据两点间的坐标公式，分别求出AB和AP的长，然后再求出n的值，即可求出P点的坐标。
（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．
抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
26．（2025·武冈模拟）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
（1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；
（2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可得，长为或．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）根据阿基米德折弦定理即可求解；
（2）在上取，连接、、、，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一可得，然后根据线段的和差CD=BD-BG变形即可求解；
（3）先利用圆周角和勾股定理，求得AC的值，由题意分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可．
（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可知，长为或．
1 / 1湖南省邵阳市武冈市武冈市2025年九年级模拟考试三模数学试题
1．（2025·武冈模拟）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
2．（2025·武冈模拟）据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·武冈模拟）星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程与时间的关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·武冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·武冈模拟）下列说法正确的是（　　）．
A．是的平方根 B．2是的算术平方根
C．的平方根是2 D．8的立方根是2或
6．（2025·武冈模拟）如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（　　）
A．4，4 B．4，9 C．5，9 D．9，9
7．（2025·武冈模拟）如果，那么、的值分别是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
8．（2025·武冈模拟）下列说法中错误的是（　　）
A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若a＝b，则ac＝bc
C．若ac＝bc，则a＝b D．若 ，则a＝b
9．（2025·武冈模拟）在中，的角平分线交于点，点分为4和5两部分，则的周长为(　　)
A．24 B．26 C．28 D．26或28
10．（2025·武冈模拟）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
11．（2025·武冈模拟）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　 　．
12．（2025·武冈模拟）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为　 　（写出一个即可）．
13．（2025·武冈模拟）把5×5×5写成乘方的形式　 　
14．（2025·武冈模拟）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是　 　．
15．（2025·武冈模拟）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为　 　．
16．（2025·武冈模拟）已知反比例函数的图象经过点，则k的值是　 　．
17．（2025·武冈模拟）如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则　 　°．
18．（2025·武冈模拟）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 　 　．
19．（2025·武冈模拟）计算：．
20．（2025·武冈模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·武冈模拟）如图，直线l与相切于点D，为的直径，过点A作于点E，延长交直线l于点C．
（1）求证：平分；
（2）如果，，求的半径．
22．（2025·武冈模拟）如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且．
（1）如图（1），若点D是的中点，求证：；
（2）如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论；
（3）如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由．
23．（2025·武冈模拟）中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？
24．（2025·武冈模拟）2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
比赛项目
关注人数 42 30
（1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
25．（2025·武冈模拟）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若，请直接写出的解集；
（3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
26．（2025·武冈模拟）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
（1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；
（2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】解：如图，正六边形的对称轴有6条．
故答案为：C．
【分析】根据对称轴的定义：对称轴是一个可以把图形或物体分成两半，且这两半相互对称的直线。简单来说，如果一个图形沿着这条轴线对折，两侧完全重合，那么这条轴线就是该图形的对称轴。据此即可求解
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
3．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：图像分为三个阶段：
第一个阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增加而减小；
第二个阶段：在公园停留一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而变化；
第三个阶段：沿原路匀速步行回家，离公园的距离随时间的增大而增大，且这段的速度小于第一阶段的速度；
故答案为：B。
【分析】根据题干中提供的信息：从家匀速跑到公园，可知，距离随时间的增加而减小；在公园某处停留了一段时间：在这段时间里，距离不发生变化，所以是一条直线；在沿原路匀速步行回家，距离随时间的增大而增大，据此即可求解
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；探索规律-点的坐标规律；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：根据题意，可得
∵，
∴在x轴的负半轴上，
∵，，，，…，
∴的横坐标为，
即，
故答案为：A。
【分析】用2027除以4，先确定出在x轴的负半轴上，根据等腰直角三角形的性质和图像的坐标性质，求出、、、…的坐标，总结出各个点的坐标变化规律，即可求解
5．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：-4没有平方根；
B：的算术平方根是2；
C：的平方根是；
D：8的立方根是2．
故答案为：B．
【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的求解方法，然后对各个选项逐一进行求解即可
6．【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：每种兰花单枝上的花朵数从小到大排列为，
则这组数据的中位数为，
这组数据的众数为，
故答案为：D．
【分析】先对各个数从小到大进行排列，然后根据根据该数列数量是奇数还是偶数，假如是奇数，则取该数列中间的那个数，若是偶数，则用中间两个数相加，除以2，即可求出中位数；根据众数的定义：众数是指该数列中出现次数最多的那个数，据此即可求解
7．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴x2+（m-5）x-5m=x2-3x+k，
∴m-5=-3，-5m=K，
解之：m=2，k=-10.
故答案为：C
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边去括号合并，再根据对应项的系数相等，可得到关于m，k的方程组，解方程组求出k，m的值.
8．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2，然后再加上3，等式仍成立，即3﹣2a＝3﹣2b，故本选项不符合题意.
B、在等式a＝b的两边同时乘以c，等式仍成立，即ac＝bc，故本选项不符合题意.
C、当c＝0时，等式a＝b不一定成立，故本选项符合题意.
D、在等式 的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质逐项分析即可.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵∠ABC的平分线分对边AD为5和4两部分，
如果AE＝4，则四边形周长为26；
如果AE＝5，则AB＝DC＝5，AD＝BC＝9，
∴的周长为28；
∴的周长为26或28．
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质，可得AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，即可得∠AEB＝∠CBE，又因为BE是∠ABC的平分线，则∠ABE＝∠CBE，∠ABE＝∠AEB，故AB＝AE；根据“点E分AD为4和5两部分”，分别从AE为5和4两种情况进行分析，然后再根据周长的公式，代入数据即可求解
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9，故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，
而
故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则
解得：
而
故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为直线x=2，最小值为-9，判断出函数的增减性，据此判断①②；根据二次函数图象的几何变换可判断③；令y=0，求出x的值，根据两点间距离公式求出两交点的距离，据此判断④.
11．【答案】240
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为，
故答案为：240
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，用400乘以0.6，即可求出阴影部分面积。
12．【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，
∴2<第三边<8.
∵三角形的边长均为整数，
∴第三边的长可以为4.
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围，然后结合三角形的边长均为整数进行解答..
13．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：5×5×5＝ .
故答案是： .
【分析】根据乘方是乘法的一种简写形式，把相同的因数作为底数，相同因数的个数作为指数即可得出答案.
14．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的解，
∴，
∴
∴
故答案为：2026
【分析】将x的值代入，得到，求出a和b的关系式，然后再将该式子代入2024+4a-2b中，即可求解
15．【答案】3
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|=0，
∴a-1=0，b-2=0，
解得：a=1，b=2，
∴a+b=1+2=3，
故答案为：3.
【分析】利用相反数的性质可得|a﹣1|+|b﹣2|=0，再利用绝对值的非负性求出a、b的值，最后将a、b的值代入a+b计算即可.
16．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故答案为：6
【分析】将点（3，2）代入，即可求出k的值。
17．【答案】40
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，求出的度数，然后再一次根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可求出的值
18．【答案】3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点G在的延长线上时，的值最大，最大值，
∴的最大值为3，
故答案为：3．
【分析】如图，连接．因为P点是AC的中点，CD是抛物线的对称轴，由此可知PD是三角形AGB的中位线，根据三角形的中位线定理可知；然后再根据抛物线的方程，求出A和B的横坐标，进而即可求出AB的长，将抛物线的方程整理成顶点式，求出顶点坐标C，再根据勾股定理，求出BC的长，当B、C、G三点共线时，BG取得最大值，然后再根据，即可求出DP的最大值．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数幂、二次根式、零指数幂的运算方法，将、和进行运算，然后再计算特殊角的三角函数值，最后再将这些数相加减即可
20．【答案】解：
，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分运算，然后再对括号外的分式的分子根据平方差公式进行分解，再将除法换算乘法，再进行约分化简，最后再将a的值代入化简后的式子中，即可求解
21．【答案】（1）证明：如图，连接OD．
∵直线与相切于点D，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得出，结合题意可证，根据平行性的性质，可得，又因为OA=OD，可得，即得出，即AD平分；
（2）设的半径为r，可知，，．在Rt三角形OCD中，根据勾股定理，建立方程：，代入数据即可求解
（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
22．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
∵D为中点，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，过D作，交于F，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
即；
（3）解：．
证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P，
∵是等边三角形，
∴也是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据D是AC的中点，三角形ABC是等边三角形，根据三线合一的性质，即可求出求出且；又根据 ，即可求出，又因为，所以，进而推出，所以，根据等边三角形性质求出，即可得出答案；
（2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，只需要证明是等边三角形，推出，即可得出答案；
（3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵D为中点，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，过D作，交于F，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
即；
（3）解：．
证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P，
∵是等边三角形，
∴也是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆，由题意得：
，
化简得：，
解得：，，
要尽可能给顾客更多优惠，
取，
，
∴每辆汽车的售价应定为24万元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每辆汽车售价降低x万元，则多买2x辆，根据利润=售价-进价，求出每辆新能源汽车的利润，再根据“售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆”和“每周的销售利润达到84万元”，用每辆汽车的实际利润乘以每周实际卖出去的汽车数量，然后再建立起方程：，最后再进行求解，然后再根据“给顾客更多优惠”，则需要降价的力度要最大，据此确定x的值，然后再用原定价减去降价的钱数，即可求出实际售价
24．【答案】（1）a=18，b=60，D所在扇形圆心角的度数为：144度
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据两图中A的数据可得总人数为：
（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：
，
答：a和b的值为18和60人；D所在扇形圆心角度数为144度。
【分析】（1）用比赛A项目的关注人数除以其占比28%，求出关注比赛的总人数；然后再用总人数乘以比赛C的占比，即可求出a值；然后再用总人数减去比赛A、比赛B、比赛C的关注人数，即可求出b的值；用比赛D的人数除以总人数，求出其占比，然后再乘以360度，即可求出D所在扇形的圆心角的度数。
（2）根据题意，可知，D选项代表的是3000米绕表赛，因此，用D比赛项目的关注人数除以总人数，然后再乘以当天观看比赛的市民总人数，即可求解。
（3）根据根据“2男2女对该路段进行值守”，画出树状图，然后根据题干中可能存在的12种情况，再根据“恰好抽到的两名交警性别相同”，从树状图中找到性别相同的情况即可，再利用概率的公式进行求解即可。
（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：，
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
25．【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A点代入 ，求出反比例函数的解析式；根据“二次函数 的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点””，可设反比例函数上的“和六点”为，然后再根据“一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点””，建立方程：，然后再解方程，求出m的值，最后再求出“和六点”坐标，最后再将这两个坐标代入 ，即可求出二次函数的解析式。
（2）先根据反比例函数和二次函数的解析式，在坐标轴上画出这两条函数的图形，先找出反比例函数与二次函数的交点，然后找出的解集即可
（3）先根据二次函数解析式对称轴的公式：，代入数据求出对称轴；根据“P为抛物线对称轴上一动点”，可设P点的坐标为；然后再根据“点A的横坐标小于点B的横坐标”，确定A和B的坐标；根据“是以A为顶点的等腰三角形 ”，求出AP=AB，根据两点间的坐标公式，分别求出AB和AP的长，然后再求出n的值，即可求出P点的坐标。
（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．
抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
26．【答案】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可得，长为或．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）根据阿基米德折弦定理即可求解；
（2）在上取，连接、、、，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一可得，然后根据线段的和差CD=BD-BG变形即可求解；
（3）先利用圆周角和勾股定理，求得AC的值，由题意分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可．
（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可知，长为或．
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