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广东省东莞市2025年中考二模数学试题
1．（2025·东莞模拟）数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·东莞模拟）是幻方量化旗下公司深度求索（）研发的推理型.2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近4000万.将4000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·东莞模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·东莞模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，如图1是一种经典的六柱孔明锁，其中一柱如图2所示，则图2中木块的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·东莞模拟）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．，
7．（2025·东莞模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
8．（2025·东莞模拟）随着人们对垃圾分类的认识不断增强，垃圾分类的知识不断被普及，我国的垃圾分类的水平也日益提高，一些高科技含量的垃圾箱也应运而生，例如：智能垃圾箱就分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品的积分．长沙市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25，关于这组数据，中位数和众数分别是（　　）
A．23，25 B．25，23 C．23，23 D．25，25
9．（2025·东莞模拟）如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为，，则的长度为(　　)
A． B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则直线AM的函数解析式是（　　）
A．y＝﹣x+8 B．y＝﹣x+8 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+3
11．（2025·东莞模拟）若分式 的值为零，则 　 　.
12．（2025·东莞模拟）小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为　 　．
13．（2025·东莞模拟）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝　 　．
14．（2025·东莞模拟）北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为：　 　．
15．（2025·东莞模拟）如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为　 　．
16．（2025·东莞模拟）计算：．
17．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·东莞模拟）如图，以为内接三角形的半圆O中，为直径，切半圆O于点．
（1）作的平分线，交于点M，交半圆O于点N，交于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
19．（2025·东莞模拟）某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______，请你补全条形统计图；
（2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有______人；
（3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
20．（2025·东莞模拟）嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？
21．（2025·东莞模拟）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果保留根号）．
22．（2025·东莞模拟）如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式．
23．（2025·东莞模拟）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由轴对称的性质可得若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，选项计算不正确，不符合题意：
B.，选项计算不正确，不符合题意：
C.，选项计算正确，符合题意：
D.，选项计算不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，图2中木块的主视图如下：
故选：A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，米，
∴，
∴，
即两梯杆跨度、之间距离为米，
故选：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为：23，23，25，25，25，27，30，处在最中间的数据为25，
∴这组数据的中位数为25；
∵25出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为25；
故答案为：D.
【分析】根据中位数和众数的定义“从小到大排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数”解答即可．
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
四边形内接于，
，
，
，．
，
，
的半径为6，
的长度为．
故选：B．
【分析】连接．根据圆内接四边形的性质可得，，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】当x=0时，y=﹣x+8=8，即B（0，8），
当y=0时，x=6，即A（6，0），
∵∠AOB=90°，
∴AB==10，
由折叠的性质，得：AB=AB'=10，
∴OB'=AB'-OA=10-6=4，
设MO=x，则MB=MB'=8-x，
在Rt△OMB'中，OM2+OB'2=B'M2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y=kx+b，代入A（6，0），M（0，3）得：
，
解得：
∴直线AM的解析式为：y=-x+3，
故答案为：C．
【分析】先根据一次函数与坐标的交点得到点A与B的坐标，再根据勾股定理即可得到AB，再根据折叠的性质得到AB'与OB'的长，BM=B'M，设MO=x，根据勾股定理即可得到OM2+OB'2=B'M2，解方程求出x，进而即可得到M的坐标，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解。
11．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式 的值为零，
检验：把 代入 中，
符合题意，
故答案为：
【分析】由分式的值为0 可得分母≠0且分子=0，据此可得结果.
12．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：设常数项为，由题意得
，
一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即：
解得：，
丢掉的常数项为；
故答案：．
【分析】设常数项为，根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
13．【答案】25°
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠4=∠2=55°，
又∵∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4-∠1=55°-30°=25°．
故答案为：25°．
【分析】根据直线平行性质可得 ∠4=∠2=55°， 再根据三角形外角性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设有x支队伍，根据题意，得，
故答案为：．
【分析】设有x支队伍，根据题意，得即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
菱形，
，
，
菱形的面积是，
，
点A在反比例函数的图象上
，
点在第二象限，
，
故答案为： ．
【分析】连接交于点，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得AC⊥BD，根据三角形的面积公式求得直角三角形ADO的面积，然后根据反比例函数值几何意义并结合反比例函数经过的象限即可求解。
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式性质，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入，进行分母有理化化简即可求出答案.
18．【答案】（1）解：图形如图所示；
（2）证明：如图2，切半圆O于点B，
，
，
为半圆O的直径，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；圆周角定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可求出答案.
（3）根据切线性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据圆周角定理可得，则，再根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，根据等角对等边即可求出答案.
（1）解：图形如图所示；
（2）证明：如图2，切半圆O于点B，
，
，
为半圆O的直径，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
．
19．【答案】（1）50；30；
补全统计图如下：
（2）300人
（3）解：设用A、B、C表示3名女生，用D、E表示2名男生，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果数有12种，
∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
∴本次抽取的学生人数为50人，
∴，
∴，
C组的人数为人，
（2）解：人，
∴估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；
【分析】（1）用D组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出m的值和C组的人数，最后补全统计图即可；
（2）用600乘以样本中C、D两组的人数占比之和即可得到答案；
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．【答案】解：（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，
依题意得： ，
解得： ．
答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡．
（2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，
依题意得：5m+0.8（120﹣m）≥200，
解得：m≥24 ．
又∵m为整数，
∴m的最小值为25．
答：嘉嘉至少要做25个波比跳．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，根据“完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，”列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，根据“只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，”列出不等式，解不等式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：在中，
，
答：长．
（2）解：在中，
，
在中，
，
，
答：物体上升的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据解题即可；
（2）在中，利用三角函数求出，在利用三角函数求得，然后根据即可求解．
（1）解：在中，
答：长．
（2）在中，
在中，
，
答：物体上升的高度为．
22．【答案】（1）解：（1）在中，令得，
令得，
解得或，
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）在中，令x=0得y=2，可得点的坐标，根据抛物线与x轴相交于A、B两点，可令得，解得x=-4或x=2，可得点、的坐标；
（2）先求出直线AC的解析式为，再设，(-4（3）根据题意求解直线的解析式，进而求出线段的中点坐标，将代入，即可求解.
（1）解：在中，令得，
令得，
解得或，
；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为；
23．【答案】（1）；（2）；
（三）解：；理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
在矩形中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
设，则，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，，
设，，
，
，
，
即，
，对称轴为直线，
当时，，
即当时，．
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（一）解：，
，
故答案为：
（二）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：
【分析】（一）根据全等三角形性质即可求出答案.
（二）根据四边形周长可得，根据三角形周长可得，即，即可求出答案.
（三）根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
（四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，根据矩形性质可得，，，根据等边对等角可得，再根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据等腰三角形判定定理可得为等腰三角形，则，设，则，解直角三角形可得，，，，，根据边之间的关系可得GN，再根据正切定义可得，，根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得AM，设，，再根据相似三角形性质可得，代值化简可得，结合二次函数即可求出答案.
1 / 1广东省东莞市2025年中考二模数学试题
1．（2025·东莞模拟）数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形.
2．（2025·东莞模拟）是幻方量化旗下公司深度求索（）研发的推理型.2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近4000万.将4000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
3．（2025·东莞模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由轴对称的性质可得若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．（2025·东莞模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，选项计算不正确，不符合题意：
B.，选项计算不正确，不符合题意：
C.，选项计算正确，符合题意：
D.，选项计算不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·东莞模拟）鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，如图1是一种经典的六柱孔明锁，其中一柱如图2所示，则图2中木块的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，图2中木块的主视图如下：
故选：A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．（2025·东莞模拟）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
7．（2025·东莞模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，米，
∴，
∴，
即两梯杆跨度、之间距离为米，
故选：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
8．（2025·东莞模拟）随着人们对垃圾分类的认识不断增强，垃圾分类的知识不断被普及，我国的垃圾分类的水平也日益提高，一些高科技含量的垃圾箱也应运而生，例如：智能垃圾箱就分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品的积分．长沙市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25，关于这组数据，中位数和众数分别是（　　）
A．23，25 B．25，23 C．23，23 D．25，25
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为：23，23，25，25，25，27，30，处在最中间的数据为25，
∴这组数据的中位数为25；
∵25出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为25；
故答案为：D.
【分析】根据中位数和众数的定义“从小到大排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数”解答即可．
9．（2025·东莞模拟）如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为，，则的长度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
四边形内接于，
，
，
，．
，
，
的半径为6，
的长度为．
故选：B．
【分析】连接．根据圆内接四边形的性质可得，，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求出答案.
10．（2025·东莞模拟）已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则直线AM的函数解析式是（　　）
A．y＝﹣x+8 B．y＝﹣x+8 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+3
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】当x=0时，y=﹣x+8=8，即B（0，8），
当y=0时，x=6，即A（6，0），
∵∠AOB=90°，
∴AB==10，
由折叠的性质，得：AB=AB'=10，
∴OB'=AB'-OA=10-6=4，
设MO=x，则MB=MB'=8-x，
在Rt△OMB'中，OM2+OB'2=B'M2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y=kx+b，代入A（6，0），M（0，3）得：
，
解得：
∴直线AM的解析式为：y=-x+3，
故答案为：C．
【分析】先根据一次函数与坐标的交点得到点A与B的坐标，再根据勾股定理即可得到AB，再根据折叠的性质得到AB'与OB'的长，BM=B'M，设MO=x，根据勾股定理即可得到OM2+OB'2=B'M2，解方程求出x，进而即可得到M的坐标，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解。
11．（2025·东莞模拟）若分式 的值为零，则 　 　.
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式 的值为零，
检验：把 代入 中，
符合题意，
故答案为：
【分析】由分式的值为0 可得分母≠0且分子=0，据此可得结果.
12．（2025·东莞模拟）小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为　 　．
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：设常数项为，由题意得
，
一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即：
解得：，
丢掉的常数项为；
故答案：．
【分析】设常数项为，根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
13．（2025·东莞模拟）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝　 　．
【答案】25°
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠4=∠2=55°，
又∵∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4-∠1=55°-30°=25°．
故答案为：25°．
【分析】根据直线平行性质可得 ∠4=∠2=55°， 再根据三角形外角性质即可求出答案.
14．（2025·东莞模拟）北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为：　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设有x支队伍，根据题意，得，
故答案为：．
【分析】设有x支队伍，根据题意，得即可求出答案.
15．（2025·东莞模拟）如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
菱形，
，
，
菱形的面积是，
，
点A在反比例函数的图象上
，
点在第二象限，
，
故答案为： ．
【分析】连接交于点，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得AC⊥BD，根据三角形的面积公式求得直角三角形ADO的面积，然后根据反比例函数值几何意义并结合反比例函数经过的象限即可求解。
16．（2025·东莞模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式性质，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入，进行分母有理化化简即可求出答案.
18．（2025·东莞模拟）如图，以为内接三角形的半圆O中，为直径，切半圆O于点．
（1）作的平分线，交于点M，交半圆O于点N，交于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）解：图形如图所示；
（2）证明：如图2，切半圆O于点B，
，
，
为半圆O的直径，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；圆周角定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可求出答案.
（3）根据切线性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据圆周角定理可得，则，再根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，根据等角对等边即可求出答案.
（1）解：图形如图所示；
（2）证明：如图2，切半圆O于点B，
，
，
为半圆O的直径，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
．
19．（2025·东莞模拟）某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______，请你补全条形统计图；
（2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有______人；
（3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）50；30；
补全统计图如下：
（2）300人
（3）解：设用A、B、C表示3名女生，用D、E表示2名男生，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果数有12种，
∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
∴本次抽取的学生人数为50人，
∴，
∴，
C组的人数为人，
（2）解：人，
∴估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；
【分析】（1）用D组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出m的值和C组的人数，最后补全统计图即可；
（2）用600乘以样本中C、D两组的人数占比之和即可得到答案；
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．（2025·东莞模拟）嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？
【答案】解：（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，
依题意得： ，
解得： ．
答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡．
（2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，
依题意得：5m+0.8（120﹣m）≥200，
解得：m≥24 ．
又∵m为整数，
∴m的最小值为25．
答：嘉嘉至少要做25个波比跳．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，根据“完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，”列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，根据“只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，”列出不等式，解不等式即可求出答案.
21．（2025·东莞模拟）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）解：在中，
，
答：长．
（2）解：在中，
，
在中，
，
，
答：物体上升的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据解题即可；
（2）在中，利用三角函数求出，在利用三角函数求得，然后根据即可求解．
（1）解：在中，
答：长．
（2）在中，
在中，
，
答：物体上升的高度为．
22．（2025·东莞模拟）如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式．
【答案】（1）解：（1）在中，令得，
令得，
解得或，
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）在中，令x=0得y=2，可得点的坐标，根据抛物线与x轴相交于A、B两点，可令得，解得x=-4或x=2，可得点、的坐标；
（2）先求出直线AC的解析式为，再设，(-4（3）根据题意求解直线的解析式，进而求出线段的中点坐标，将代入，即可求解.
（1）解：在中，令得，
令得，
解得或，
；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为；
23．（2025·东莞模拟）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
【答案】（1）；（2）；
（三）解：；理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
在矩形中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
设，则，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，，
设，，
，
，
，
即，
，对称轴为直线，
当时，，
即当时，．
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（一）解：，
，
故答案为：
（二）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：
【分析】（一）根据全等三角形性质即可求出答案.
（二）根据四边形周长可得，根据三角形周长可得，即，即可求出答案.
（三）根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
（四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，根据矩形性质可得，，，根据等边对等角可得，再根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据等腰三角形判定定理可得为等腰三角形，则，设，则，解直角三角形可得，，，，，根据边之间的关系可得GN，再根据正切定义可得，，根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得AM，设，，再根据相似三角形性质可得，代值化简可得，结合二次函数即可求出答案.
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