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广东省深圳市深汕合作区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·深圳模拟）某班拟开展“弘扬优秀传统文化—走近剪纸”的语文实践活动，下列同学的剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳模拟）2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客万人次，日均到发旅客万人次．用万科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·深圳模拟）下列说法正确的是（　　）
A．经过旋转，对应线段平行且相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
D．若点C是线段的黄金分割点，，则
5．（2025·深圳模拟）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
6．（2025·深圳模拟）盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳模拟）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，已知点C，F，G，H、D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图，在平行四边形中，，点E是上的点且，延长至点F使，连接并延长交于点H交于点，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
9．（2025·深圳模拟）因式分解： 　 　.
10．（2025·深圳模拟）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配．某校九年级三班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：．则这组数据的中位数为　 　．
11．（2025·深圳模拟）如图，是四边形的内切圆，连接、、、．若，则的度数是　 　．
12．（2025·深圳模拟）如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上点D在边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点，则的长为　 　．
13．（2025·深圳模拟）等腰中，，点D为斜边中点，点E为线段上一点，且，将沿着翻折得到和分别交边于G、F，连接，求　 　．
14．（2025·深圳模拟）计算：．
15．（2025·深圳模拟）某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生；
（2）请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是　 　；
（3）在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的概率．
16．（2025·深圳模拟）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
17．（2025·深圳模拟）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
18．（2025·深圳模拟）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）已知，求的值．
19．（2025·深圳模拟）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点之间的距离为20米，两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，为桥面钢丝的固定点，两点相距90米且，已知．
（1）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，为了广告效果，海报底边与桥面平行且距离为20米，海报顶边的两个顶点在钢拱圈上，求海报的面积．
20．（2025·深圳模拟）【问题提出】
已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形的边落在正方形的边上时，当时，_________；
（2）如图（2），当，正方形的边的中点刚好落在点D时，求的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在中，设其中一个锐角度数为，
则，
，
，根据勾股定理：在中：，
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为，请你用含有a，b，m的式子直接表示出的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形和长方形全等，把长方形绕点A顺时针旋转，当所在的直线恰好过的中点O时，当时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
．
故答案为 ：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故不符合题意；
B、，原写法错误，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，正确，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加法，单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定；垂径定理；黄金分割；旋转的性质
【解析】【解答】解：A、经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故原说法错误，不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意；
C、如图：在四边形，对角线，点、、、分别是、、、的中点，
，
则，，，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
故对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，故原说法正确，符合题意；
D、若点C是线段的黄金分割点，且，若，则，故原说法错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据旋转性质，垂径定理，中点四边形， 黄金分割逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使函数有意义，只需，解得且.
故答案为：C.
【分析】根据函数有意义，列出不等式组求解.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设袋装盲公饼的进价为x元，则盒装盲公饼的进价为元，根据“第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍”列出分式方程即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵由反射定律可知：，
∴，
∵均与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据反射角等于入射角可得，再根据正切定义可得，代值计算即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，作于点M，于点N，
，，
，
，，
，，
，，
，
同理，，，
，
，，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
平行四边形中，，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】作于点M，于点N，根据边之间的关系可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，设，，根据边之间的关系可得MN，BM，FN，BF，CF，则，再根据平行四边形性质可得， 再根据相似三角形判定定理可得， 则， 根据直线平行性质可得，， 再根据相似三角形判定定理可得， 则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解.
10．【答案】个
【知识点】中位数
【解析】【解答】 解：把这组数据从小到大排列为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，
则中位数是；
故答案为：10.5个.
【分析】根据将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数即可求解.
11．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质
【解析】【解答】解：设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，
则，，，且，
在与中
∴，
∴，
同理可得：，，，
．
故答案为：
【分析】设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心， 则，，，且， 再根据全等三角形判定定理可得， 则， 同理可得：，，， 再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形，，
∴轴，
∴，
∵正方形，
∴设，
∴，
∴，
∵点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得轴， 则， 设，根据边之间的关系可得OE，则， 再将点B，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得， 根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；面积及等积变换
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系，连接，交于点，设，则，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
作轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴点到的距离即到轴的距离为，
∵点到的距离即到轴的距离为3，
∴；
故答案为：．
【分析】以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系，连接，交于点，设，则，，根据边之间的关系可得，则，根据线段中点可得，作轴，轴，根据边之间的关系可得EH，再根据勾股定理可得DE，再根据折叠性质可得垂直平分，再根据三角形面积可得AO，根据勾股定理可得OE，再根据正弦，余弦定义可得OM，EM，根据边之间的关系即可得CM，则，再根据线段中点可得，则点到的距离即到轴的距离为，再根据三角形面积即可求出答案.
14．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值性质，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）100
（2）解：补全图形如下：
，
（3）解：设九年级一班的两个人分别，，来自九年级二班3人分别，，，
根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种，
故所选两位同学恰好来自同一个班概率为．
故来自同一个班的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意，得（人），
故答案为：100．
（2）
解：根据题意，得喜欢A地的人数为：（人）
补全图形如下：
C地点所占圆心角为：，
故答案为：144．
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得这次调查中一共抽取的学生人数；
（2）根据样本容量等于各小组频数之和可求得A组的频数，则条形图可补充完整；根据圆心角等于所占百分比乘以360°即可求解；
（3）由题意画树状图，由树状图的信息可知：共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种，然后根据概率公式计算可求解.
（1）解：根据题意，得（人），
故答案为：100．
（2）解：根据题意，得喜欢A地的人数为：（人）
补全图形如下：
C地点所占圆心角为：，
故答案为：144．
（3）解：设九年级一班的两个人分别，，来自九年级二班3人分别，，，
根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种，
故所选两位同学恰好来自同一个班概率为．
故来自同一个班的概率为．
16．【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
【分析】（1） 由题意可知，点、关于直线对称， 根据垂直平分线判定定理可得垂直平分， 则，， 在射线上取点，使得，则四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据线段中点可得 ，再根据菱形性质可得，，，，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
17．【答案】（1）解：设A种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为
由题意得： 解得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元
（2）解：①根据题意得： 解得：
购进A种饰品件数的取值范围为：
②设采购A种饰品件时的总利润为元.
当时， 即
，随的增大而减小. 当时，有最大值3480.
当时，
整理得： 3>0，随的增大而增大.
当时，有最大值3630.
，w的最大值为3630，此时.
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a-1)元， 1400元采购A种的件数为，630元采购B种件数为，然后根据1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍建立方程，求解即可；
（2）①由题意可得：采购B种(600-x)件，根据采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍可得关于x的不等式组，联立即可求出x的范围；
②设采购A种饰品x件时的总利润为W元，当120≤x≤150时，根据售价×总件数-A的进价×件数-B的进价×件数=总利润可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；当15018．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据题意等量代换得到，进而根据平行线的判定与性质得到，进而即可求解；
（2）根据圆周角定理得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而即可求解；
（3）过P作于点E，证，根据相似三角形的判定与性质证明得到，则，进而结合题意即可得到，再根据角平分线的性质结合三角形面积即可求解。
（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，
则
∵米，米，
∴米，米，
∴，
过点A作于点，
∴米，
∵，
∴米，
∴（米），
∴，
设抛物线的解析式为，则有：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；

（2）解：设正方形海报的边长为米，则海报与抛物线的交点坐标为，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
所以，正方形海报的面积为平方米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）由题意，先建立适当的平面直角坐标系，过点A作于点，根据锐角三角函数tan∠ACD=求出CE的值，由线段的和差OE=CO-CE求出OE的值，于是可得点A的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）设正方形海报的边长为米，可得海报与抛物线的交点坐标为，代入抛物线解析式得一元二次方程，解方程求出的值，然后根据正方形的面积公式可求解．
（1）解：如图，建立平面直角坐标系，
则
∵米，米，
∴米，米，
∴，
过点A作于点，
∴米，
∵，
∴米，
∴（米），
∴，
设抛物线的解析式为，则有：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设正方形海报的边长为米，则海报与抛物线的交点坐标为，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
所以，正方形海报的面积为平方米
20．【答案】（1）13；
（2）解：如图，过点作于点，交于点，
在正方形中，，
，
在正方形中，，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，，
在中，，
；
（3）；
（4）
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在正方形和正方形中，，
，
故答案为：13；
（3）过点作于点，交于点，则，
在正方形中，，
在正方形中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
（4）过点作于，
四边形和四边形是全等的矩形，，
，
，
，
，
在中，，
，
过点作，交的延长每于点，则，
在中，，，
，
在中，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2） 过点作于点，交于点，根据正方形性质可得， 再根据平行四边形判定定理可得 四边形是平行四边形， 则， ，再根据线段中点可得， 再根据勾股定理可得，根据相似三角形判定定理可得， 则， 代值计算可得AI，IB，再根据勾股定理可得IH，根据边之间的关系可得GI，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点作于点，交于点，则，则 ，根据正方形性质可得，，， 根据正弦，余弦定义可得GK，FK，KI，AI，再根据边之间的关系可得GI，IB，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）过点作于，根据全等四边形可得， ，再根据全等三角形判定定理可得， 则， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得， 再根据边之间的关系可得∠GAB， 过点作，交的延长每于点，则， 解直角三角形可得GN，AN，再根据边之间的关系可得BN，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市深汕合作区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·深圳模拟）某班拟开展“弘扬优秀传统文化—走近剪纸”的语文实践活动，下列同学的剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
2．（2025·深圳模拟）2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客万人次，日均到发旅客万人次．用万科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
．
故答案为 ：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1.
3．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故不符合题意；
B、，原写法错误，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，正确，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加法，单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·深圳模拟）下列说法正确的是（　　）
A．经过旋转，对应线段平行且相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
D．若点C是线段的黄金分割点，，则
【答案】C
【知识点】菱形的判定；垂径定理；黄金分割；旋转的性质
【解析】【解答】解：A、经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故原说法错误，不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意；
C、如图：在四边形，对角线，点、、、分别是、、、的中点，
，
则，，，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
故对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，故原说法正确，符合题意；
D、若点C是线段的黄金分割点，且，若，则，故原说法错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据旋转性质，垂径定理，中点四边形， 黄金分割逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·深圳模拟）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使函数有意义，只需，解得且.
故答案为：C.
【分析】根据函数有意义，列出不等式组求解.
6．（2025·深圳模拟）盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设袋装盲公饼的进价为x元，则盒装盲公饼的进价为元，根据“第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍”列出分式方程即可求出答案.
7．（2025·深圳模拟）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，已知点C，F，G，H、D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵由反射定律可知：，
∴，
∵均与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据反射角等于入射角可得，再根据正切定义可得，代值计算即可求出答案.
8．（2025·深圳模拟）如图，在平行四边形中，，点E是上的点且，延长至点F使，连接并延长交于点H交于点，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，作于点M，于点N，
，，
，
，，
，，
，，
，
同理，，，
，
，，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
平行四边形中，，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】作于点M，于点N，根据边之间的关系可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，设，，根据边之间的关系可得MN，BM，FN，BF，CF，则，再根据平行四边形性质可得， 再根据相似三角形判定定理可得， 则， 根据直线平行性质可得，， 再根据相似三角形判定定理可得， 则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025·深圳模拟）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解.
10．（2025·深圳模拟）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配．某校九年级三班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：．则这组数据的中位数为　 　．
【答案】个
【知识点】中位数
【解析】【解答】 解：把这组数据从小到大排列为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，
则中位数是；
故答案为：10.5个.
【分析】根据将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数即可求解.
11．（2025·深圳模拟）如图，是四边形的内切圆，连接、、、．若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质
【解析】【解答】解：设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，
则，，，且，
在与中
∴，
∴，
同理可得：，，，
．
故答案为：
【分析】设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心， 则，，，且， 再根据全等三角形判定定理可得， 则， 同理可得：，，， 再根据角之间的关系即可求出答案.
12．（2025·深圳模拟）如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上点D在边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形，，
∴轴，
∴，
∵正方形，
∴设，
∴，
∴，
∵点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得轴， 则， 设，根据边之间的关系可得OE，则， 再将点B，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得， 根据勾股定理即可求出答案.
13．（2025·深圳模拟）等腰中，，点D为斜边中点，点E为线段上一点，且，将沿着翻折得到和分别交边于G、F，连接，求　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；面积及等积变换
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系，连接，交于点，设，则，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
作轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴点到的距离即到轴的距离为，
∵点到的距离即到轴的距离为3，
∴；
故答案为：．
【分析】以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系，连接，交于点，设，则，，根据边之间的关系可得，则，根据线段中点可得，作轴，轴，根据边之间的关系可得EH，再根据勾股定理可得DE，再根据折叠性质可得垂直平分，再根据三角形面积可得AO，根据勾股定理可得OE，再根据正弦，余弦定义可得OM，EM，根据边之间的关系即可得CM，则，再根据线段中点可得，则点到的距离即到轴的距离为，再根据三角形面积即可求出答案.
14．（2025·深圳模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值性质，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·深圳模拟）某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生；
（2）请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是　 　；
（3）在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的概率．
【答案】（1）100
（2）解：补全图形如下：
，
（3）解：设九年级一班的两个人分别，，来自九年级二班3人分别，，，
根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种，
故所选两位同学恰好来自同一个班概率为．
故来自同一个班的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意，得（人），
故答案为：100．
（2）
解：根据题意，得喜欢A地的人数为：（人）
补全图形如下：
C地点所占圆心角为：，
故答案为：144．
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得这次调查中一共抽取的学生人数；
（2）根据样本容量等于各小组频数之和可求得A组的频数，则条形图可补充完整；根据圆心角等于所占百分比乘以360°即可求解；
（3）由题意画树状图，由树状图的信息可知：共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种，然后根据概率公式计算可求解.
（1）解：根据题意，得（人），
故答案为：100．
（2）解：根据题意，得喜欢A地的人数为：（人）
补全图形如下：
C地点所占圆心角为：，
故答案为：144．
（3）解：设九年级一班的两个人分别，，来自九年级二班3人分别，，，
根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种，
故所选两位同学恰好来自同一个班概率为．
故来自同一个班的概率为．
16．（2025·深圳模拟）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
【分析】（1） 由题意可知，点、关于直线对称， 根据垂直平分线判定定理可得垂直平分， 则，， 在射线上取点，使得，则四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据线段中点可得 ，再根据菱形性质可得，，，，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
17．（2025·深圳模拟）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设A种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为
由题意得： 解得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元
（2）解：①根据题意得： 解得：
购进A种饰品件数的取值范围为：
②设采购A种饰品件时的总利润为元.
当时， 即
，随的增大而减小. 当时，有最大值3480.
当时，
整理得： 3>0，随的增大而增大.
当时，有最大值3630.
，w的最大值为3630，此时.
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a-1)元， 1400元采购A种的件数为，630元采购B种件数为，然后根据1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍建立方程，求解即可；
（2）①由题意可得：采购B种(600-x)件，根据采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍可得关于x的不等式组，联立即可求出x的范围；
②设采购A种饰品x件时的总利润为W元，当120≤x≤150时，根据售价×总件数-A的进价×件数-B的进价×件数=总利润可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；当15018．（2025·深圳模拟）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据题意等量代换得到，进而根据平行线的判定与性质得到，进而即可求解；
（2）根据圆周角定理得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而即可求解；
（3）过P作于点E，证，根据相似三角形的判定与性质证明得到，则，进而结合题意即可得到，再根据角平分线的性质结合三角形面积即可求解。
（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
19．（2025·深圳模拟）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点之间的距离为20米，两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，为桥面钢丝的固定点，两点相距90米且，已知．
（1）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，为了广告效果，海报底边与桥面平行且距离为20米，海报顶边的两个顶点在钢拱圈上，求海报的面积．
【答案】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，
则
∵米，米，
∴米，米，
∴，
过点A作于点，
∴米，
∵，
∴米，
∴（米），
∴，
设抛物线的解析式为，则有：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；

（2）解：设正方形海报的边长为米，则海报与抛物线的交点坐标为，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
所以，正方形海报的面积为平方米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）由题意，先建立适当的平面直角坐标系，过点A作于点，根据锐角三角函数tan∠ACD=求出CE的值，由线段的和差OE=CO-CE求出OE的值，于是可得点A的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）设正方形海报的边长为米，可得海报与抛物线的交点坐标为，代入抛物线解析式得一元二次方程，解方程求出的值，然后根据正方形的面积公式可求解．
（1）解：如图，建立平面直角坐标系，
则
∵米，米，
∴米，米，
∴，
过点A作于点，
∴米，
∵，
∴米，
∴（米），
∴，
设抛物线的解析式为，则有：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设正方形海报的边长为米，则海报与抛物线的交点坐标为，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
所以，正方形海报的面积为平方米
20．（2025·深圳模拟）【问题提出】
已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形的边落在正方形的边上时，当时，_________；
（2）如图（2），当，正方形的边的中点刚好落在点D时，求的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在中，设其中一个锐角度数为，
则，
，
，根据勾股定理：在中：，
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为，请你用含有a，b，m的式子直接表示出的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形和长方形全等，把长方形绕点A顺时针旋转，当所在的直线恰好过的中点O时，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）13；
（2）解：如图，过点作于点，交于点，
在正方形中，，
，
在正方形中，，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，，
在中，，
；
（3）；
（4）
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在正方形和正方形中，，
，
故答案为：13；
（3）过点作于点，交于点，则，
在正方形中，，
在正方形中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
（4）过点作于，
四边形和四边形是全等的矩形，，
，
，
，
，
在中，，
，
过点作，交的延长每于点，则，
在中，，，
，
在中，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2） 过点作于点，交于点，根据正方形性质可得， 再根据平行四边形判定定理可得 四边形是平行四边形， 则， ，再根据线段中点可得， 再根据勾股定理可得，根据相似三角形判定定理可得， 则， 代值计算可得AI，IB，再根据勾股定理可得IH，根据边之间的关系可得GI，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点作于点，交于点，则，则 ，根据正方形性质可得，，， 根据正弦，余弦定义可得GK，FK，KI，AI，再根据边之间的关系可得GI，IB，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）过点作于，根据全等四边形可得， ，再根据全等三角形判定定理可得， 则， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得， 再根据边之间的关系可得∠GAB， 过点作，交的延长每于点，则， 解直角三角形可得GN，AN，再根据边之间的关系可得BN，再根据勾股定理即可求出答案.
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