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广东省大湾区万阅联盟2025年中考模拟二数学试卷
1．（2025·广东模拟）2025的相反数为（　　）
A． B． C． D．2025
2．（2025·广东模拟）AI是人工智能的英文缩写，下列4个AI品牌的图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广东模拟）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·广东模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广东模拟）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　）
A．1 B．2 C．6 D．9
6．（2025·广东模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·广东模拟）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·广东模拟）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025·广东模拟）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
10．（2025·广东模拟）已知关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，则 化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·广东模拟）　 　
12．（2025·广东模拟）计算：　 　．
13．（2025·广东模拟）进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为　 　．
14．（2025·广东模拟）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的　 　倍．
15．（2025·广东模拟）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为　 　．
16．（2025·广东模拟）解方程：．
17．（2025·广东模拟）某中学通过增加的大课间体育活动时段，确保学生每天综合体育活动时间不低于．在该时间段内每名学生可以从A（篮球）、B（足球）、C（跑步）、D（实心球）和E（跳绳）五个运动项目中任选一个参加．为了解学生选择运动项目的情况，该学校随机抽取了部分学生进行调查，整理数据后得到如下所示的表格，并绘制了如图所示的统计图．请你结合信息，回答下列问题：
学生选择运动项目的情况统计表
运动项目 人数
A 6
B m
C 10
D 4
E 18
学生选择运动项目的情况统计图
（1）求 m的值；
（2）若全校有2500名学生，估计有多少名学生选择篮球．
18．（2025·广东模拟）如图，点C在以为直径的上．
（1）实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：
19．（2025·广东模拟）【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张矩形纸板．
操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．
计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
20．（2025·广东模拟）【实验与探究】
在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格：
托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40
托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15
（1）小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式；
（2）当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离；
（3）已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量．
21．（2025·广东模拟）【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
22．（2025·广东模拟）在数学活动课上，同学们探究利用正方形纸折出特殊角及利用特殊点折出对称图形，并进一步探究几何图形中线段的长度问题．如图1，在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点 B的对应点为点 E．
（1）【初步感知】当点E在的垂直平分线上时，求的度数；
（2）【探究应用】如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接．若，求的值．
23．（2025·广东模拟）如图，抛物线 经过点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标；
（3）在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数为；
故选：C.
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图标不是中心对称图形；
B、选项中的图标不是中心对称图形；
C、选项中的图标不是中心对称图形；
D、选项中的图标是中心对称图形；
故选：D.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故此选项运算错误，不符合题意；
C、，故此选项运算正确，符合题意；
D、，故此选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同底数幂相乘、合并同类项法则、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，由题意得：
，
解得：．
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意；
B、，原式因式分解错误，不符合题意；
C、，原式因式分解错误，不符合题意；
D、，原式因式分解正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】概率公式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵只有当时，正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴三个数字中只有数字3能使得正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是，
故选：B．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，结合概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵E为的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
故选；B．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】切线长定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
又∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
同理，∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
．
∴．
又∵，
∴．
∵的周长为，即，
∴，可得，
解得．
故选：C
【分析】根据切线长定理可得，，，根据三角形周长可得=10，即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴
∴
解得，
∴
∴，
故选：A
【分析】根据二次函数图象与x轴有两个交点，则对应方程判别式，解不等式可得，再代入代数式，结合二次根式的性质化简即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
12．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：1．
【分析】根据分式的减法就可求出答案.
13．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：．
【分析】根据在数轴上表示不等式组的解集即可求出答案.
14．【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l，底面圆半径为r，
由题意得，该圆锥的侧面积为，，
∴，
∴底面积为，
∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍，
故答案为：3．
【分析】设母线长为l，底面圆半径为r，求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出l与r的关系，再求出底面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，根据矩形性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得QG，再根据勾股定理可得QC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：名，
∴这次一共调查了50名学生，
∴；
（2）解：人，
答：估计有300名学生选择篮球．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）用A的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出m的值；
（2）用2500乘以样本中选择篮球的人数占比即可得到答案．
（1）解：名，
∴这次一共调查了50名学生，
∴；
（2）解：人，
答：估计有300名学生选择篮球．
18．【答案】（1）解：的平分线交于点D，如图所示：
（2）解：依题意，连接，
∵点C在以为直径的上，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
即．
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角平分线定义可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
（1）解：的平分线交于点D，如图所示：
（2）解：依题意，连接，
∵点C在以为直径的上，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
即．
19．【答案】解：∵矩形纸板的周长为，
∴．
又∵与的长度比为，设，，
∴，即，
解得．
∴，．
设折成的长方体底面正方形的边长为．
观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高．
即（为长方体的高）
∴，即，
解得．
把代入，可得，
解得．
∴长方体的长、宽均为、高为．
∴．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形周长可得，设，，根据题意建立方程，解方程可得，则，，设折成的长方体底面正方形的边长为，观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高，建立方程组，解方程可得y，h，再根据矩形体积即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表格中的数据可知，当时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；

（2）解：在中，当时，，
∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴在第一象限内，y随x增大而增大，
∴当时，，
∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为．
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将，，代入解析式即可求出答案.
（2）将y=10代入解析式即可求出答案.
（3）将x=120代入解析式可得y=5，再根据反比例函数的性质即可求出答案.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表格中的数据可知，当时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴在第一象限内，y随x增大而增大，
∴当时，，
∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为．
21．【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
22．【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，再根据折叠性质可得由折叠的性质可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点M作于N，连接，根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据等边对等角可得，，再根据三角形中位线定理可得，根据等边对等角可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，化简可得，根据题意建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
23．【答案】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，设，
∵以为直径的圆与直线的一个交点为C，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
；
如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
；
综上所述，的值为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；坐标系中的两点距离公式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）连接，设，根据圆周角定理可得，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R，根据两点间距离可得AB，则，根据角之间的关系可得∠CBD，则，解直角三角形可得DR，ER，再根据边之间的关系可得CR，再根据勾股定理即可求出答案；当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T，根据角之间的关系可得∠CBD，根据补角可得∠DET，解直角三角形可得，，再根据边之间的关系可得CT，再根据勾股定理即可求出答案
（1）解：把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，设，
∵以为直径的圆与直线的一个交点为C，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
；
如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
；
综上所述，的值为或．
1 / 1广东省大湾区万阅联盟2025年中考模拟二数学试卷
1．（2025·广东模拟）2025的相反数为（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数为；
故选：C.
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025·广东模拟）AI是人工智能的英文缩写，下列4个AI品牌的图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图标不是中心对称图形；
B、选项中的图标不是中心对称图形；
C、选项中的图标不是中心对称图形；
D、选项中的图标是中心对称图形；
故选：D.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．（2025·广东模拟）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
4．（2025·广东模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故此选项运算错误，不符合题意；
C、，故此选项运算正确，符合题意；
D、，故此选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同底数幂相乘、合并同类项法则、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·广东模拟）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　）
A．1 B．2 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，由题意得：
，
解得：．
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
6．（2025·广东模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意；
B、，原式因式分解错误，不符合题意；
C、，原式因式分解错误，不符合题意；
D、，原式因式分解正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·广东模拟）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵只有当时，正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴三个数字中只有数字3能使得正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是，
故选：B．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，结合概率公式即可求出答案.
8．（2025·广东模拟）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵E为的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
故选；B．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积即可求出答案.
9．（2025·广东模拟）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】切线长定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
又∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
同理，∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
．
∴．
又∵，
∴．
∵的周长为，即，
∴，可得，
解得．
故选：C
【分析】根据切线长定理可得，，，根据三角形周长可得=10，即可求出答案.
10．（2025·广东模拟）已知关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，则 化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴
∴
解得，
∴
∴，
故选：A
【分析】根据二次函数图象与x轴有两个交点，则对应方程判别式，解不等式可得，再代入代数式，结合二次根式的性质化简即可求出答案.
11．（2025·广东模拟）　 　
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
12．（2025·广东模拟）计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：1．
【分析】根据分式的减法就可求出答案.
13．（2025·广东模拟）进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为　 　．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：．
【分析】根据在数轴上表示不等式组的解集即可求出答案.
14．（2025·广东模拟）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的　 　倍．
【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l，底面圆半径为r，
由题意得，该圆锥的侧面积为，，
∴，
∴底面积为，
∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍，
故答案为：3．
【分析】设母线长为l，底面圆半径为r，求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出l与r的关系，再求出底面积即可求出答案.
15．（2025·广东模拟）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，根据矩形性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得QG，再根据勾股定理可得QC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2025·广东模拟）解方程：．
【答案】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求出答案.
17．（2025·广东模拟）某中学通过增加的大课间体育活动时段，确保学生每天综合体育活动时间不低于．在该时间段内每名学生可以从A（篮球）、B（足球）、C（跑步）、D（实心球）和E（跳绳）五个运动项目中任选一个参加．为了解学生选择运动项目的情况，该学校随机抽取了部分学生进行调查，整理数据后得到如下所示的表格，并绘制了如图所示的统计图．请你结合信息，回答下列问题：
学生选择运动项目的情况统计表
运动项目 人数
A 6
B m
C 10
D 4
E 18
学生选择运动项目的情况统计图
（1）求 m的值；
（2）若全校有2500名学生，估计有多少名学生选择篮球．
【答案】（1）解：名，
∴这次一共调查了50名学生，
∴；
（2）解：人，
答：估计有300名学生选择篮球．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）用A的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出m的值；
（2）用2500乘以样本中选择篮球的人数占比即可得到答案．
（1）解：名，
∴这次一共调查了50名学生，
∴；
（2）解：人，
答：估计有300名学生选择篮球．
18．（2025·广东模拟）如图，点C在以为直径的上．
（1）实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：
【答案】（1）解：的平分线交于点D，如图所示：
（2）解：依题意，连接，
∵点C在以为直径的上，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
即．
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角平分线定义可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
（1）解：的平分线交于点D，如图所示：
（2）解：依题意，连接，
∵点C在以为直径的上，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
即．
19．（2025·广东模拟）【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张矩形纸板．
操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．
计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
【答案】解：∵矩形纸板的周长为，
∴．
又∵与的长度比为，设，，
∴，即，
解得．
∴，．
设折成的长方体底面正方形的边长为．
观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高．
即（为长方体的高）
∴，即，
解得．
把代入，可得，
解得．
∴长方体的长、宽均为、高为．
∴．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形周长可得，设，，根据题意建立方程，解方程可得，则，，设折成的长方体底面正方形的边长为，观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高，建立方程组，解方程可得y，h，再根据矩形体积即可求出答案.
20．（2025·广东模拟）【实验与探究】
在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格：
托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40
托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15
（1）小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式；
（2）当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离；
（3）已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表格中的数据可知，当时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；

（2）解：在中，当时，，
∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴在第一象限内，y随x增大而增大，
∴当时，，
∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为．
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将，，代入解析式即可求出答案.
（2）将y=10代入解析式即可求出答案.
（3）将x=120代入解析式可得y=5，再根据反比例函数的性质即可求出答案.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表格中的数据可知，当时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴在第一象限内，y随x增大而增大，
∴当时，，
∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为．
21．（2025·广东模拟）【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
22．（2025·广东模拟）在数学活动课上，同学们探究利用正方形纸折出特殊角及利用特殊点折出对称图形，并进一步探究几何图形中线段的长度问题．如图1，在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点 B的对应点为点 E．
（1）【初步感知】当点E在的垂直平分线上时，求的度数；
（2）【探究应用】如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接．若，求的值．
【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，再根据折叠性质可得由折叠的性质可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点M作于N，连接，根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据等边对等角可得，，再根据三角形中位线定理可得，根据等边对等角可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，化简可得，根据题意建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
23．（2025·广东模拟）如图，抛物线 经过点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标；
（3）在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值．
【答案】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，设，
∵以为直径的圆与直线的一个交点为C，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
；
如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
；
综上所述，的值为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；坐标系中的两点距离公式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）连接，设，根据圆周角定理可得，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R，根据两点间距离可得AB，则，根据角之间的关系可得∠CBD，则，解直角三角形可得DR，ER，再根据边之间的关系可得CR，再根据勾股定理即可求出答案；当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T，根据角之间的关系可得∠CBD，根据补角可得∠DET，解直角三角形可得，，再根据边之间的关系可得CT，再根据勾股定理即可求出答案
（1）解：把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，设，
∵以为直径的圆与直线的一个交点为C，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
；
如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
；
综上所述，的值为或．
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