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广东省广州市天河区清华附中湾区学校2025年中考数学二模试卷
1．（2025·天河模拟）某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·天河模拟）最近，人工智能领域的一项重大进展是DeepSeek V3模型的推出．假设为了训练DeepSeek V3，研究团队需要处理一个包含1230000000个数据样本的数据集．用于训练DeepSeek V3的数据样本数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·天河模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·天河模拟）如果 ，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·天河模拟）如图，是中国秦初至清末部分朝代历经的时间．下列说法正确的是（　　）
A．明朝时间最长
B．隋朝时间最短
C．有4个朝代超过250年
D．若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长
6．（2025·天河模拟）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·天河模拟）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
8．（2025·天河模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
9．（2025·天河模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A．50m B．40m C．30m D．25m
10．（2025·天河模拟）小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·天河模拟）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2＝　 　．
12．（2025·天河模拟）已知热气球向空中上升时每升高，气温下降3℃，若现在气球的高度为1500米，且地面温度为5℃，则此时气球所在高度的气温为　 　℃．
13．（2025·天河模拟）如图，平行四边形的对角线相交于点，若，则这个平行四边形的面积为　 　．
14．（2025·天河模拟）若a为方程的解，则的值为　 　．
15．（2025·天河模拟）对于三个实数a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数.例如：max{ 1，2，6}=6，max{0，4，4}=4，若max{ x 1，2，2x 2}=2，则x的取值范围是　 　.
16．（2025·天河模拟）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上．反比例函数的图象过矩形的对称中心，交于点．现给出以下结论：
①；
②的面积为；
③点，可能关于直线对称；
④若平分，则
其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
17．（2025·天河模拟）解方程．
18．（2025·天河模拟）如图，在中，，求的长度．
19．（2025·天河模拟）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程．
求作：菱形．
作法：①作线段；②作线段的垂直平分线，交于点；③在直线上取点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点（点与点不重合）；④连接、、、．所以四边形为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下列任务：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）证明：四边形为菱形．
20．（2025·天河模拟）已知关于的一元二次方程有两个相等的实根，
（1）求的值．
（2）求代数式的值．
21．（2025·天河模拟）2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）①此次共调查了________人；
②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________．
③请将条形统计图（图1）补充完整．
（2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率．
22．（2025·天河模拟）几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 篮球架的结构
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上．
测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）
（1）求立柱的高度；
（2）已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？
23．（2025·天河模拟）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连，
（1）证明：；
（2）若，求的值．
24．（2025·天河模拟）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
25．（2025·天河模拟）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且．
（1）如图1，当点、、三点共线时，求证：
（2）如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：；
（3）如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：把数据1230000000用科学记数法表示为；
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x2不能合并，故A不符合题意；
B、x3·x2=x5，故B不符合题意；
C、（x3）2=x6，故C不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
5．【答案】D
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：由统计图可知
A、唐朝时间最长，故A不符合题意；
B、秦朝时间最短，故B不符合题意；
C、有3个朝代超过250年，故C不符合题意；
D、若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长，故D符合题意，
故选：D．
【分析】根据统计图所给信息逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故选：C．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
故答案选：C．
【分析】延长AP交BC于E，根据角平分线定义可得∠ABP＝∠EBP，根据全等三角形判定定理可得△ABP≌△EBP（ASA），则AP＝PE，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故选：A．
【分析】当二次函数图象在反比例函数图象上方时，有ax2+bx+c＞，结合函数图象即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，
则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB＝×150＝75（m），
∴OC＝＝＝100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），
即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，根据垂径定理可得AC＝BC＝AB＝75m，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径是，
依题意，，
解得，
如图：过点分别作
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∴正方形的对角线的长
则正方形的边长是，
故选：B
【分析】设圆锥的底面圆的半径是，由题意建立方程，解方程可得，过点分别作根据正方形判定定理可得四边形是正方形，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】60°
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠3+∠4=180°，∠1=30°，∠3=90°，
∴∠4=60°．
∵a∥b，
∴∠2=∠4=60°．
故答案为：60°．
【分析】根据补角可得∠4=60°，再根据直线平行性质即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，此时气球所在高度的气温为：
，
故答案为：．
【分析】根据题意列式计算即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
，
又，
是等边三角形，
，
如图，过点向作垂线，交于点，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，过点向作垂线，交于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得AE，再根据平行四边形面积即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a为方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】将a代入方程可得，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：∵max{-x-1，2，2x-2}=2，
∴，
解得-3≤x≤2，
故答案为：-3≤x≤2.
【分析】根据新定义的运算法则建立不等式组，再解不等式，求出x的范围即可.
16．【答案】①④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接，设，
点是矩形的对称中心，
点在对角线的中点上，
，，，
点在反比例函数上，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
即，
，，
，结论①正确；
，
，
，
，
又，
，结论②错误；
连接交于点，
，，设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理直线的解析式为，
点是直线和直线的交点，
，
解得，
此时，
，
若点，关于直线对称，则点是中点，矛盾，
结论③错误；
作轴交于点，轴于点，
，
四边形是矩形，
，
，
又矩形中，，
，
点是中点，
∴
点是中点，即，
平分，
，
，
，
，
中，，
又，
，即，
结论④正确．
综上，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
【分析】连接，设，根据线段中点性质及坐标轴上点的坐标特征可得，，，将点M代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，将y=2a代入解析式可得，根据两点间距离可得，，根据边之间的关系可判断①；根据三角形面积可判断②；连接交于点，设直线的解析式为，将点M坐标代入解析式可得直线的解析式为，同理直线的解析式为，联立两直线解析式可得，根据线段中点可判断③；作轴交于点，轴于点，根据矩形性质可得四边形是矩形，则，根据直线平行性质可得，再根据平行线成比例定理可得，则点是中点，即，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据角之间的关系可判断④
17．【答案】解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求作的四边形；
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题干作图步骤逐步作图即可；
（2）根据垂直平分线性质可得，，再根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）解：如图，四边形即为所求作的四边形；
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．【答案】（1）解：∵方程两个相等的实根，
∴，
∴．
（2）解：
，
∵当时，原式，
当时，原式．
综上可知，代数式的值为．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，得到，解方程即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a值代入即可求出答案.
（1）解：∵方程两个相等的实根，
∴，
∴．
（2）
，
∵当时，原式，
当时，原式．
综上可知，代数式的值为．
21．【答案】（1）①50，②28.8，
③解：根据题意，得C类的人数为：（人），
补全图形如下：
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：①根据题意，得（人），
故答案为：50．
②D类所占圆心角为：，
故答案为：28.8．
【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可求出答案.
②根据360°乘以D类占比即可求出答案.
③求出C类人数，再补全统计图即可.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽取到的两张卡片内容不一致的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：①根据题意，得（人），
故答案为：50．
D类所占圆心角为：，
故答案为：28.8．
②解：根据题意，得C类的人数为：（人），
补全图形如下：
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致概率为
22．【答案】（1）解：由题意可得，
∵，的长为，
∴，
∴；

（2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，
∵是水平线，立柱垂直地面，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵平行地面，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵手掌距地面最大高度为，
∴
∴墩墩至少跳才能摸到篮筐．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据正弦定义可得EQ，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由题意可得，
∵，的长为，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，
∵是水平线，立柱垂直地面，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵平行地面，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵手掌距地面最大高度为，
∴
∴墩墩至少跳才能摸到篮筐．
23．【答案】（1）解：连接交于点Q．
分别与相切，
∴，，
则垂直平分，即，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴．
设，
则，，
∴．
设，
则，，
∴，
∴，
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；切线长定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接交于点Q，根据切线长定理可得，，则垂直平分，即，根据圆周角定理可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形中位线定理可得，设，则，，根据边之间的关系可得，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：连接交于点Q．
分别与相切，
∴，，
则垂直平分，即，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴．
设，
则，，
∴．
设，
则，，
∴，
∴，
∴
∴．
24．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，即．
当，，
∴，
一次函数过点和，
代入，得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：依题意，可设，则，
过点作于点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，轴，
∴的纵坐标为2，
∴，
即有，
解得：（舍去）或，
∴．
（3）解：∵面积为，面积为，
∴，
如图，过作轴交于，而直线轴，
∴轴，则，
∴，
∴，
∵，直线为，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点，
∴，
而，则有最大值，
当时，的最大值为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式为，即，根据y轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）设，则，过点作于点，根据等腰三角形性质可得，轴，则的纵坐标为2，再将y=2代入解析式即可求出答案.
（3）根据三角形面积可得，过作轴交于，而直线轴，则轴，则，根据相似三角形判定定理可得，则，将x=-1代入解析式可得，根据两点间距离可得，PE，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，即．
当，，
∴，
一次函数过点和，
代入，得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：依题意，可设，则，
过点作于点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，轴，
∴的纵坐标为2，
∴，
即有，
解得：（舍去）或，
∴．
（3）解：∵面积为，面积为，
∴，
如图，过作轴交于，而直线轴，
∴轴，则，
∴，
∴，
∵，直线为，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点，
∴，
而，则有最大值，
当时，的最大值为：．
25．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长至，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：取的中点，连接，
由（）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
当点在上方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
当点在下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
综上，或．
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长至，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等边对等角可得，则，根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
（3）取的中点，连接，由（）知，则，根据等边对等角可得，设，分情况讨论：当点在上方时，当点在下方时，根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长至，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：取的中点，连接，
由（）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
当点在上方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
当点在下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
综上，或．
1 / 1广东省广州市天河区清华附中湾区学校2025年中考数学二模试卷
1．（2025·天河模拟）某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．（2025·天河模拟）最近，人工智能领域的一项重大进展是DeepSeek V3模型的推出．假设为了训练DeepSeek V3，研究团队需要处理一个包含1230000000个数据样本的数据集．用于训练DeepSeek V3的数据样本数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：把数据1230000000用科学记数法表示为；
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数.
3．（2025·天河模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x2不能合并，故A不符合题意；
B、x3·x2=x5，故B不符合题意；
C、（x3）2=x6，故C不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
4．（2025·天河模拟）如果 ，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
5．（2025·天河模拟）如图，是中国秦初至清末部分朝代历经的时间．下列说法正确的是（　　）
A．明朝时间最长
B．隋朝时间最短
C．有4个朝代超过250年
D．若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长
【答案】D
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：由统计图可知
A、唐朝时间最长，故A不符合题意；
B、秦朝时间最短，故B不符合题意；
C、有3个朝代超过250年，故C不符合题意；
D、若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长，故D符合题意，
故选：D．
【分析】根据统计图所给信息逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·天河模拟）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故选：C．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
7．（2025·天河模拟）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
故答案选：C．
【分析】延长AP交BC于E，根据角平分线定义可得∠ABP＝∠EBP，根据全等三角形判定定理可得△ABP≌△EBP（ASA），则AP＝PE，再根据三角形面积即可求出答案.
8．（2025·天河模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故选：A．
【分析】当二次函数图象在反比例函数图象上方时，有ax2+bx+c＞，结合函数图象即可求出答案.
9．（2025·天河模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A．50m B．40m C．30m D．25m
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，
则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB＝×150＝75（m），
∴OC＝＝＝100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），
即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，根据垂径定理可得AC＝BC＝AB＝75m，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2025·天河模拟）小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径是，
依题意，，
解得，
如图：过点分别作
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∴正方形的对角线的长
则正方形的边长是，
故选：B
【分析】设圆锥的底面圆的半径是，由题意建立方程，解方程可得，过点分别作根据正方形判定定理可得四边形是正方形，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2025·天河模拟）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2＝　 　．
【答案】60°
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠3+∠4=180°，∠1=30°，∠3=90°，
∴∠4=60°．
∵a∥b，
∴∠2=∠4=60°．
故答案为：60°．
【分析】根据补角可得∠4=60°，再根据直线平行性质即可求出答案.
12．（2025·天河模拟）已知热气球向空中上升时每升高，气温下降3℃，若现在气球的高度为1500米，且地面温度为5℃，则此时气球所在高度的气温为　 　℃．
【答案】
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，此时气球所在高度的气温为：
，
故答案为：．
【分析】根据题意列式计算即可求出答案.
13．（2025·天河模拟）如图，平行四边形的对角线相交于点，若，则这个平行四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
，
又，
是等边三角形，
，
如图，过点向作垂线，交于点，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，过点向作垂线，交于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得AE，再根据平行四边形面积即可求出答案.
14．（2025·天河模拟）若a为方程的解，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a为方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】将a代入方程可得，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．（2025·天河模拟）对于三个实数a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数.例如：max{ 1，2，6}=6，max{0，4，4}=4，若max{ x 1，2，2x 2}=2，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：∵max{-x-1，2，2x-2}=2，
∴，
解得-3≤x≤2，
故答案为：-3≤x≤2.
【分析】根据新定义的运算法则建立不等式组，再解不等式，求出x的范围即可.
16．（2025·天河模拟）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上．反比例函数的图象过矩形的对称中心，交于点．现给出以下结论：
①；
②的面积为；
③点，可能关于直线对称；
④若平分，则
其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接，设，
点是矩形的对称中心，
点在对角线的中点上，
，，，
点在反比例函数上，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
即，
，，
，结论①正确；
，
，
，
，
又，
，结论②错误；
连接交于点，
，，设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理直线的解析式为，
点是直线和直线的交点，
，
解得，
此时，
，
若点，关于直线对称，则点是中点，矛盾，
结论③错误；
作轴交于点，轴于点，
，
四边形是矩形，
，
，
又矩形中，，
，
点是中点，
∴
点是中点，即，
平分，
，
，
，
，
中，，
又，
，即，
结论④正确．
综上，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
【分析】连接，设，根据线段中点性质及坐标轴上点的坐标特征可得，，，将点M代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，将y=2a代入解析式可得，根据两点间距离可得，，根据边之间的关系可判断①；根据三角形面积可判断②；连接交于点，设直线的解析式为，将点M坐标代入解析式可得直线的解析式为，同理直线的解析式为，联立两直线解析式可得，根据线段中点可判断③；作轴交于点，轴于点，根据矩形性质可得四边形是矩形，则，根据直线平行性质可得，再根据平行线成比例定理可得，则点是中点，即，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据角之间的关系可判断④
17．（2025·天河模拟）解方程．
【答案】解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．（2025·天河模拟）如图，在中，，求的长度．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．（2025·天河模拟）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程．
求作：菱形．
作法：①作线段；②作线段的垂直平分线，交于点；③在直线上取点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点（点与点不重合）；④连接、、、．所以四边形为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下列任务：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）证明：四边形为菱形．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求作的四边形；
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题干作图步骤逐步作图即可；
（2）根据垂直平分线性质可得，，再根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）解：如图，四边形即为所求作的四边形；
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．（2025·天河模拟）已知关于的一元二次方程有两个相等的实根，
（1）求的值．
（2）求代数式的值．
【答案】（1）解：∵方程两个相等的实根，
∴，
∴．
（2）解：
，
∵当时，原式，
当时，原式．
综上可知，代数式的值为．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，得到，解方程即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a值代入即可求出答案.
（1）解：∵方程两个相等的实根，
∴，
∴．
（2）
，
∵当时，原式，
当时，原式．
综上可知，代数式的值为．
21．（2025·天河模拟）2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）①此次共调查了________人；
②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________．
③请将条形统计图（图1）补充完整．
（2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率．
【答案】（1）①50，②28.8，
③解：根据题意，得C类的人数为：（人），
补全图形如下：
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：①根据题意，得（人），
故答案为：50．
②D类所占圆心角为：，
故答案为：28.8．
【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可求出答案.
②根据360°乘以D类占比即可求出答案.
③求出C类人数，再补全统计图即可.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽取到的两张卡片内容不一致的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：①根据题意，得（人），
故答案为：50．
D类所占圆心角为：，
故答案为：28.8．
②解：根据题意，得C类的人数为：（人），
补全图形如下：
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致概率为
22．（2025·天河模拟）几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 篮球架的结构
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上．
测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）
（1）求立柱的高度；
（2）已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？
【答案】（1）解：由题意可得，
∵，的长为，
∴，
∴；

（2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，
∵是水平线，立柱垂直地面，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵平行地面，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵手掌距地面最大高度为，
∴
∴墩墩至少跳才能摸到篮筐．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据正弦定义可得EQ，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由题意可得，
∵，的长为，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，
∵是水平线，立柱垂直地面，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵平行地面，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵手掌距地面最大高度为，
∴
∴墩墩至少跳才能摸到篮筐．
23．（2025·天河模拟）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连，
（1）证明：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：连接交于点Q．
分别与相切，
∴，，
则垂直平分，即，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴．
设，
则，，
∴．
设，
则，，
∴，
∴，
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；切线长定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接交于点Q，根据切线长定理可得，，则垂直平分，即，根据圆周角定理可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形中位线定理可得，设，则，，根据边之间的关系可得，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：连接交于点Q．
分别与相切，
∴，，
则垂直平分，即，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴．
设，
则，，
∴．
设，
则，，
∴，
∴，
∴
∴．
24．（2025·天河模拟）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，即．
当，，
∴，
一次函数过点和，
代入，得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：依题意，可设，则，
过点作于点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，轴，
∴的纵坐标为2，
∴，
即有，
解得：（舍去）或，
∴．
（3）解：∵面积为，面积为，
∴，
如图，过作轴交于，而直线轴，
∴轴，则，
∴，
∴，
∵，直线为，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点，
∴，
而，则有最大值，
当时，的最大值为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式为，即，根据y轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）设，则，过点作于点，根据等腰三角形性质可得，轴，则的纵坐标为2，再将y=2代入解析式即可求出答案.
（3）根据三角形面积可得，过作轴交于，而直线轴，则轴，则，根据相似三角形判定定理可得，则，将x=-1代入解析式可得，根据两点间距离可得，PE，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，即．
当，，
∴，
一次函数过点和，
代入，得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：依题意，可设，则，
过点作于点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，轴，
∴的纵坐标为2，
∴，
即有，
解得：（舍去）或，
∴．
（3）解：∵面积为，面积为，
∴，
如图，过作轴交于，而直线轴，
∴轴，则，
∴，
∴，
∵，直线为，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点，
∴，
而，则有最大值，
当时，的最大值为：．
25．（2025·天河模拟）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且．
（1）如图1，当点、、三点共线时，求证：
（2）如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：；
（3）如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长至，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：取的中点，连接，
由（）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
当点在上方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
当点在下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
综上，或．
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长至，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等边对等角可得，则，根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
（3）取的中点，连接，由（）知，则，根据等边对等角可得，设，分情况讨论：当点在上方时，当点在下方时，根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长至，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：取的中点，连接，
由（）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
当点在上方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
当点在下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即；
综上，或．
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