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四川省绵阳市涪城区2025年中考三模数学试题
1．（2025·涪城模拟）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：因为不是同类项，不能合并，所以A不正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D不正确．
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025·涪城模拟）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．（2025·涪城模拟）使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞ 1 B．x≠1
C．x≥－1且x≠1 D．x＞－1且x≠1
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：，解得：.
故答案为：C
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出答案.
4．（2025·涪城模拟）如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，则该物体的主视图是
故选C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．（2025·涪城模拟）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意，
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可．
6．（2025·涪城模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
∴且，
故答案为：．
【分析】根据二次方程的定义，二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
7．（2025·涪城模拟）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设A种产x件，B种产品件，
，
，
因为x为整数，
所以，31，32
所以有3种方案
方案1，A产品30件，B产品20件；
方案2，A产品31件，B产品19件；
方案3，A产品32件，B产品18件．
有3种方案．
故答案为：B．
【分析】设A种产x件，B种产品件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
8．（2025·涪城模拟）某数学兴趣小组同学进行测量大树高度的综合实践活动，如右图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为，然后沿在同一剖面的斜坡行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面的坡度（或坡比），那么大树的高度约为多少？（　　）
A．18米 B．13米 C．12米 D．5米
【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作于F，如图所示：
则米，．
∵斜面的坡度，
∴．
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴米，米，
∴米．
在中，米，
∴米．
故答案为：B
【分析】作于F，则米，，设米，则米，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则米，米，根据边之间的关系可得AE，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025·涪城模拟）如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，过点作轴，
∵原点O是等边三角形的中心，
∴，
∴重合，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，过点作轴，根据等边三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得OH，则，再根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案
10．（2025·涪城模拟）如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点I作于E，于E，连接、、，如图所示：
在中，∵，，，
∴，
∴，
∵I为的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
故答案为：A．
【分析】过点I作于E，于E，连接、、，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积可得，根据三角形内心性质得出，根据，建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2025·涪城模拟）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
又，
∴是等边三角形，
∴，，又，
∴，
∴，
∴，
∴；
故①符合题意；
过C作于M，交延长线于N，则，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
，
∴，
∴，
即平分，
故②符合题意；
∵平分，且，
∴
则，
∴，，
∵，
则，
即，
故③符合题意；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故选：D．
【分析】连接，根据菱形性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形外角性质可得∠BGE，再根据补角可判断①；过C作于M，交延长线于N，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可判断②；根据角平分线定义可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可判断③；根据勾股定理可得CN，再根据全等三角形性质可得，则，即，结合三角形面积即可求出答案.
12．（2025·涪城模拟）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对称轴为直线，经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，故A选项错误；
，
，
，故B选项错误；
抛物线的开口向上，
，
当时，，
，
，
，故C选项错误；
抛物线与轴的交点在点与之间，
，
当时，，
，
，
，
，
，故D选项正确，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
13．（2025·涪城模拟）分解因式　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
14．（2025·涪城模拟）如图，，点E在上，．若，则的度数是　 　
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．（2025·涪城模拟）不等式的最大正整数解是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由不等式得：，
∴最大正整数解是：．
故答案为：．
【分析】先求出不等式的解集为，然后得出不等式的最大正整数解即可．
16．（2025·涪城模拟）“三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是　 　
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能结果，则这三个小孩中至少有一个女孩的有7种结果，
∴则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出这三个小孩中至少有一个女孩的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．（2025·涪城模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为　 　．
【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，
∴∠C=30°，AB=AC=+2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=+2，
∴AN=2，BN=，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案为或．
【解答】分情况讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，根据含30°角的直角三角形性质可得AB=AC=+2，再根据折叠性质可得∠MDN=∠A=60°，则∠BDN=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BN=DN=AN，则BN=AB=，即AN=2BN=，根据角之间的关系可得∠AMN=60°，则AN=MN=；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，根据含30°角的直角三角形性质可得BD=DN=AN，BN=BD，根据边之间的关系可得AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得H=AN=1，HN=，由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
18．（2025·涪城模拟）如图，是边长为4的正三角形的外接圆，D为上的一动点，过点A作直线的垂线．垂足为E，连接．设的长为x，则x的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵，
∴点E在以为直径的圆上，
如图，作以为直径的圆F，连接，交圆F于点，延长，交圆F于点，则圆F的半径为2，
∴当点E与点重合最短时，当点E与点重合最长时，
∵三角形为等边三角形，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
即x的取值范围为．
故答案为：
【分析】根据，可得点E在以为直径的圆上，作以为直径的圆F，连接，交圆F于点，延长，交圆F于点，则圆F的半径为2，可得当点E与点重合最短时，当点E与点重合最长时，根据等边三角形性质可得，根据勾股定理可得CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2025·涪城模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中x满足
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值，负整数指数幂化简，再运算乘法，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，由题意可得，再整体代数代数式，化简即可求出答案.
20．（2025·涪城模拟）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选-种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了多少人？在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是多少？
（2）将条形统计图补充完整，并回答：支付方式的“众数”是
（3）利用这次的调查结果，估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数．
【答案】（1）解：，
∴这次活动共调查了人；
则，
∴在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是；
（2）解：使用银行卡支付方式的人数为（人），
使用微信支付方式的人数为（人），
故补充完整条形统计图，如图所示：
微信
（3）解：依题意，（人），
∴估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数为300人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（2）∵微信支付方式的人数为60人，且，
∴支付方式的“众数”是微信，
故答案为：微信；
【分析】（1）运用支付宝，现金，其他支付方式的总人数除以占比，求出这次活动的总人数，再求出“支付宝”支付的扇形圆心角的度数，即可作答．
（2）结合众数的概念进行作答即可；
（3）运用样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答．
（1）解：，
∴这次活动共调查了人；
则，
∴在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是；
（2）解：使用银行卡支付方式的人数为（人），
使用微信支付方式的人数为（人），
故补充完整条形统计图，如图所示：
∵微信支付方式的人数为60人，且，
∴支付方式的“众数”是微信，
故答案为：微信；
（3）解：依题意，（人），
∴估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数为300人．
21．（2025·涪城模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝2，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积．
【答案】解：（1）连接AO．
∵AD⊥x轴于点D，设A（a，2），
∴AD=2．
∵∠CAD=45°，
∴∠AFD=45°，
∴FD=AD=2．
∵AD∥y轴，
∴S△AOD=S△ADC=6，
∴OD=6，
∴A（6，2），将A（6，2）代入，得：m=12，
∴反比例函数解析式为y；
∵∠OCF=∠CAD=45°．在△COF中，OC=OF=OD﹣FD=6﹣2=4，
∴C（0，﹣4），
将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y=kx+b，可得：
，解得，
∴一次函数解析式为y=x﹣4；
（2）点E是点C关于x轴的对称点，
∴E（0，4），
∴CE=8，解方程组，得：或
，∴B（﹣2，﹣6），
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接AO，设A（a，2），根据两点间距离可得AD=2，根据等角对等边可得FD=AD=2，根据直线平行性质可得S△AOD=S△ADC=6，求出点A坐标，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为y，根据边之间的关系可得OC=4，则C（0，﹣4），再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据关于x轴对称点的坐标特征可得E（0，4），根据两点间距离可得CE，联立反比例函数，一次函数解析式，解方程可得B（﹣2，﹣6），再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
22．（2025·涪城模拟）如图，与直线l相离，于点，交于点，过点作的切线，切点为，连接并延长交直线于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，，求的长．
【答案】（1）证明∶如图，连接，是的切线，，
．
又，
，
，
，
（2）解∶，，
．
的半径为，
．
设，则 ．
在中，，
，
解得或(舍去) ．
如图，过点作于点，
在中，设，
则．
，
即，
解得或(舍去)，
，
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，是的切线，，根据切线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据正切定义可得，设，则 ，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，过点作于点，根据正切定义可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明∶
如图，连接，是的切线，，
．
又，
，
，
，
．
（2）解∶
，，
．
的半径为，
．
设，则 ．
在中，，
，
解得或(舍去) ．
如图，过点作于点，
在中，设，
则．
，
即，
解得或(舍去)，
，
．
23．（2025·涪城模拟）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】（1）解∶设y与x的函数表达式为，
把，；，代入，得，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得
解得，
当时，，
则每盒的利润为：，舍去，
∴m的值为2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x的函数表达式为，根据待定系数法将，；，代入解析式即可求出答案.
（2）设日销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）设日销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解∶设y与x的函数表达式为，
把，；，代入，得，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得
解得，
当时，，
则每盒的利润为：，舍去，
∴m的值为2．
24．（2025·涪城模拟）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N．
（1）求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）．
（2）当时，求的长．
（3）试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，∵四边形和四边形均是正方形，
∴，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，
分以下两种情况：
①如图1，∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
②如图2，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
综上所述，或
（3）解：当点E在上运动时，的值不发生变化．
如图1，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
如图2，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
综上所述，的值不变，为
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，，，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，分情况讨论：①如图1，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值即可求出答案；②如图2，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值即可求出答案.
（3）分情况讨论：作出图形，连接，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）证明：如图1，∵四边形和四边形均是正方形，
∴，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，
分以下两种情况：
①如图1，∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
②如图2，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
综上所述，或；
（3）解：当点E在上运动时，的值不发生变化．
如图1，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
如图2，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
综上所述，的值不变，为．
25．（2025·涪城模拟） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
把、坐标代入得，
解得：，
∴抛物线解析式：
（2）解：∵，
∴，即：，
设点横坐标为，则点横坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，，
解得：，
∴所在的直线表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
设直线的函数表达式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
则点的坐标为或
（3）存在，的坐标或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：①当，
若点在轴上方，此时点，直线交轴于点，
若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为：，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
即，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：， (舍去)，
则点；
②当时，
若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点，
若点在轴下方，此时点，如图：
∵，，
∴ ，
∴ ，
由①知，直线的解析式为，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，，
∴，
∴，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标或或或．
【分析】（1）根据两点间距离可得，，再根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案；
（2）由题意可得，即：，设点横坐标为，则点横坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得所在的直线表达式为：，则，设直线的函数表达式为：，把代入可得直线所在的直线表达式为：，则点，再将点D坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当，若点在轴上方，此时点，直线交轴于点，若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即点的坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点B，E'坐标代入解析式可得直线的解析式为，求出直线的解析式为：，联立抛物线解析式，解方程可得点的坐标为，根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得 ，根据等角对等边可得 ，根据直线平移性质可得直线可以看成直线向下平移个单位得到的，即直线的解析式为：，设，由题意可得，，根据两点间距离可得EH，FH，BK，根据勾股定理建立方程，解方程可得点的坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点B，F坐标代入解析式可得直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程即可求出答案；②当时，若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点，若点在轴下方，此时点，根据角之间的关系可得 ，根据等角对等边可得 ，由①知，直线的解析式为，设，由题意可得，，根据两点间距离可得GM，GN，BN，ME，根据勾股定理建立方程，解方程可得点的坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点E，G坐标代入解析式可得直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立抛物线解析式可得点的坐标为，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，根据直线平移性质可得直线可以看成直线向下平移个单位得到的，即直线的解析式为： ，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
把、坐标代入得，
解得：，
∴抛物线解析式：；
（2）解：∵，
∴，即：，
设点横坐标为，则点横坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，，
解得：，
∴所在的直线表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
设直线的函数表达式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
则点的坐标为或；
（3）解：①当，
若点在轴上方，此时点，直线交轴于点，
若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为：，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
即，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：， (舍去)，
则点；
②当时，
若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点，
若点在轴下方，此时点，如图：
∵，，
∴ ，
∴ ，
由①知，直线的解析式为，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，，
∴，
∴，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标或或或．
1 / 1四川省绵阳市涪城区2025年中考三模数学试题
1．（2025·涪城模拟）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·涪城模拟）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·涪城模拟）使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞ 1 B．x≠1
C．x≥－1且x≠1 D．x＞－1且x≠1
4．（2025·涪城模拟）如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·涪城模拟）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·涪城模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
7．（2025·涪城模拟）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．（2025·涪城模拟）某数学兴趣小组同学进行测量大树高度的综合实践活动，如右图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为，然后沿在同一剖面的斜坡行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面的坡度（或坡比），那么大树的高度约为多少？（　　）
A．18米 B．13米 C．12米 D．5米
9．（2025·涪城模拟）如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·涪城模拟）如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
11．（2025·涪城模拟）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2025·涪城模拟）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·涪城模拟）分解因式　 　．
14．（2025·涪城模拟）如图，，点E在上，．若，则的度数是　 　
15．（2025·涪城模拟）不等式的最大正整数解是　 　．
16．（2025·涪城模拟）“三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是　 　
17．（2025·涪城模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为　 　．
18．（2025·涪城模拟）如图，是边长为4的正三角形的外接圆，D为上的一动点，过点A作直线的垂线．垂足为E，连接．设的长为x，则x的取值范围为　 　
19．（2025·涪城模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中x满足
20．（2025·涪城模拟）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选-种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了多少人？在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是多少？
（2）将条形统计图补充完整，并回答：支付方式的“众数”是
（3）利用这次的调查结果，估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数．
21．（2025·涪城模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝2，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积．
22．（2025·涪城模拟）如图，与直线l相离，于点，交于点，过点作的切线，切点为，连接并延长交直线于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，，求的长．
23．（2025·涪城模拟）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
24．（2025·涪城模拟）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N．
（1）求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）．
（2）当时，求的长．
（3）试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由．
25．（2025·涪城模拟） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：因为不是同类项，不能合并，所以A不正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D不正确．
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：，解得：.
故答案为：C
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，则该物体的主视图是
故选C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意，
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
∴且，
故答案为：．
【分析】根据二次方程的定义，二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设A种产x件，B种产品件，
，
，
因为x为整数，
所以，31，32
所以有3种方案
方案1，A产品30件，B产品20件；
方案2，A产品31件，B产品19件；
方案3，A产品32件，B产品18件．
有3种方案．
故答案为：B．
【分析】设A种产x件，B种产品件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作于F，如图所示：
则米，．
∵斜面的坡度，
∴．
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴米，米，
∴米．
在中，米，
∴米．
故答案为：B
【分析】作于F，则米，，设米，则米，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则米，米，根据边之间的关系可得AE，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，过点作轴，
∵原点O是等边三角形的中心，
∴，
∴重合，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，过点作轴，根据等边三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得OH，则，再根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案
10．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点I作于E，于E，连接、、，如图所示：
在中，∵，，，
∴，
∴，
∵I为的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
故答案为：A．
【分析】过点I作于E，于E，连接、、，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积可得，根据三角形内心性质得出，根据，建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
又，
∴是等边三角形，
∴，，又，
∴，
∴，
∴，
∴；
故①符合题意；
过C作于M，交延长线于N，则，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
，
∴，
∴，
即平分，
故②符合题意；
∵平分，且，
∴
则，
∴，，
∵，
则，
即，
故③符合题意；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故选：D．
【分析】连接，根据菱形性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形外角性质可得∠BGE，再根据补角可判断①；过C作于M，交延长线于N，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可判断②；根据角平分线定义可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可判断③；根据勾股定理可得CN，再根据全等三角形性质可得，则，即，结合三角形面积即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对称轴为直线，经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，故A选项错误；
，
，
，故B选项错误；
抛物线的开口向上，
，
当时，，
，
，
，故C选项错误；
抛物线与轴的交点在点与之间，
，
当时，，
，
，
，
，
，故D选项正确，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由不等式得：，
∴最大正整数解是：．
故答案为：．
【分析】先求出不等式的解集为，然后得出不等式的最大正整数解即可．
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能结果，则这三个小孩中至少有一个女孩的有7种结果，
∴则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出这三个小孩中至少有一个女孩的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，
∴∠C=30°，AB=AC=+2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=+2，
∴AN=2，BN=，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案为或．
【解答】分情况讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，根据含30°角的直角三角形性质可得AB=AC=+2，再根据折叠性质可得∠MDN=∠A=60°，则∠BDN=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BN=DN=AN，则BN=AB=，即AN=2BN=，根据角之间的关系可得∠AMN=60°，则AN=MN=；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，根据含30°角的直角三角形性质可得BD=DN=AN，BN=BD，根据边之间的关系可得AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得H=AN=1，HN=，由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵，
∴点E在以为直径的圆上，
如图，作以为直径的圆F，连接，交圆F于点，延长，交圆F于点，则圆F的半径为2，
∴当点E与点重合最短时，当点E与点重合最长时，
∵三角形为等边三角形，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
即x的取值范围为．
故答案为：
【分析】根据，可得点E在以为直径的圆上，作以为直径的圆F，连接，交圆F于点，延长，交圆F于点，则圆F的半径为2，可得当点E与点重合最短时，当点E与点重合最长时，根据等边三角形性质可得，根据勾股定理可得CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值，负整数指数幂化简，再运算乘法，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，由题意可得，再整体代数代数式，化简即可求出答案.
20．【答案】（1）解：，
∴这次活动共调查了人；
则，
∴在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是；
（2）解：使用银行卡支付方式的人数为（人），
使用微信支付方式的人数为（人），
故补充完整条形统计图，如图所示：
微信
（3）解：依题意，（人），
∴估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数为300人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（2）∵微信支付方式的人数为60人，且，
∴支付方式的“众数”是微信，
故答案为：微信；
【分析】（1）运用支付宝，现金，其他支付方式的总人数除以占比，求出这次活动的总人数，再求出“支付宝”支付的扇形圆心角的度数，即可作答．
（2）结合众数的概念进行作答即可；
（3）运用样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答．
（1）解：，
∴这次活动共调查了人；
则，
∴在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是；
（2）解：使用银行卡支付方式的人数为（人），
使用微信支付方式的人数为（人），
故补充完整条形统计图，如图所示：
∵微信支付方式的人数为60人，且，
∴支付方式的“众数”是微信，
故答案为：微信；
（3）解：依题意，（人），
∴估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数为300人．
21．【答案】解：（1）连接AO．
∵AD⊥x轴于点D，设A（a，2），
∴AD=2．
∵∠CAD=45°，
∴∠AFD=45°，
∴FD=AD=2．
∵AD∥y轴，
∴S△AOD=S△ADC=6，
∴OD=6，
∴A（6，2），将A（6，2）代入，得：m=12，
∴反比例函数解析式为y；
∵∠OCF=∠CAD=45°．在△COF中，OC=OF=OD﹣FD=6﹣2=4，
∴C（0，﹣4），
将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y=kx+b，可得：
，解得，
∴一次函数解析式为y=x﹣4；
（2）点E是点C关于x轴的对称点，
∴E（0，4），
∴CE=8，解方程组，得：或
，∴B（﹣2，﹣6），
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接AO，设A（a，2），根据两点间距离可得AD=2，根据等角对等边可得FD=AD=2，根据直线平行性质可得S△AOD=S△ADC=6，求出点A坐标，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为y，根据边之间的关系可得OC=4，则C（0，﹣4），再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据关于x轴对称点的坐标特征可得E（0，4），根据两点间距离可得CE，联立反比例函数，一次函数解析式，解方程可得B（﹣2，﹣6），再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）证明∶如图，连接，是的切线，，
．
又，
，
，
，
（2）解∶，，
．
的半径为，
．
设，则 ．
在中，，
，
解得或(舍去) ．
如图，过点作于点，
在中，设，
则．
，
即，
解得或(舍去)，
，
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，是的切线，，根据切线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据正切定义可得，设，则 ，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，过点作于点，根据正切定义可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明∶
如图，连接，是的切线，，
．
又，
，
，
，
．
（2）解∶
，，
．
的半径为，
．
设，则 ．
在中，，
，
解得或(舍去) ．
如图，过点作于点，
在中，设，
则．
，
即，
解得或(舍去)，
，
．
23．【答案】（1）解∶设y与x的函数表达式为，
把，；，代入，得，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得
解得，
当时，，
则每盒的利润为：，舍去，
∴m的值为2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x的函数表达式为，根据待定系数法将，；，代入解析式即可求出答案.
（2）设日销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）设日销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解∶设y与x的函数表达式为，
把，；，代入，得，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得
解得，
当时，，
则每盒的利润为：，舍去，
∴m的值为2．
24．【答案】（1）证明：如图1，∵四边形和四边形均是正方形，
∴，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，
分以下两种情况：
①如图1，∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
②如图2，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
综上所述，或
（3）解：当点E在上运动时，的值不发生变化．
如图1，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
如图2，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
综上所述，的值不变，为
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，，，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，分情况讨论：①如图1，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值即可求出答案；②如图2，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值即可求出答案.
（3）分情况讨论：作出图形，连接，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）证明：如图1，∵四边形和四边形均是正方形，
∴，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，
分以下两种情况：
①如图1，∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
②如图2，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
综上所述，或；
（3）解：当点E在上运动时，的值不发生变化．
如图1，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
如图2，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
综上所述，的值不变，为．
25．【答案】（1）解：∵，
∴，，
把、坐标代入得，
解得：，
∴抛物线解析式：
（2）解：∵，
∴，即：，
设点横坐标为，则点横坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，，
解得：，
∴所在的直线表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
设直线的函数表达式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
则点的坐标为或
（3）存在，的坐标或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：①当，
若点在轴上方，此时点，直线交轴于点，
若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为：，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
即，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：， (舍去)，
则点；
②当时，
若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点，
若点在轴下方，此时点，如图：
∵，，
∴ ，
∴ ，
由①知，直线的解析式为，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，，
∴，
∴，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标或或或．
【分析】（1）根据两点间距离可得，，再根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案；
（2）由题意可得，即：，设点横坐标为，则点横坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得所在的直线表达式为：，则，设直线的函数表达式为：，把代入可得直线所在的直线表达式为：，则点，再将点D坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当，若点在轴上方，此时点，直线交轴于点，若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即点的坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点B，E'坐标代入解析式可得直线的解析式为，求出直线的解析式为：，联立抛物线解析式，解方程可得点的坐标为，根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得 ，根据等角对等边可得 ，根据直线平移性质可得直线可以看成直线向下平移个单位得到的，即直线的解析式为：，设，由题意可得，，根据两点间距离可得EH，FH，BK，根据勾股定理建立方程，解方程可得点的坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点B，F坐标代入解析式可得直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程即可求出答案；②当时，若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点，若点在轴下方，此时点，根据角之间的关系可得 ，根据等角对等边可得 ，由①知，直线的解析式为，设，由题意可得，，根据两点间距离可得GM，GN，BN，ME，根据勾股定理建立方程，解方程可得点的坐标为，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点E，G坐标代入解析式可得直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立抛物线解析式可得点的坐标为，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，根据直线平移性质可得直线可以看成直线向下平移个单位得到的，即直线的解析式为： ，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
把、坐标代入得，
解得：，
∴抛物线解析式：；
（2）解：∵，
∴，即：，
设点横坐标为，则点横坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，，
解得：，
∴所在的直线表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
设直线的函数表达式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
则点的坐标为或；
（3）解：①当，
若点在轴上方，此时点，直线交轴于点，
若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为：，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
即，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：， (舍去)，
则点；
②当时，
若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点，
若点在轴下方，此时点，如图：
∵，，
∴ ，
∴ ，
由①知，直线的解析式为，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，，
∴，
∴，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标或或或．
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