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四川省泸州市泸州老窖天府中学2025年中考二模数学试题
1．（2025·泸州模拟）下列各数是正数的是（　　）
A． B．0 C．2 D．
2．（2025·泸州模拟）某市城市轨道交通号线工程的中标价格是元，精确到，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·泸州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·泸州模拟）由6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·泸州模拟）如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·泸州模拟）已知点和关于原点对称，则的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
7．（2025·泸州模拟）如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
8．（2025·泸州模拟）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
9．（2025·泸州模拟）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·泸州模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心.5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
11．（2025·泸州模拟）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E、F、G分别在线段AB、BC、FD上，若，则小正方形的边长为（　　）
A．6 B．5 C． D．
12．（2025·泸州模拟）若二次函数的解析式为．若函数图象过点和点，则q的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·泸州模拟）因式分解：　 　．
14．（2025·泸州模拟）如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是　 　．
15．（2025·泸州模拟）关于x的分式方程无解，则m的值为　 　．
16．（2025·泸州模拟）如图，在中，，是斜边上的高，，，点在上，且，则的长为　 　．
17．（2025·泸州模拟）计算：2cos30°+（π﹣3.14）0﹣
18．（2025·泸州模拟）化简：．
19．（2025·泸州模拟）如图，已知线段AC、BD相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCE；
20．（2025·泸州模拟）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
21．（2025·泸州模拟）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和枫树，经市场调查2棵榕树的单价比一棵枫树多40元，购买4棵榕树和3棵枫树共需480元．
（1）请问榕树和枫树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买枫树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和枫树共有哪几种方案．
22．（2025·泸州模拟）如图所示，实验中学九年级某班数学兴趣活动小组选定测量我县慈云寺（原名月珠寺）里宝塔的高度，同学们在寺内一平台上D处测得宝塔顶端B的仰角是，平台高6米，朝宝塔方向沿斜坡走下平台到达塔底A处，斜坡的坡比，在A处测得塔顶端B的仰角是，求慈云寺宝塔的高度．（计算结果若有根号，化简保留根号）
23．（2025·泸州模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
（1）求的值及反比例函数的表达式；
（2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标．
24．（2025·泸州模拟）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（2025·泸州模拟）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
（3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、是负数，故本选项不合题意；B、0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
C、2是正数，故本选项符合题意；
D、-0.2是负数，故本选项不合题意．
故答案为 ：C．
【分析】根据正数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：把精确到为
=．
故答案为 ：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵3a和2b不是同类项，∴不能合并，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可.
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：过B作，则，
∵，，
由平行线的传递性，
可知BH∥m
∴，
∵，
又∵，
∴=45°
∴，
故选：C．
【分析】过B作，根据平行线的传递性，可推断，进而，，，从而得到∠2的值．
6．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
解得：，．
则．
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故答案为：C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴m-1≠0，且Δ=22-4×(m-1)×1≥0，
解得：m≤2且m≠1．
故答案为 ：D．
【分析】根据二次方程的定义，要使该方程有实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线与相交于点O，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得再根据含30°角的直角三角形性质可得根据勾股定理可得AC，求出AO，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，作于点，盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，
∵，
∴根据垂径定理，，
∵，
∴中，，
∴，
∴盛水桶在水面以下的最大深度为2米，
故选：A．
【分析】作于点，盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC BF＝12 3＝9，
又∵DF＝，
∴，即，
∴，
故答案为 ：C．
【分析】根据角之间的关系可得∠1＝∠3，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△CFD，则，根据边之间的关系可得CF，根据勾股定理可得DF，再代入等式即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵函数过点和点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，q随m的增大而减小，
∵，
∴当时，q取得最大值4；当时，q取得最小值，
∴q的取值范围是，
故答案为 ：A．
【分析】将解析式转换为一般式，求出对称轴，根据对称轴公式可得，则，结合二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是切线，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据切线性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母得，，
由分式方程无解，得到，即：，
把代入整式方程得，解得：．
故答案为：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出x的值，然后代入整式方程计算即可．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
，
∵是斜边上的高，
∴，
，即，
∴，
∵，且，
∴，
∵在中，，
∴在中，．
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得，根据三角形的高可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得
，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】解：2cos30°+(π﹣3.14)0﹣
= 2×+ 1 - 2+4
=- 2+ 5
= 5 -
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂的运算法则和二次根式的性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
19．【答案】证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA）．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
20．【答案】（1），补全条形统计图如下：
（2），，；
（3）解：用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示
故答案为：50；
（2）
由图知，，
∴，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
【分析】
（1）观察条形统计图与扇形统计图可用C类人数除以所占百分比即得样本容量；用样本容量减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）用B、D两项人数分别除以样本容量即可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
21．【答案】（1）解：设榕树的单价为 x 元/棵，枫树的单价是 y 元/棵，
根据题意得，
解得
答：榕树和枫树的单价分别是60元/棵，80元/棵；
（2）解：设购买榕树 a 棵，则购买枫树为棵，
根据题意得，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是，
∵a 只能取正整数，
∴，
因此有3种购买方案：
方案一：购买榕树58棵，枫树92棵，
方案二：购买榕树59棵，枫树91棵，
方案三：购买榕树60棵，枫树90棵．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设榕树的单价为x元/棵，枫树的单价是y元/棵，然后根据数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买榕树 a 棵，则购买枫树为（150－a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a是正整数确定出购买方案；
22．【答案】解：作于点G，如图所示，
，斜坡的坡比，，
，
在中，，则设米，
米，米
在中，，，
，
（经检验是原方程的解），
∴米，
答：宝塔的高度是米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作于点G，根据题意可得，设米，则米，米，再根据正切定义及特殊角的三角函数值建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：把代入得，
解得，，
把代入，得，
解得，，
反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
，
，
，
，
如图所示，点为反比例函数图象上的一点，则点在第一象限，
又，
解得：，
点坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，则，再根据三角形面积可得，再代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：把代入得，
解得，，
把代入，得，
解得，，
反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
，
，
，
，
如图所示，点为反比例函数图象上的一点，则点在第一象限，
又，
解得：，
点坐标为．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，，，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，，，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据圆周角定理可得，则，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（2）由（1）知，设的半径为，则，根据边之间的关系可得OB，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，则，，再根据正弦定义可得AF，再代入（1）中结论即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，，，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，
∴．
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）存在，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据抛物线的对称性可得，则，再根据三角形面积可得，过点作轴交于点，设所在直线的解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得所在直线的解析式为：，设，则，根据两点间距离可得，则，根据三角形面积可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）将x=3代入抛物线表达式可得，且，分情况讨论。作出图象，结合直线平行性质，两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
1 / 1四川省泸州市泸州老窖天府中学2025年中考二模数学试题
1．（2025·泸州模拟）下列各数是正数的是（　　）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、是负数，故本选项不合题意；B、0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
C、2是正数，故本选项符合题意；
D、-0.2是负数，故本选项不合题意．
故答案为 ：C．
【分析】根据正数的定义即可求出答案.
2．（2025·泸州模拟）某市城市轨道交通号线工程的中标价格是元，精确到，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：把精确到为
=．
故答案为 ：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．（2025·泸州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵3a和2b不是同类项，∴不能合并，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可.
4．（2025·泸州模拟）由6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
5．（2025·泸州模拟）如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：过B作，则，
∵，，
由平行线的传递性，
可知BH∥m
∴，
∵，
又∵，
∴=45°
∴，
故选：C．
【分析】过B作，根据平行线的传递性，可推断，进而，，，从而得到∠2的值．
6．（2025·泸州模拟）已知点和关于原点对称，则的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
解得：，．
则．
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
7．（2025·泸州模拟）如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故答案为：C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
8．（2025·泸州模拟）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴m-1≠0，且Δ=22-4×(m-1)×1≥0，
解得：m≤2且m≠1．
故答案为 ：D．
【分析】根据二次方程的定义，要使该方程有实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
9．（2025·泸州模拟）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线与相交于点O，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得再根据含30°角的直角三角形性质可得根据勾股定理可得AC，求出AO，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025·泸州模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心.5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，作于点，盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，
∵，
∴根据垂径定理，，
∵，
∴中，，
∴，
∴盛水桶在水面以下的最大深度为2米，
故选：A．
【分析】作于点，盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2025·泸州模拟）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E、F、G分别在线段AB、BC、FD上，若，则小正方形的边长为（　　）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC BF＝12 3＝9，
又∵DF＝，
∴，即，
∴，
故答案为 ：C．
【分析】根据角之间的关系可得∠1＝∠3，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△CFD，则，根据边之间的关系可得CF，根据勾股定理可得DF，再代入等式即可求出答案.
12．（2025·泸州模拟）若二次函数的解析式为．若函数图象过点和点，则q的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵函数过点和点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，q随m的增大而减小，
∵，
∴当时，q取得最大值4；当时，q取得最小值，
∴q的取值范围是，
故答案为 ：A．
【分析】将解析式转换为一般式，求出对称轴，根据对称轴公式可得，则，结合二次函数的性质即可求出答案.
13．（2025·泸州模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
14．（2025·泸州模拟）如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是切线，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据切线性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．（2025·泸州模拟）关于x的分式方程无解，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母得，，
由分式方程无解，得到，即：，
把代入整式方程得，解得：．
故答案为：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出x的值，然后代入整式方程计算即可．
16．（2025·泸州模拟）如图，在中，，是斜边上的高，，，点在上，且，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
，
∵是斜边上的高，
∴，
，即，
∴，
∵，且，
∴，
∵在中，，
∴在中，．
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得，根据三角形的高可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得
，再根据勾股定理即可求出答案.
17．（2025·泸州模拟）计算：2cos30°+（π﹣3.14）0﹣
【答案】解：2cos30°+(π﹣3.14)0﹣
= 2×+ 1 - 2+4
=- 2+ 5
= 5 -
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂的运算法则和二次根式的性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2025·泸州模拟）化简：．
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
19．（2025·泸州模拟）如图，已知线段AC、BD相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCE；
【答案】证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA）．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
20．（2025·泸州模拟）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【答案】（1），补全条形统计图如下：
（2），，；
（3）解：用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示
故答案为：50；
（2）
由图知，，
∴，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
【分析】
（1）观察条形统计图与扇形统计图可用C类人数除以所占百分比即得样本容量；用样本容量减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）用B、D两项人数分别除以样本容量即可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
21．（2025·泸州模拟）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和枫树，经市场调查2棵榕树的单价比一棵枫树多40元，购买4棵榕树和3棵枫树共需480元．
（1）请问榕树和枫树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买枫树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和枫树共有哪几种方案．
【答案】（1）解：设榕树的单价为 x 元/棵，枫树的单价是 y 元/棵，
根据题意得，
解得
答：榕树和枫树的单价分别是60元/棵，80元/棵；
（2）解：设购买榕树 a 棵，则购买枫树为棵，
根据题意得，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是，
∵a 只能取正整数，
∴，
因此有3种购买方案：
方案一：购买榕树58棵，枫树92棵，
方案二：购买榕树59棵，枫树91棵，
方案三：购买榕树60棵，枫树90棵．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设榕树的单价为x元/棵，枫树的单价是y元/棵，然后根据数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买榕树 a 棵，则购买枫树为（150－a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a是正整数确定出购买方案；
22．（2025·泸州模拟）如图所示，实验中学九年级某班数学兴趣活动小组选定测量我县慈云寺（原名月珠寺）里宝塔的高度，同学们在寺内一平台上D处测得宝塔顶端B的仰角是，平台高6米，朝宝塔方向沿斜坡走下平台到达塔底A处，斜坡的坡比，在A处测得塔顶端B的仰角是，求慈云寺宝塔的高度．（计算结果若有根号，化简保留根号）
【答案】解：作于点G，如图所示，
，斜坡的坡比，，
，
在中，，则设米，
米，米
在中，，，
，
（经检验是原方程的解），
∴米，
答：宝塔的高度是米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作于点G，根据题意可得，设米，则米，米，再根据正切定义及特殊角的三角函数值建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·泸州模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
（1）求的值及反比例函数的表达式；
（2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，
解得，，
把代入，得，
解得，，
反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
，
，
，
，
如图所示，点为反比例函数图象上的一点，则点在第一象限，
又，
解得：，
点坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，则，再根据三角形面积可得，再代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：把代入得，
解得，，
把代入，得，
解得，，
反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
，
，
，
，
如图所示，点为反比例函数图象上的一点，则点在第一象限，
又，
解得：，
点坐标为．
24．（2025·泸州模拟）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，，，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，，，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据圆周角定理可得，则，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（2）由（1）知，设的半径为，则，根据边之间的关系可得OB，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，则，，再根据正弦定义可得AF，再代入（1）中结论即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，，，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，
∴．
25．（2025·泸州模拟）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
（3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）存在，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据抛物线的对称性可得，则，再根据三角形面积可得，过点作轴交于点，设所在直线的解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得所在直线的解析式为：，设，则，根据两点间距离可得，则，根据三角形面积可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）将x=3代入抛物线表达式可得，且，分情况讨论。作出图象，结合直线平行性质，两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且，设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
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