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山东省2024-2025高二数学下学期模拟卷（1）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（考查范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、计数原理与概率统计）
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A． B．5 C． D．
4．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
8．已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为
B．
C．展开式中系数最大的项为第1350项
D．
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某中学在新学期计划开设“礼 乐 射 御 书 数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的有（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有12种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排
11．已知函数（）图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称
C．若存在，使得，则
D．设，则在内有20个极值点
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，若，则 .
13．已知，则 ．
14．已知函数的自变量取值区间为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若函数的保值区间是，则的值为 ．
四、解答题
15．射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总分数，求的分布列及期望．
16．已知
(1)当时，求的展开式中含的项；
(2)若的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列，求的展开式中系数最大的项.
17．函数的定义域为，如果，都有恒成立，那么的图象关于对称．已知．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，
①证明：函数图象关于对称；
②求的值．
18．“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（i）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．已知函数，且.
(1)求;
(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；
(3)证明：对任意的，均有.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《山东省2024-2025高二数学下学期模拟卷（1）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C B D B C ABD BCD
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】根据集合的交运算的定义即可求解.
【详解】，
故，
故选：A
2．B
【分析】根据正态密度曲线的对称性，得到，再利用“1”的妙用，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由条件可知，正态密度曲线关于对称，所以，且，
所以，
则，
当且仅当，，即时，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B
3．B
【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】因为二项式的展开式，
令，解得，
则，即含项的系数为5.
故选：B.
4．C
【分析】由对立事件及全概率公式可求、，再利用条件概率公式求解即可.
【详解】，，
又，所以，
所以.
故选：C.
5．B
【分析】由题意可得，抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变.首先，当点横坐标取得最小值时，函数的顶点在点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到点，结合前面求出的二次项系数以及点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点横坐标的最大值.
【详解】由题图知：当点的横坐标为1时，抛物线顶点取，设该抛物线的解析式为：，
代入点坐标，得：，解得，
即：点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：．
当点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取，
则此时抛物线的解析式：，
即与轴的交点为或（舍去），
点的横坐标的最大值为2．
故选：B.
6．D
【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.
【详解】
设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.
则，设，则，故，
而题设中空白部分的面积为，
故点落在白色部分的概率是，
故选：D.
7．B
【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果.
【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或，
∵对任意的且，满足，
∴在上为增函数，故，即，
∵，∴为上单调递增的奇函数，
∵，∴，
∴，故.
故选：B.
8．C
【分析】画出分段函数的图像，然后通过换元法，利用与二次函数的复合转化为二次函数零点问题.
【详解】作出偶函数的图象如下：
由题函数是定义域为R上的偶函数，
且关于x的方程，有且仅有6个不同实数根，
所以：令，原式变为，即该方程在上有3个根，
所以根据图像可知满足条件根的范围为或者，
由韦达定理可知，
若，则即；
若，则，即；
综上可得的范围为或者
故选：C
9．ABD
【分析】利用二项式系数的性质，二项式展开式公式，结合赋值法求奇偶项系数和，即能判断各选项.
【详解】对于A，由展开式所有项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，由，
则，故B正确；
对于C，由于第1350项系数为，显然负值不可能是最大系数，故C错误；
对于D，令，则，
令，
上两式作差可得，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算．
【详解】对于A，6门中选2门共有种选法，故A错误；
对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有 种排法，然后全排列有 种排法，
根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有 种，故B正确；
对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，
然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，
根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
对于D，分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，
若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有 种排法，
所以共有种排法，故D正确．
故选：BCD．
11．ABD
【分析】根据题意，得到，可判定A正确，根据三角函数的图象变换及性质，可得判B正确；根据，可判定C不正确，根据导数和极值的概念，可判定D正确.
【详解】设函数的最小正周期为，
由函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，可得，
解得，选项A正确.
由，可得，所以，
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，可得函数的图象关于原点对称，选项B正确.
不妨设，则，，
所以，选项C不正确.
由，
当时，，则，
令，可得；
当时，，则，令，可得，
因此在内有20个极值点，选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】解答有关函数的极值问题的方法与策略：
1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根；
2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值；
3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
12．/
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故答案为：
13．
【分析】先令求，再令即可得答案.
【详解】令得，
令得，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】试题分析：，因为，所以令得；令得．
所以函数在上单调递减，在单调递增．所以当时取得最小值为．由题意可知，解得．
考点：1新概念；2用导数研究函数的性质．
15．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则由题可知.根据二项分布的概率公式即可求解；
（2）设“第次射击击中目标”为事件，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件，则，根据独立事件的概率乘法公式即可求解；
（3）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6，分别计算各概率，即可列出的分布列，根据随机变量的数学期望公式即可求解期望.
【详解】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则由题可知.
根据二项分布的概率公式可知：在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为.
（2）设“第次射击击中目标”为事件，
“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件，则
.
（3）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6.
，
，
，
，
.
∴的分布列是
0 1 2 3 6
P
∴.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据二项式定理，写出二项式的展开式，求出指定的项即可.
（2）先写出倒数第2，3，4项的系数，根据等差中项列出方程，根据组合数的计算方法，求出参数，再根据展开式的系数列出不等式组，计算系数最大的项.
【详解】（1）由题意知，
当时，，当时，，
则含的项为.
（2）由题意得的展开式中第项，倒数第2项的系数为，倒数第3项的系数为，倒数第4项的系数为，
则有，化简得，
变形得，得，解得或，
因为，所以，
此时，设最大项为第项，
可得，解得，
所以，则系数最大的项为第七项且第七项为.
17．(1)答案见解析.
(2)①证明见解析；②0.
【分析】（1）求导函数，按照、和分类讨论，研究函数的单调性.
（2）①求出，即可证明；
②利用倒序相加法求和即可得解.
【详解】（1）的定义域为，．
①当时，，在上单调递增；
②当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
③当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）①证明：依题意，，
则，所以，
，所以，
所以，所以函数图象关于对称；
②设，则，，
所以，的值为0．
18．(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关
(2)（i）；（ii）
【分析】(1) 先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断；
(2) （i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可；
（ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可.
【详解】（1）由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，，
所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
所以，，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
所以，，
所以比赛结束后甲获胜的概率，
（ii）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
,
所以，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解；
（2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立；
（3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果.
【详解】（1）由得，
令，则，
①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，即，又，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
要证，即证，
进一步变形为证，即证.
因为，令，则需证（），
即证（）
设，，，
当时，，在单调递增，所以，得证.
（3）由（1）知，且，
当时，，即；
令（），则.
要证，即证，
因为，所以，
而，得证.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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