资源简介

哈尔滨市第三十二中学校
2024-2025学年度（下）学期 高二数学期中考试卷
考 生 须 知 1．考生要认真填写班级和姓名。 2．本试卷共2页，分为两卷，第I卷选择题11小题(共58分)；第II卷非选择题(共92分)。满分150分。考试时间120分钟。 3．试题所有答案必须书写在答题卡上。 4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。
第I卷 选择题(共58分)
一、选择题(单选题，每个小题5分，共40分，其中第2、7题选一题作答)
1．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
2．下列求导过程错误的选项是（ ）
A． B． C． D．
2．现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
3．若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．数列的前项和为，则等于（ ）
A．1011 B． C．2022 D．
5．在等差数列中，，则（ ）
A．45 B．9 C．18 D．36
6．为等差数列的前项和，已知，则为（ ）
A．5 B．8 C．11 D．13
7．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
二、选择题(多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分，其中第9题选一题作答)
9．已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．是的极小值点
D．是的极小值点
9．若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ）
A． B．展开式中所有项的系数和为32
C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为123
10．已知数列的通项公式为则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ）
A．数列为单调递减数列 B．
C． D．
第II卷 非选择题（共92分）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中第12题选一题作答）
12．若直线是曲线在x=18处的切线，则的斜率为 .
12．已知，则
13．已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列的通项公式 为 ．
14．“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、 ，第行的第3个数字为，则 ，数列的前项和 ．
四、解答题（共77分，其中第15、18题选一题作答）
15．分别求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)．
15．截至2025年2月13日晚，电影《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）总票房（含预售）已突破100亿元，观影人次破2亿，成为中国影史首部票房破100亿且观影人次破2亿的电影，登顶全球影史单一市场票房榜，暂列全球票房榜第17名．按照猫眼专业版AI预测，其最终票房将达到153.38亿，若达成则有望超越电影《星球大战：原力觉醒》的150.19亿票房，排名全球前五．银河影院为了解观众是否喜欢电影与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢该电影的人数是300，喜欢该电影的女生比男生少60人．
(1)完成下面的列联表；
喜欢电影 不喜欢电影 总计
女生
男生
总计
(2)根据调查数据回答：有的把握认为是否喜欢电影与性别有关吗？
附：．
临界值表如下：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.
17．如图，是抛物线上异于顶点的两个动点，直线过抛物线的焦点，且焦点到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；(2)若，求的面积．
18．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在【0,4】上的最大值、最小值。
18．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率；
(2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
19．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，求证：．
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C C B A AC BC
题号 11
答案 AD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】按求导公式和法则逐问求导即可.
【详解】（1）
（2）因为，所以．
（3）
【详解】（1）设喜欢电影的男生人数为，喜欢电影的女生人数为，有，解得.
计算得到不喜欢该电影的男生人数为，不喜欢该电影的女生人数为.填表如下：
喜欢电影 不喜电影 总计
女生 120 80 200
男生 180 20 200
总计 300 100 400
（2）先假设是否喜欢哪吒电影与性别无关.
在表格中选取，根据公式计算：
说明是否喜欢哪吒电影与性别有关的可能性在以上.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解；
（2）利用等比数列的定义知数列是等比数列，再分组求和，利用等差、等比数列前项和公式，即可求解.
【详解】（1）由题设知，当时，，
当时，，
经验证，满足，
所以.
（2）因为，则，
又为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
.
17．(1)
(2)．
【分析】（1）由焦点到准线的距离求解出的值，则得抛物线的方程；（
（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用弦长公式解出，求出点到直线的距离，即可求得的面积.
【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为2，
，抛物线的方程为．
（2）由题意得，且直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设点，，由，消去，得，
，，，
，解得．
点到直线的距离，
，
所以的面积为．
18．(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为.
【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值；
（2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解.
【详解】（1）函数，则，
则，而直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
则，解得，
（2）由（1）可知，所以，定义域为，
，
令，即，化简可得，解得，
当时，函数单调递增。由，即，解得或，
所以的单调递增区间为和，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
所以的单调递减区间为；
综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为.
(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据古典概型结合对立事件概率计算求解；
（2）应用对立事件及条件概率公式计算求解；
（3）应用全概率公式计算求解.
【详解】（1）记“取到红球”为事件，
则，
即取到红球的概率为.
（2）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
即所求概率为.
（3）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
即所求概率为.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.
【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，
又因为数列的公比为2，所以，
即，解得，所以．
（2）由（1）知，则，
所以， ①
， ②
①②得
．
所以．
又因为，
所以是递增数列，所以，所以．
第 5 页 共 6 页

展开更多......

收起↑