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2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——集合与常用逻辑用语
一、单选题（本大题共27小题）
1．[2025北京房山·一模]已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025北京朝阳·一模]已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．[2025北京海淀·一模]已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．[2025北京西城·一模]已知集合，，那么集合（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025北京石景山·一模]已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．[2025北京延庆·一模]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．[2025北京延庆·一模]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．[2025北京东城·一模]已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
9．[2025北京丰台·一模]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．[2025北京顺义·一模]已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
11．[2025北京平谷·一模]已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
12．[2025北京门头沟·一模]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13．[2025全国·一模]设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
14．[2025北京东城·一模]已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．[2025北京门头沟·一模]“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．[2025北京房山·一模]已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
17．[2025北京西城·一模]设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．[2025北京石景山·一模]等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．[2025北京朝阳·一模]已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
20．[2025北京延庆·一模]“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
21．[2025北京丰台·一模]已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（ ）
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
22．[2025全国·一模]已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
23．[2025北京海淀·一模]已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
24．[2025北京顺义·一模]设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
25．[2025北京东城·一模]已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
26．[2025北京平谷·一模]已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
27．[2025北京平谷·一模]已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、解答题（本大题共3小题）
28．[2025北京延庆·一模]数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合．集合任意整数都有，集合任意整数都有，
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合的元素个数；
（3）记集合的元素个数为，证明：数列是等比数列．
29．[2025北京房山·一模]设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值．
（1）当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由；
（2）当时，若具有性质，求的最大值；
（3）给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值．
30．[2025北京延庆·一模]数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有.
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合的元素个数；
（3）记集合的元素个数为，证明：数列是等比数列.
参考答案
1．【答案】A
【详解】集合，集合，
则.
故选A.
2．【答案】A
【详解】因为，所以，
故选A.
3．【答案】D
【详解】或，，
所以或.
故选D
4．【答案】A
【详解】因为，，所以，.
故选A.
5．【答案】B
【详解】因为,
所以,
因为,
所以,
所以.
故选B.
6．【答案】A.
【详解】因为，
又因为，所以.
故选A.
7．【答案】A
【详解】因为，
又，所以．
故选A.
8．【答案】C
【详解】由，可得，解得或，
所以或，所以.
故选C.
9．【答案】D
【详解】由题意得，，
∵，∴.
故选D.
10．【答案】C
【详解】因为，.
所以.
故选C．
11．【答案】D
【详解】，
故选D.
12．【答案】D
【详解】由可得，又，
所以，即为.
故选D.
13．【答案】A
【详解】由题得，，
故选A．
14．【答案】A
【详解】由，则必有，
由，则，可得，
又，根据基本不等式有，
若且，则有，即是的充分条件，
若，则，此时满足，但不成立，
所以是的非必要条件，
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
15．【答案】C
【详解】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
故选C.
16．【答案】A
【详解】由函数，则易知其图象对称中心，
当时，为函数图象的对成中心，
则当时，，充分性成立；
当时，由，可能得到，必要性不成立.
故选A.
17．【答案】A
【详解】已知直线平面，平面平面直线，
若，由平面，则；
若，此时得不到，直线可能与平面相交，如下图：
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
18．【答案】C
【详解】已知等比数列中，若，设公比为.
根据等比数列通项公式，即，解得.
再根据通项公式求，所以由能推出，充分性成立.
若，同样根据等比数列通项公式，即，解得，则.
又因为，所以由能推出，必要性成立.
由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要条件.
故选C.
19．【答案】A
【详解】若，则，所以，即，
所以为焦点在轴上的双曲线；
若为焦点在轴上的双曲线，则对于，即，
可得，即且，不一定得到，
综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件.
故选A．
20．【答案】A.
【详解】由，得，
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意；
当时，所以，
所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或，
所以“”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，
直线与抛物线只有一个公共点不能推出，
“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件.
故选A.
21．【答案】A
【详解】若，这意味着是数列中的最大值.
因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线.
当是最大值时，说明从第项开始数列的项变为非正数，即，且（若，那么，与是最大值矛盾）.
所以由“”可以推出“”，充分性成立.
若，仅知道第项是非负的，但无法确定就是的最大值.
例如，当公差时，数列是递增数列，那么会随着的增大而增大，此时就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A．
22．【答案】D
【详解】如时，等比数列是递增数列，公比，由甲不能推出乙；
当时，如，时，，不是递增数列，
乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，
故选D．
23．【答案】D
【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立，
充分性：若是递增数列，则
即恒成立，又，，
①若数列为无穷数列，
若，则，时，，所以；
若，则，时，，所以，
此时充分性成立；
②若数列为有穷数列，
若， ，只需即可，此时充分性不成立.
必要性：时，
若，有，则不一定成立，故必要性不成立；
即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.
故选D.
24．【答案】B
【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为，
当时，满足，但是不是递减数列，
故充分性不满足；
若为递减数列，则对于任意的，必然有，
故必要性满足；
所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件.
故选B．
25．【答案】D
【详解】因为有且只有两个元素，
所以曲线与有且只有两个交点.
对于曲线变形可得，
表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，
对于曲线，
（1）当时，如图所示，表示的是一条直线，
与交于，两点，符合题意；
（2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意；
（3）当时，表示的是两条射线，
，
①当时， 表示的是和两条射线，
与仅有一个交点，
如下图所示，所以不符合题意；
②当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的左右两支各有一个交点，
如下图所示，所以符合题意；
③当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示，所以符合题意；
综上，实数的取值范围为.
故选D.
26．【答案】B
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，所以是必要条件，
综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
27．【答案】B
【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ，
点,
当点在点时，点在曲线上， ，
当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大；
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小，
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大，
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，增大,逐渐减小，
当点在点时，,
综上可得的最小值是1,
故选B.
28．【答案】(1),；(2)的元素个数为1；(3)证明见详解
【详解】(1),
(2)考虑集合中的元素．
由已知,对任意整数都有,
所以,
所以．
由的任意性可知,是的单调递增排列,
所以．
又因为当时,对任意整数
都有．
所以,所以．
所以集合的元素个数为1．
(3)由(2)知,．
因为,所以．
当时,考虑中的元素．
(i)假设．由已知,,
所以,
又因为,所以．
依此类推,若,则,,．
①若,则满足条件的的排列有1个．
②若,则．
所以．
此时满足条件的的排列有1个．
③若,
只要是的满足条件的一个排列,就可以相应得到的一个满足条件的排列．
此时,满足条件的的排列有个．
(ii)假设,只需是的满足条件的排列,此时满足条件的的排列有个．
综上．
因为,
且当时,,
所以对任意,都有．
所以成等比数列．
29．【答案】（1）具有性质，；
（2）1；
（3）.
【详解】（1）因为，所以具有性质；
因为，
所以．
（2）方法：1：
由性质得，所以，
因为，
所以，
则，，，
所以，
所以，
又因为当时，
具有性质，
且，
所以的最大值为1．
方法2：
先用反证法证明，
假设，
由，则，
所以，同理，
所以，
由，
所以，
与已知矛盾，假设不成立，
所以，
当时，，
此时，
所以的最大值为1．
（3）由性质可得，
所以①，且②，
在①中不妨设，
在②中不妨设，
由对称性可以设，
所以，
所以
，即，
因为存在，（其中有个个），
（其中有个，个）具有性质，
并且，
，
，
所以，
综上最大值为．
30．【答案】(1),；
(2)的元素个数为1；
(3)证明见解析.
【详解】(1),；
(2)考虑集合中的元素.
由已知,对任意整数都有,
所以,所以.
由的任意性可知,是的单调递增排列,
所以.又因为当时,对任意整数
都有.所以,所以.所以集合的元素个数为1.
(3)由(2)知,.因为,所以.
当时,考虑中的元素.
(i)假设.由已知,
所以,又因为,所以.
依此类推,若,则,,.
①若,则满足条件的的排列有1个.
②若,则.所以.
此时满足条件的的排列有1个.
③若,只要是的满足条件的一个排列,
就可以相应得到的一个满足条件的排列.
此时,满足条件的的排列有个.
(ii)假设,只需是的满足条件的排列,此时满足条件的的排列有个.
综上.
因为,且当时,,
所以对任意,都有.所以成等比数列.
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