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查漏知识 02 初中数学中考常考模型
目录
知识一 三角形中的倒角模型 ...........................................................................2
模型 1.三角形中的倒角模型之“A”字模型 .........................................................................................................2
模型 2.三角形中的倒角模型之“8”字模型..........................................................................................................2
模型 3.三角形中的倒角模型之燕尾模型 ...........................................................................................................3
模型 4.三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 .......................................................................................3
模型 5.三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 .......................................................................4
模型 6.三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 .......................................................................................5
模型 7.三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 ...............................................................................5
知识二 全等三角形模型 ..................................................................................6
模型 1.全等三角形模型之截长补短模型 ...........................................................................................................6
模型 2.全等三角形模型之倍长中线模型 ...........................................................................................................7
模型 3.全等三角形模型之一线三等角模型 .......................................................................................................7
模型 4.全等三角形模型之手拉手模型 ...............................................................................................................8
模型 5.全等三角形模型之半角模型 .................................................................................................................10
模型 6.全等三角形模型之 90°-90°对角互补型................................................................................................12
模型 7.全等三角形模型之 60°-120°对角互补型..............................................................................................13
模型 8.全等三角形模型 α—180°-α 对角互补型 ..............................................................................................14
模型 9.全等三角形模型之正方形中的十字架型 .............................................................................................15
知识三 相似三角形模型 ................................................................................16
模型 1.相似三角形模型之“A”字模型 ...............................................................................................................16
模型 2.相似三角形模型之“X”字模型（“8”字模型）......................................................................................17
模型 3.相似三角形模型之“AX”字模型（“A8”字模型） .................................................................................17
模型 4.相似三角形模型之“母子型”模型（共边共角模型）..........................................................................18
模型 5.相似三角形模型之一线三等角模型 .....................................................................................................19
模型 6.相似三角形模型之手拉手模型 .............................................................................................................20
模型 7.相似三角形模型之半角模型 .................................................................................................................21
模型 8.相似三角形模型之对角互补模型 .........................................................................................................23
模型 9.相似三角形模型之矩形中的十字架型 .................................................................................................25
模型 10.相似三角形模型之等边三角形中的斜十字型 ...................................................................................26
知识一 三角形中的倒角模型
模型 1.三角形中的倒角模型之“A”字模型
如图，B、C 分别是∠DAE 两边上的点，连结 BC，形状类似于英文字母 A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在 ABC 中，∠1、∠2 分别为∠3、∠4 的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在 ABC 中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE 中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
模型 2.三角形中的倒角模型之“8”字模型
图 1 图 2
1）8 字模型（基础型）
条件：如图 1，AD、BC 相交于点 O，连接 AB、CD；结论：① A B C D；②
AB CD < AD BC 。
证明：在 ABO 中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在 COD 中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在 ABO 中，AB＜AO+BO；在 COD 中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ AB CD < AD BC 。
2）8 字模型（加角平分线）
条件：如图 2，线段 AP 平分∠BAD，线段 CP 平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段 AP 平分∠BAD，线段 CP 平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得 2∠P=∠B+∠D， 则 P 1 B D ，即 2∠P=∠B+∠D
2
模型 3.三角形中的倒角模型之燕尾模型
图 1 图 2
基本模型：条件：如图 1，凹四边形 ABCD； 结论：① BCD A B D ；② AB AD BC CD 。
证明：连接 AC 并延长至点 P；在△ABC 中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD 中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长 BC 交 AD 于点 P；在△ABQ 中， AB AQ BC CQ；在△CDQ 中，CQ QD CD 。
即： AB AQ CQ QD BC CQ CD ，故 AB AD BC CD 。
拓展模型 1：条件：如图 2，BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC； 结论：∠O= 1 （∠A+∠C）。
2
证明：∵BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC；∴∠ABO= 1 ∠ABC；∠ADO= 1 ∠ADC；
2 2
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= 1 ∠ABC+ 1 ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
2 2
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= 1 （∠A+∠C）。
2
模型 4.三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
1）两内角平分线的夹角模型
图 1 图 2 图 3
条件：如图 1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线 BP，CP 交于点 P；结论： P 90
1
A
2 。
1 1
证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线 BP，CP 交于点 P，∴ PBC ABC ， PCB ACB
2 2 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1 （∠ABC+∠ACB）=180°- 1 （180°-∠A）=90°+ 1 ∠A。
2 2 2
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型 1
条件：如图 2，BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点 P；结论：2∠P=∠A+∠D。
1 1
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，∴ PBC ABC ， PCB DCB
2 2 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1 （∠ABC+∠DCB）=180°- 1 （360°-∠A-∠D）= 1 （∠A+
2 2 2
∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型 2
条件：如图 3，CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点 P；结论：
2 P A B E 180 。
1 1
证明：∵CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，∴ PCD BCD ， PDC CDE
2 2 。
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- 1 （∠BCD+∠CDE）=180°- 1 （540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+
2 2
∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
模型 5.三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
图 1 图 2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
1
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论： P A．
2
1 1
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴ PBC ABC ， PCD ACD
2 2 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= 1 （∠ACD-∠ABC）= 1 ∠A。
2 2
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图 2， A a ，∠ABC、∠ACD 的平分线相交于点P1， P1BC, P1CD 的平分线相交于点P2，
P2BC ， P2CD
a
的平分线相交于点P3 ……以此类推；结论： Pn 的度数是 2n
．
1 1
证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴ PBC ABC ， PCD ACD2 2 。
∴∠P1=∠P1CD-∠P BC= 11 （∠ACD-∠ABC）= 1 ∠A= 1 a 1 1 a。同理：∠P2= ∠P1= a ，∠Pn=
2 2 2 2 22 2n
模型 6.三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
C D
B E
A
图 1 图 2 图 3
1）两外角平分线的夹角模型
1
条件：如图 1，在△ABC 中，BO，CO 是△ABC 的外角平分线；结论： O 90 A ．
2
1
证明：∵BO、CO 平分∠CBE、∠BCF，∴ OBC EBC
1
， OCB BCF
2 2 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- 1 （∠EBC+∠BCF）=180°- 1 （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
2 2
=180°- 1 （180°+∠A）=90°+ 1 ∠A。
2 2
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图 2，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD 平分∠
CAD。
证明：如图 3，过点 D 作 DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD 平分∠CAD。
模型 7.三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
1
1）条件：如图 1，在VABC 中， AD ， AE 分别是VABC 的高和角平分线，结论： DAE C B ．
2
2）条件：如图 2，F 为VABC 的角平分线 AE 的延长线上的一点，FD ^ BC 于 D，结论：
DFA 1 ( C B)
2 ．
图 1 图 2
1
1）证明：∵ AE 平分 BAC ，∴ EAC BAC ，
2
1 1 1
∵ BAC 180 B C ，∴ EAC 180 B C 90 B C2 2 2 ，
1 1 1
∴ EAD EAC DAC 90 B C 90 C C B 2 2 ；2
2 1）证明：如图，过A 作 AG ^ BC 于G ，由（2）可知： EAG ( C B)2 ，
Q AG ^ BC ， AGB 90 ，QFD ^ BC ，\ FDC 90 ，\ AGD FDC ，\ FD∥ AG ，
1
\ AFD EAG ，\ AFD ( C B)2 ．
知识二 全等三角形模型
模型 1.全等三角形模型之截长补短模型
条件：AD 为△ABC 的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法 1（截长法）:在线段 AC 上截取线段 AB′＝AB，连接 DB。
∵AD 为△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法 2（补短法）:延长 AB 至点 C′使得 AC′＝AC，连接 BC′。
∵AD 为△ABC 的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
模型 2.全等三角形模型之倍长中线模型
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。 结论： ABD ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AB 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长 ED，使 DF=DE，连接 CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
模型 3.全等三角形模型之一线三等角模型
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： A CED B ，AE=DE； 结论：VABE VECD ，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： DCF ABC AED，AE=DE； 结论：VABE VECD ，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴VABE VECD ，
∴ AB EC ，BE CD，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵ DCF ABC ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ABC AEB A，∠AED=∠AEB+∠CED， ABC AED ，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴VABE VECD ，
∴ AB EC ，BE CD，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
模型 4.全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接 BE，AD 交于点 F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接 BE，AD 交于点 N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接 BE，AD 交于点 F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型
条件：四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接 BG，ED 交于点 N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
模型 5.全等三角形模型之半角模型
1）正方形半角模型
条件：四边形 ABCD 是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋
DF；④ AEF 的周长=2AB；⑤CE、CF 分别平分∠BEF 和∠EFD。
证明：将△CBE 绕点 C 逆时针旋转 90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD 是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故 F、D、G 共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴ AEF 的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点 C 作 CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用 HL 证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即 CE、CF 分别平分∠BEF 和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件： ABC 是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
证明：将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；
3）等边三角形半角模型（120°-60°型）
条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且 BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④ AEF 的周长=2AB；
⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC。
证明：将△DBE 绕点 D 顺时针旋转 120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴ AEF 的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点 D 作 DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用 HL 证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即 DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）
条件： ABC 是等边三角形，∠EAD=30°；
1 2
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝( BD＋EC)2+ 3 ；
2 BD2
证明：将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
1 1 3 3
过点 F 作 FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH= CF= BD，FH= CF= BD，
2 2 2 2
∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2
1 3
,∴DE2＝( BD＋EC)2+( BD)2
2 2
模型 6.全等三角形模型之 90°-90°对角互补型
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ 2 OC，③ S S S 1 2 .ODCE VCOE VCOD OC2
证明：过点 C 作 CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC 平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
根据上述条件易证：四边形 ONCM 为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，
又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON= 2 OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S 1 2△MCD=S△NCE，∴ SODCE SVONCD SVCNE SVONCD SVCMD SVONCM OC2
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC 平分∠AOB.[ ]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ 2 OC，③ S 1VCOE SVCOD OC
2 .
2
证明：过点 C 作 CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC 平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，
∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形 ONCM 为正方形，
∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON= 2 OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S 1 2△MCD=S△NCE， S .VCOE SVCOD SVCNE SVCON SVCMD SVCMO SVCON SVCMO OC2
模型 7.全等三角形模型之 60°-120°对角互补型
1）“等边三角形对 120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ S S 3 2 .VCOD VCOE OC4
证明：过点 C 作 CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC 平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
1 3
∵OC 平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
2 2
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴
S 3 2 。VCOD SVCOE SVCMO SVCMD SVCNE SVCON SVCON SVCMO OC4
2）“等边三角形对 120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC 平分∠AOB，∠DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ S 3 2 .VCOD SVCOE OC4
证明：过点 C 作 CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC 平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°
∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
1 3
∵OC 平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
2 2
又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S 3 2△MCD △NCE，∴ S 。VCOD SVCOE SVCMO SVCMD SVCNE SVCON SVCON SVCMO OC4
模型 8.全等三角形模型 α—180°-α 对角互补型
1）“α 对 180°-α 模型”
条件：四边形 ABCD 中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP 平分∠AOB。
证明：过点 P 作 PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，
∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP 平分∠AOB。
注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP 平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
模型 9.全等三角形模型之正方形中的十字架型
条件：1）如图 1，在正方形 ABCD 中，若 E、F 分别是 BC、CD 上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。
证明：Q四边形 ABCD是正方形，\ ABE C 90 ， AB BC ，∴ BFC CBF 90
QAE⊥BF，∴ AEB CBF 90 ，\ AEB BFC ，\△ABE≌△BCF SAS ，∴AE=BF。
条件：2）如图 2，在正方形 ABCD 中，若 E、F、G 分别是 BC、CD、AB 上的点，AE⊥GF；结论：
AE=GF。
证明：在 FC 上取一点 P，使得 GB=PF，连结 BP。
Q四边形 ABCD是正方形，∴AB//CD，∴四边形BPFG是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同 1）中证明，可得 AE=GF。
条件：3）如图 3，正方形 ABCD 中，若 E、F、G、H 分别是 BC、CD、AB、AD 上的点，EH⊥GF；
结论：HE=GF。
证明：在 FC、BE 上取一点 P、Q，使得 GB=PF，AH=QE，连结 BP、AQ。
Q四边形 ABCD是正方形，∴AB//CD，∴四边形BPFG是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同理可证得：四边形 AQEH 是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同 1）中证明，可得 HE=GF。
知识三 相似三角形模型
模型 1.相似三角形模型之“A”字模型
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹
这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型
图 1　 　图 2 　 　 图 3
图 4
AD AE DE
①“A”字模型 条件：如图 1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC ＝ ＝ 。
AB AC BC
AD AE DE
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
AD AE DE
②反“A”字模型 条件：如图 2，∠AE D＝∠B；结论：△ADE∽△ACB ＝ ＝ 。
AC AB BC
AD AE DE
证明:∵∠AE D＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴ ＝ ＝ 。
AC AB BC
③同向双“A”字模型 条件：如图 3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC EG FG AG 。
BD CD AD
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
AD AE DE
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
④内接矩形模型 条件：如图 4，△ABC 的内接矩形 DEFG 的边 EF 在 BC 边上，D、G 分别在 AB、AC 边
上，且 AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM DG AN AN 。
BC AB AM
证明:∵DEFG 是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴ DG AN AN 。
BC AB AM
模型 2.相似三角形模型之“X”字模型（“8”字模型）
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个
三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型
图 1 图 2 图 3 图 4
①“8”字模型
AB OA OB
条件：如图 1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD ＝ ＝ 。
CD OC OD
AB OA OB
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴ ＝ ＝ 。
CD OC OD
②反“8”字模型
AB OA OB
条件：如图 2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC ＝ ＝ 。
CD OD OC
AB OA OB
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴ ＝ ＝ 。
CD OD OC
③平行双“8”字模型
条件：如图 3，AB∥CD；结论： AE BE AB 。
DF CF CD
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴ AE BE AB 。
DF CF CD
④斜双“8”字模型
条件：如图 4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC ∠3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即 AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
模型 3.相似三角形模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型
图 1 图 2 图 3
①一“A”+“8”模型 条件：如图 1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF， AD AE DE DF FE 。
AB AC BC FC BF
AD AE DE
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴ DE DF FE 。
BC FC BF
AD AE DE DF FE
∴ 。
AB AC BC FC BF
②两“A”+“8”模型 条件：如图 2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED， 1 1 1 。
AF BC DE
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴ DF AF 。
DC BC
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴ CF AF 。
CD DE
两式相加得到： DF CF AF AF AF AF ，即1 ，故 1 1 1 。
DC DC BC DE BC DE AF BC DE
③四“A”+“8”模型 3 条件：如图 3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG， 1 1 1 1 2 。
BC DE AF AG GF
证明:同②中的证法，易证： 1 1 1 1 1 1 ， ，
BC DE AF BC DE AG
∴ 1 1 ，即 AF=AG，故 1 1 1 2 。
AF AG GF BC DE GF
2
模型 4.相似三角形模型之“母子型”模型（共边共角模型）
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似
子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三
角形相似。
图 1 图 2 图 3 图 4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图 1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ AD AB ，∴AB2＝AD·AC.
AB BC
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图 2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ AC AD ，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
AB AC
3）“母子”模型（变形）
条件：如图 3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图 1，在四边形 ABCD中，对角线BD平分 ABC ， ADB DCB ，结论： BD2 BA × BC ；
证明：∵对角线BD平分 ABC ，∴∠ABD=∠CBC，
∵ ADB DCB ，∴△ADB∽△DCB，∴ AB DB ，∴BD2 BA × BC
DB BC
模型 5.相似三角形模型之一线三等角模型
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图 1 图 2
图 3
①特殊中点型：条件：如图 1，若 C 为 AB 的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴ AE CE ，∵C 为 AB 的中点，∴AE=EB，∴ BE CE ，∴ BE BD ，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
BD ED BD ED CE ED
②一线三直角变异型 1：条件：如图 2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型 2：条件：如图 3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
模型 6.相似三角形模型之手拉手模型
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图
形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后 2 个
三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE=a ， AD AB k ；
AE AC
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； BD k ；∠BFC=∠BAC.
EC
证明：∵ AD AE k ，∴ AD AE ，∵∠BAC=∠DAE=a ，∴△ADE∽△ABC，
AB AC AB AC
∵∠BAC=∠DAE=a ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵ AD AB k ，∴△ABD∽△ACE，∴ BD AB k ，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=a ，
AE AC EC AC
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图， AOB COD 90 ， OC OA k ；
OD OB
结论：△AOC∽△BOD； AC k ，AC⊥BD， S 1 .
BD ABCD
AB CD
2
证明：∵ AOB COD 90 ，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵ OC OA k ，∴△AOC∽△BOD，∴ AC OA k ，∠OAB=∠OBD，
OD OB BD OB
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴ S 1ABCD AB CD .2
模型 7.相似三角形模型之半角模型
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形 ABCD 中，∠EAF 的两边分别交 BC、CD 边于 M、N 两点，且∠EAF＝45°
结论：如图 1，△MDA∽△MAN∽△ABN；
图 1 图 2
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图 2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图 3，连接 AC，则△AMB∽△AFC △AND AF AE AC， ∽△AEC．且 2 ；
AM AN AB
A D A D
45° 45°
N N
F F
M M
B E C B E C
图 3 图 4
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45° AC， 2 ，∴∠BAM+∠MAC=45°，
AB
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC AF AC，∴ 2 。
AM AB
AE AC AF AE AC
同理：△AND∽△AEC， 2 ；即 2 。
AN AB AM AN AB
4 △AMN AFE AF AE EF结论：如图 ， ∽△ 且 2 ．
AM AN MN
证明：∵ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=
∠ AMN ；又∠ MAN=∠ FAE ，∴△ AMN AFE 3 AF AE AC∽△ ，由图 证明知： 2 ，∴
AM AN AB
AF AE EF
2 。
AM AN MN
2）半角模型（含 120-60°半角模型）
图 5
条件：如图 5，已知∠BAC＝120°， ADE DAE 60 ；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；② AD CE AC ；③ AD × AE BD ×CE （DE2 BD ×CE ）。
BD AE AB
证明：∵ ADE DAE 60 ，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴ AD BD ，即： AD AC ，
AC AB BD AB
同理：△CAE∽△CBA，∴ CE AE ，即： CE AC ，即：△ABD∽△CAE∽△CBA； AD CE AC ，
AC AB AE AB BD AE AB
∴ AD × AE BD ×CE ，∵AD=AE=DE，∴DE2 BD ×CE
模型 8.相似三角形模型之对角互补模型
1）对角互补相似 1
条件：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝∠EOF＝90°，点 O 是 AB 的中点，
OE BC
结论：如图，过点 O 作 OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为 D，H，则：①△ODE △OHF；②
OF AC
证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为 D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，
∵∠C＝90°，∴四边形 OHCD 为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE △OHF OE OD，∴ ，
OF OH
∵∠C＝∠OHD＝90°，点 O 是 AB 的中点，∴H 为 BC 中点，∴BH OD BH＝CH，∴BH＝DO，∴
OH OH
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B △OHB △ACB BH BC OE OD BH BC，∴ ，∴ ，∴
OH AC OF OH OH AC
2）对角互补相似 2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝a .
结论 1：如图 1，过点 C 作 CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为 F，G；则①△ECG △DCF；②CE＝
CD· tana .
证明：法 1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为 F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四边形 OGCF 为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG △DCF CE CG，∴ ，
CD CF
∵CF=OG CE CG CG，∴ ，∵在 Rt△COG 中， tana ，∴CE＝CD· tana
CD OG OG
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝a .
结论 2：如图 2，过点 C 作 CF⊥OC，交 OB 于 F；则：①△CFE △COD；②CE＝CD· tana .
证明：法 1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
DOC CFO CFE △COD CE CF Rt△OCF tana CF∴∠ ＝∠ ，∴ ，∴ ，∵在 中， ，∴CE＝CD· tana .
CD CO OC
3）对角互补相似 3
条件：已知如图，四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点 D 作 DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为 E、F；则：①△DAE △DCF；②A、B、C、D 四
点共圆。
证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D 四点共圆。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE △DCF；
模型 9.相似三角形模型之矩形中的十字架型
1 DE AD）条件：如图 1，在矩形 ABCD 中，若 E 是 AB 上的点，且 DE⊥AC，结论： .
AC CD
证明：Q四边形 ABCD为矩形，\ DAE CDA 90 ，\ ADE EDC 90 ；
Q DE AD DE BCDE⊥AC，\ EDC DCA 90 ，\ ADE DCA，\VDEA VCAD ，\ ，\ .
AC CD AC AB
2 EF BC）条件：如图 2，在矩形 ABCD 中，若 E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 EF⊥AC，结论： .
AC AB
证明：如图，过点 F 作FG ^ AB于点 G，则 EGF 90 ；
Q四边形 ABCD为矩形，\ D DAB B 90 ，\四边形 AGFD为矩形，\ FG AD, DFG 90 ；
\ GFE EFC 90 ；QEF⊥AC，\ EFC ACD 90 ，\ GFE ACD；
Q EGF D 90 \ EF FG EF BC ， △GEF △DAC，\ ，易证：DC=AB，FG=BC，\ .AC DC AC AB
3）条件：如图 3，矩形 ABCD 中，若 E、F、M、N 分别是 AB、CD、AD、BC 上的点，EF⊥MN，结论：
EF BC
.
MN AB
证明：如图：过点 N、F 作 NH 、FG 垂直 AD，AB，\ NHM FGE 90 ；
Q四边形 ABCD为矩形，\ A AGO 90 ，\四边形 AGOH为矩形，\ FG ^ NH ；
∵EF⊥MN，FG ^ NH ，∴ GFE FOH HNM NOE 90 ；
又∵ FOH NOE （对顶角相等），∴ GFE HNM ；
EF FG EF BC
∴RtVHNM ∽RtVGFE ，\ ，易证：NH=AB，FG=BC，\ .
MN NH MN AB
模型 10.相似三角形模型之等边三角形中的斜十字型
证明：如图，在等边VABC中， AB AC ， ABC C 60 ，
AB BC

在VABP与VCAQ中， ABC C ，\VABD VBCE SAS ，∴AD=BE，

BD EC
BAD CBE ；
\ AFE ABF BAD ABF CBE ABC 60 ，∴AD 和 BE 夹角为 60°；
Q BAD CBE ， BDF ADB，\ VBDF VADB ，同理：VBDF VBEC
\△ADB∽△BDF ∽△BEC ，

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