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四川省宜宾市2025年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·宜宾）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·宜宾）下列立体图形是圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·宜宾）一组数据：的平均数为6，则的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2025·宜宾）满足不等式组的解是（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
5．（2025·宜宾）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．3 D．
6．（2025·宜宾）采采不学办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
7．（2025·宜宾）如图，是的弦，半径于点．若．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
8．（2025·宜宾）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，真金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·宜宾）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025·宜宾）如图，在中，，，，过点作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）
A． B．4 C．2 D．2
12．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，且．以下结论：①②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（2025·宜宾）分解因式：　 　．
14．（2025·宜宾）分式方程的解为　 　．
15．（2025·宜宾）如图，已知是的圆周角，，则　 　°
16．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
17．（2025·宜宾）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5=　 　．
18．（2025·宜宾）如图，在中，，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结AD，使得面积为24，连结，则的最大值是　 　.
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（2025·宜宾）
（1）计算：；
（2）计算：.
20．（2025·宜宾）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）.根据调查结果，制成了如下的统计图.
请结合图中信息解答下列问题．
（1）本次共调查了 ▲ 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是 ▲ ，并补全条形统计图；
（2）若七年级新生共有600人，估计有　 　人喜欢乒乓球运动；
（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动.学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率.
21．（2025·宜宾）如图，点是平行四边形边的中点，连结并延长交BC的延长线于点．求证：，并求的长.
22．（2025·宜宾）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上.直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进80米到达B处.直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
（1）求圆心角的度数；
（2）求的弧长（结果精确到0.1米）．
23．（2025·宜宾）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中
（1）求一次函数的表达式，并求的面积．
（2）连结，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
24．（2025·宜宾）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点作于点，连结、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求与的长度；
（3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
25．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中．
（1）求b、c的值；
（2）点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标；
（3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】D
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】
解：A、该图形为球，故A不符合题意；
B、该图形为圆锥，故B不符合题意；
C、该图形为圆台，故C不符合题意；
D、该图形为圆柱，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据圆柱的定义： 是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体，逐一判断即可解答.
3．【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】
解：
解得a=10
故答案为：D.
【分析】根据平均数的定义：一组数据的平均数等于这组数据的和再除以个数，列出方程即可解答.
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由不等式组的解集为：
∴x=1符合条件
故答案为：C.
【分析】根据求不等式组口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集为，解答即可．
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：
A、m3m=m3-1=m2， 计算正确，故A符合题意；
B、， 计算错误，故B不符合题意；
C、 3 m2， 计算错误，故C不符合题意；
D、， 计算错误，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减可判断A；根据积的乘方法则，(ab)n =anbn可判断B；根据合并同类项时，系数相减可判断C；根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可判断D；逐一判断即可解答.
6．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】
解：设答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，
根据题意得： 10x- 5(20-x)≥80，
解得： x≥12，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对12道题.
故答案为：C.
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，根据得分规则建立不等式10x- 5(20-x)≥80，求解x的最小整数值，解答即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：∵ OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=x8=4，
又∵OA=OC=5，
∴在RtOAD中，OD= ，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理计算即可解答.
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
解：由第一个条件：“5头牛、2只羊，共值金10两”对应方程：5x+ 2y= 10，
第二个条件：2头牛、5只羊，共值金8两 ，对应方程：2x十5y=8，
故答案为：A.
【分析】根据题意，设每头牛值金x两，每只羊值金y两，找到两个等量关系：5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两 ；列出方程即可解答.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】
解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴将x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
10．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】
解：如图所示，过点D作DF// BC交AC于点F，
∵AD= 2DB
∴
∴
∵ DF// ВC ，
∴AFD~ACB ，
∴
∴
设S AFD=4x，S ACB=9x，
∵沿DE将ABC剪成面积相等的两部分，
∴S ADE=，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】过点D作DF// BC交AC于点F，根据比列的性质得到，由DF// ВC 得到AFD~ACB ，根据相似三角形的性质得到，设S AFD=4x，S ACB=9x，根据折叠的性质得到S ADE=，计算可得，最后进行计算即可解答.
11．【答案】B
【知识点】四边形-动点问题；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得AG=AC=2，连结CG， GF，过点F作FH⊥l于点H，
∵直线l// BC，∠ACB = 90° ，
∴∠CAG=90°，
∵EF⊥CE， tanECF =，
∴tan∠ECF=，
∴，
∵∠CEF= ∠CAG=90°，
∴
∴.
∴.
∴
∴∠CGF=∠CAE =90°，
∴ ∠ACG+ ∠AGC=90°，∠AGC+ ∠HGF =90°，
∴∠ HGF = ∠ACG，
∵tan∠ACG==，
∴∠ACG和∠HGF都是定值，
∴点F在射线GF上运动，
∴当BF⊥GF时，BF最短(如图2所示)，
延长HF，CB相交于点N.
∵ACB=CAH =∠AHN =90° ，
∴四边形ACNH是矩形，
∴HN=AC=4， AH=CN.
∵BFGF，CGF =90·，
∴ BF//CG，
∴FBN=GCN.
∵ AH //CN，
∴CGA=GCN，
∴FBN=CGA.
∵FNB=CAG =90，
∴FNBCAG，
∴
∵AG=
∴FN =2BN ，
设BN=x，则FN=2x， CN=5+x，
∴FH=4-2x，
∴AH =CN=x+5，
∴GH =(x+5)-2=x+3，
∵tanACG=tanHGF，
∴
∴
解得x=1，
∴BN=1. FN=2， FH=2， GH=4，
∴GF=，CG=，
∵
∴
∴
解得AE=4
∴当BF最短时，AE的长度为4.
故答案为：B.
【分析】 在点A的右侧取一点G，使得AG=AC=2，连结CG， GF，过点F作FH⊥l于点H，根据相似三角形的判定与性质，得出∠ACG和∠HGF都是定值，进而得出点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求行GF利CG的长，最后根据相似三角形的性质，即可解答.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】
解： ① 、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴为，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①错误；
② 对称轴为直线x=-=-2
∴a=
∵A(2，0)在抛物线上
∴4a+2b+c=0
∴b+2b+c=0.
∴c=-3b，
∴-3<-3b<-2
∴③ 、如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将x=-2代入
把a=，c=-3b代入得：y=-4b
∵对称轴为直线x=-2，A(2，0)，
∴AE=4，
∴tan∠CAD ===b<1，
∴∠CAD <45°，
∵CD= AD，
∴∠ACD=∠CAD<45°，
∴∠ADC> 90°，
∴ACD是钝角三角形，故③正确；
④ 、∵∴当b=时，a=，
∴方程ax2 +(b-2)x+c=0转化为x2-x-2=0，
解得x=4+2，
∴当b=1时， a=，
∴方程ax2 +(b-2)x+c=0转化为x2-x-3=0，
解得x=-2或6；
∵方程ax2 +(b-2)x+c=0的两根为x1、x2(x1∴2综上所述，其中正确结论有3个.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线开口向上得a>0，根据对称轴为得b>0，根据抛物线与y轴交于负半轴得c<0，即可判断 ① ；由对称轴为直线x=-=-2可得a=，由A(2，0)在抛物线上可得4a+2b+c=0可得c=-3b，结合已知c的范围即可求出b的范围，可判断 ② ；将x=-2代入解析式中结合a=可得y=-4b，即可根据tan∠CAD判断∠CAD <45°，即可判断 ③ ；由13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
14．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
解：去分母：x+x-2=0，
合并：2x-2=0，
移向：2x=2，
系数化为1：x=1，
检验：当x=1时，x(x-1)0，
故x=1是原方程的解，
故答案为：1.
【分析】根据解方式方程的步骤逐一计算得到x=1；再检验即可解答.
15．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解：∵∠BAC是 的圆周角，∠BAC=40° ，
∴∠BOC= 2∠BAC = 80° ，
∵ OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB =，
故答案为：50.
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可解答.
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
17．【答案】58
【知识点】解一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：设a1+a2+a3+a4+a5=m，那么去掉a1后和为m-a1；去掉a2后和为m-a2；去掉a3
和为m-a3；去掉a4后和为m-a4；去掉a5后和为m-a5；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设m-ai=m-aj(i≠j)，
那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3， m-a4， (假设a5 与前面某一个数相等)，
∵这四个值分别是45、46、 47、48，
∴(m-a1)+(m-a2)+(m-a3)+(m-a4)=45+46+47+48=186，即4m-(a1+a2+a3+a4)= 186，
∵a1+a2+a3+a4+a5 =m
∴a1+a2+a3+a4 =m-a5，
∴4m-(m-a1)=186，即3m+a5= 186；
当m-a5=m-a1=45时，即a5=m-45 ；
∴3m+m-45= 186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当m-a5=m-a2=46时，即a5=m-46；
∴3m +m-46=186，解得： m=58，符合题意；
当m-a5=m-a3=47时，即a5=m-47 ；
∴3m+m-47=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当 m-a5=m-a4= 48时，即a5=m-48；
∴3m +m-48=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
综上，m=58，即a1+a2+a3+a4+a5 =58.
故答案为：58.
【分析】 设a1+a2+a3+a4+a5=m， 由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设 m-ai=m-aj(i≠j)， 那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3，m-a4， (假设a5 与前面某一 个数相等) 且这四个值分别是45、46、47、 48； 再说明3m+a5= 186，然后分四种情况解答即可.
18．【答案】
【知识点】旋转的性质；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD ，
∴ACD= 90°，
∵ACD面积为24，
∴AC·CD·=24
∴ AC·CD= 48，
过点C向上作线段CF⊥BC，使得CE=8，
∵BC=6.
∴BC·CE=6x8=48
即AC·CD= BC·CE
∴
连接DE，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE= CACD= 90°，
∵∠BCE-∠ACE=∠ACD- ∠ACE，
∴∠ACB= ∠ECD，
∵
∴CEDACB，
∴∠EDC= ∠ABC =90°，
∵CE=8，即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，.
记圆心为直径CE的中点O，
即的半径OD=4
连接OB，并延长与交于-一点，即为D1，
此时BD1为BD的最大值，
故BO=
∴BD= BO+OD=2+4.
故答案为：.
【分析】先整理得ACxCD=48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE=8，得到结合∠BCE=∠ACD= 90°，整理得ACB=ECD，证明△CEDACB，即EDC=ABC = 90°，可运用定角定弦，得点D在以CE为直径的圆上，连接OB，并延长与交于一点，即为D，再运用勾股定理得BO=2，即可解答.
19．【答案】（1）解：原式=2-4
=2-2+
=
（2）解：原式=
=
=1
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根；分式的乘法；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】(1)先开平方运算，算特殊三角函数函数值，化简绝对值，最后算加减即可解答；
（2）先进行同分母的减法运算得到，因式分解x2-1=(x+1)(x-1)，再约分计算即可解答.
20．【答案】（1）解：100，10，
补全条形统计图如图：

（2）150
（3）解：列表如下：
　 甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
∴共有12种等可能的结果，同时选中甲乙的有2种结果，
∴同时选中甲乙两人的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
解：(1)本次共调查了：名学生，
喜爱舞蹈的学生人数是喜爱舞蹈的学生人数是：人，
故答案为：100，10．
（2）600
估计有150人喜欢乒乓球运动．
故答案为：150.
【分析】
（1）利用演讲与口才的人数5除以所占的百分比5%，即可得到总人数；再用总人数乘以舞蹈占的百分比10%得到舞蹈的人数，不全图形，解答即可；
（2）根据样本估计总体：用总体人数600乘以样本所占的的比例，解答即可；
（3）先列出表格，找到共有12种等可能的结果，同时选中甲乙的有2种结果，再利用概率公式计算即可解答.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC =AD=5，
∴∠D= ∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在ADE和FCE中，
∴△ ADEFCE(ASA)，
∴FC=AD=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10.
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】现根据平行四边形的性质得到BC//AD，BC =AD=5，再利用平行线的性质得到∠D=∠FCE，结合中点的定义得到DE=CE，即可由ASA证明△ ADEFCE(ASA)，再由全等三角形的性质即可解答.
22．【答案】（1）解：∵直线AP与所在 相切于点P，
∴∠APO=90°，
∵∠PAO=45°，
∴∠PON=90°-∠PAO=45°；
（2）解：∵直线BQ与PN所在OO相切于点Q，
∴∠BQO=90°，
∵∠QBO=60°，
∴
设BQ=X，BO=2x，
∴ OQ =OP =，
∵AB=8.0m，
∴AO = AB + BO =(8.0+2x)m，
∵在RtAPO中，∠A=45°，
∴sinA = sin45°=
∴
解得x=
∴OP==12
∴
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长
【解析】【分析】
(1)根据切线的性质得到∠APO=90°，结合已知条件计算即可解答；
（2）由∠QBO=60°，利用三角函数得到，设BQ=X，BO=2x，利用勾股定理得到OQ =OP ，再表示出AO = (8.0+2x)m，再利用∠A=45°的三角函数建立方程，解方程可得x=，即可求出OP，再利用弧长公式计算即可解答.
23．【答案】（1）解：把A(-2，1)代入到 中得：1=
解得k =- 2，
∴反比例函数解析式为y＝
∵反比例函数交于另一点
∴ C(-1，2)，
把A(-2，1)， C(-1，2)代入到y =mx +b中得：
解得
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
在y=x+3中，当y=x+3＝0时，x=-3，
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
∴M(-3，0)，
∴OM=3，
∴SAOM=OM·IyAl=x3×1=
（2）(2) ∵直线AB经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B(2，-1)，OA=OB，
∴ A(-2，1)， C(-1，2)，
∴AC=，同理计算BC=3，AB=2，
∴ AC2 +BC2=()2 +(3)2=2 +18= 20， AB2 =(2)2 =20，
∴AC2 +BC2 =AB2，
∴∠ACB=90°，
∵BC⊥AC，
∴OA与AC不垂直，
∵△OAD与△ABC相似，
∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，
当OAD∽BAC时，则，∠ODA= ∠BCA=90°，
∴AD=AC，OD/ /BC，
∴此时点D为AC的中点，
∴点D的坐标为(-)，
当△OAD∽△CAB时，
∴
∴AD=5，OD=3，
设D(d，d +3)，
解得d=3，
∴d+3=6，
∴点D的坐标为(3，6)；
综上所述，点D的坐标为(-)或(3，6).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数y=mx+b的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点м的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可解答；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式得到AC，BC，AB即可由勾股定理的逆定理可证明∠ACB=90°，则只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况；再分别讨论这两种情况，利用相似的性质得到对应边成比例建立关系计算即可解答.
24．【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OD=OE，
∴∠ODE = ∠OED，
∵∠AED = ∠ADC，
∴∠ODE = ∠ADC，
∵AE是 的直径，∠ADE=90°，
∴∠ODC = ∠ADC+ ∠ODA= ∠ODE+ ∠ODA=90°，
∵OD是的半径；
∴直线BC是的切线；
（2）解： ∵∠C = ∠ADE=90°，∠ADC = ∠AED，
∴∠CAD = ∠DAE，
∵tan∠CAD=tan∠DAE =2， tan∠DAE=，
∴=，
∵AD2 + DE2= AE2，AE =10，
∴(DE)2 + DE2 = 102，
∴DE=6，
∵∠BDE = ∠CAD，∠CAD = ∠DAE，
∴∠BDE = ∠DAE，
∵∠B=∠B，
∴
∴
∴ BE =BD，
∵OD=OE=AE =5，
∴OB=OE+BE=5+BD
∵OD2+ BD2=OB2，
∴52 +BD2=(5+BD)2，
解得BD=0(舍去)或BD=
（3）解：过点E作EG ⊥ BF于点G，则∠DGE=90°，
当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到AE的距最大，点F是AE的中点，
∴AF=EF，
∴AF =EF，
∵∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠EAF =(180°- ∠AFE) =45°，
∴∠EDF=∠EAF=45°，
∴∠DEG=90°-∠EDF=45°，
∴DG=EG，DG2+EG2=DE2，DE=6，
∴DG=EG=3，
∵AE=10，
∴EF =AE
∴FG=，
∴DF=DG+FG=7.
【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)连接OD，可得 ∠ODE =∠OED，∠ODE= ∠ADC，由圆周角定理可得CADE =90*，可得∠ODC=90°，根据切线的判定定理即可得直线BC是的切线；
(2)先结合已知条件得到∠CAD=∠DAE，再由tan∠CAD= tan∠DAE=2，得=，再根据勾股定理计算出DE=6，即可由AA判定得到由OD2+BD2 =OB2 ，计算可得到BD的值，解答即可；
(3)过点E作EG⊥BF于点G，则∠DGE =90°，当四边形ADEF面积最大时，△AEF 面积最大，点F是E的中点，可得AF=EF ，得∠AEF =∠E4F =45° ，得∠EDF=∠EAF =45° ，∠DEG=45° ，即可由勾股定理计算得DG=EG=3，从而得到EF =AE，再由勾股定理得到FG=4 ，最后由线段的和差计算即可解答.
25．【答案】（1）解：由题分别把A(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，
得，
解得b=2，c=3
（2）解：由(1)得b =2， c = 3，
则y=-x2 +2x+3，C(0，3)，
令y=0，则0=-x2+2x+3=（-x+3)(x+1)，
x1=3，x2=-1，
故B(-1，0)，A(3，0)，
分别过点E、D作EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示：
∵EN⊥OA，DM⊥OA，
∴∠ENB=∠DMB=90°，
∵∠DBM= ∠EBN，
∴DMB∽ENB，
∴
∵DE：BE=1：2，
∴DB：BE=3：2，
∴
设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，
设AC的解析式为y = kx + r(k ≠ 0)，
∵C(0，3)， A(3，0)，
∴
解得r=3，k=-1；
∴AC的解析式为y=-x+3，
把y＝2m代入y=-x+3，得 2m =-x+3，
∴x=3-2m，
∴E(3-2m，2m)，
设BE的解析式为y = tx + q(t ≠ 0)，
把E(3-2m，2m)，B(-1，0)分别代入y =tx + q，
解得
BE的解析式为y=
依题意，把y=3m代入得 3m
则x=5-3m，
即点D(5-3m，3m)，
∵点D为抛物线上第一象限内一点，且y=-x2+2x+3，
∴3m =- (5-3m)2 +2(5-3m) + 3，
整理得3m2-7m+4=(m-1)(3m-4) = 0，
∴m1=1，m2 =
此时y=的2-m ≠ 0，
故m1=1，m2= 43是符合题意的，
当m=1时，则5-3m=5-3=2，3m=3，此时D(2，3)，
当m=43时，则5-3m=5-4=1，3m=3×43=4，此时D(1，4)，
综上：D(2，3)或D(1，4)；
（3）解：存在，理由如下：
由(2)得y =-x2 +2x +3，
整理y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∵F为抛物线的顶点，
∴F(1，4)，
∵平移抛物线使得新顶点为P(m，n)(m>1)，P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，
连结FP、PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN=120°，如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为y=-(x-m)2 +n，
把x=1 代入y=-(x-m)2+n，
得yN =-(1-m)2 +n，
∵点P(m，n)在y =-(x-1)2 +4 上，
∴n=-(m-1)2+4，
∴ (m-1)2=4-n，
∴yN =-(1-m)2+n=-4+n+n=-4+2n，
∴N(1，-4+2n)，
∵P(m，n)， N(1，-4+2n)， F(1，4)，
∴PF2=(m-1)2+(n-4)2， PN2=(m-1)2+[n-(-4+2n)]2=(m-1)2+(n-4)2，
则PF2 = PN2，即PF＝PN，
∴ΔPFN是等腰三角形，
∵∠FPN=120°，
∴∠EPH=x 120° =60°，
则 tan∠FPH=tan60°=
∴4-n=(m-1)，
令t=m-1，
∴4-n=t，即n=-t+4，
∵n=-(m-1)2+4，
∴-t+4，=-t2+4，即t2-t=0，
∴ t(t-)=0，
∴t1=0，t2=，
∴m-1=0，或m-1=，
∴m=1(舍去)或m=+1，
∴P(1+，1)，
∴平移后的抛物线解析式为y＝-(x-1-2+1，
令y=0，则0＝-(x-1-)2+1，
∴ (x-1-)2=1，
即x-1-=±1，
∴x1=2+，x2=，
则Ix1-x2l=2+-=2，
∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
(1)根据用待定系数法求解析式，分别把A(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，进行计算，即可解答.
(2)令y=0先求解B(-1，0)，A(3，0)，再利用AA证明DMB∽ENB，利用相似三角形的性质得到DE：BE=1：2，转换比例关系得到，于是设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，再分别求出 AC 的解析式为y=-x+3，BE 的解析式为y=即可得到D(5-3m，3m)，因为点D为物线上第一象限内一点，代换得到3m=-(5-3m)2+2(5-3m)+3，解得m1=1，m2= 43 ，解答即可.
（3）根据F为抛物线的顶点求出F(1，4)再整理得平移后的抛物线的解析式为y=-(x-m)2+n，因为点P(m，n)在y=-(x-1)2+4，则(m-1)2=4-n，即N(1，-4+2n)，故PF2＝PN2，所以△PFN是等腰三角形，
再结合解直角三角函数得 tan∠FPH=tan60°=，代入数值计算得4-n=(m-1)，再运用换元法进行整理得到m-1=0，或m-1=，即可求出P(1+，1)，从而可的平移后的抛物线解析式为y＝-(x-1-2+1，再令y=0求出x1=2+，x2=，即可求出两个交点之间的距离，解答即可.
1 / 1四川省宜宾市2025年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·宜宾）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．（2025·宜宾）下列立体图形是圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】
解：A、该图形为球，故A不符合题意；
B、该图形为圆锥，故B不符合题意；
C、该图形为圆台，故C不符合题意；
D、该图形为圆柱，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据圆柱的定义： 是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体，逐一判断即可解答.
3．（2025·宜宾）一组数据：的平均数为6，则的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】
解：
解得a=10
故答案为：D.
【分析】根据平均数的定义：一组数据的平均数等于这组数据的和再除以个数，列出方程即可解答.
4．（2025·宜宾）满足不等式组的解是（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由不等式组的解集为：
∴x=1符合条件
故答案为：C.
【分析】根据求不等式组口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集为，解答即可．
5．（2025·宜宾）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．3 D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：
A、m3m=m3-1=m2， 计算正确，故A符合题意；
B、， 计算错误，故B不符合题意；
C、 3 m2， 计算错误，故C不符合题意；
D、， 计算错误，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减可判断A；根据积的乘方法则，(ab)n =anbn可判断B；根据合并同类项时，系数相减可判断C；根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可判断D；逐一判断即可解答.
6．（2025·宜宾）采采不学办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】
解：设答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，
根据题意得： 10x- 5(20-x)≥80，
解得： x≥12，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对12道题.
故答案为：C.
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，根据得分规则建立不等式10x- 5(20-x)≥80，求解x的最小整数值，解答即可.
7．（2025·宜宾）如图，是的弦，半径于点．若．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：∵ OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=x8=4，
又∵OA=OC=5，
∴在RtOAD中，OD= ，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理计算即可解答.
8．（2025·宜宾）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，真金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
解：由第一个条件：“5头牛、2只羊，共值金10两”对应方程：5x+ 2y= 10，
第二个条件：2头牛、5只羊，共值金8两 ，对应方程：2x十5y=8，
故答案为：A.
【分析】根据题意，设每头牛值金x两，每只羊值金y两，找到两个等量关系：5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两 ；列出方程即可解答.
9．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】
解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴将x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
10．（2025·宜宾）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】
解：如图所示，过点D作DF// BC交AC于点F，
∵AD= 2DB
∴
∴
∵ DF// ВC ，
∴AFD~ACB ，
∴
∴
设S AFD=4x，S ACB=9x，
∵沿DE将ABC剪成面积相等的两部分，
∴S ADE=，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】过点D作DF// BC交AC于点F，根据比列的性质得到，由DF// ВC 得到AFD~ACB ，根据相似三角形的性质得到，设S AFD=4x，S ACB=9x，根据折叠的性质得到S ADE=，计算可得，最后进行计算即可解答.
11．（2025·宜宾）如图，在中，，，，过点作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）
A． B．4 C．2 D．2
【答案】B
【知识点】四边形-动点问题；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得AG=AC=2，连结CG， GF，过点F作FH⊥l于点H，
∵直线l// BC，∠ACB = 90° ，
∴∠CAG=90°，
∵EF⊥CE， tanECF =，
∴tan∠ECF=，
∴，
∵∠CEF= ∠CAG=90°，
∴
∴.
∴.
∴
∴∠CGF=∠CAE =90°，
∴ ∠ACG+ ∠AGC=90°，∠AGC+ ∠HGF =90°，
∴∠ HGF = ∠ACG，
∵tan∠ACG==，
∴∠ACG和∠HGF都是定值，
∴点F在射线GF上运动，
∴当BF⊥GF时，BF最短(如图2所示)，
延长HF，CB相交于点N.
∵ACB=CAH =∠AHN =90° ，
∴四边形ACNH是矩形，
∴HN=AC=4， AH=CN.
∵BFGF，CGF =90·，
∴ BF//CG，
∴FBN=GCN.
∵ AH //CN，
∴CGA=GCN，
∴FBN=CGA.
∵FNB=CAG =90，
∴FNBCAG，
∴
∵AG=
∴FN =2BN ，
设BN=x，则FN=2x， CN=5+x，
∴FH=4-2x，
∴AH =CN=x+5，
∴GH =(x+5)-2=x+3，
∵tanACG=tanHGF，
∴
∴
解得x=1，
∴BN=1. FN=2， FH=2， GH=4，
∴GF=，CG=，
∵
∴
∴
解得AE=4
∴当BF最短时，AE的长度为4.
故答案为：B.
【分析】 在点A的右侧取一点G，使得AG=AC=2，连结CG， GF，过点F作FH⊥l于点H，根据相似三角形的判定与性质，得出∠ACG和∠HGF都是定值，进而得出点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求行GF利CG的长，最后根据相似三角形的性质，即可解答.
12．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，且．以下结论：①②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】
解： ① 、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴为，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①错误；
② 对称轴为直线x=-=-2
∴a=
∵A(2，0)在抛物线上
∴4a+2b+c=0
∴b+2b+c=0.
∴c=-3b，
∴-3<-3b<-2
∴③ 、如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将x=-2代入
把a=，c=-3b代入得：y=-4b
∵对称轴为直线x=-2，A(2，0)，
∴AE=4，
∴tan∠CAD ===b<1，
∴∠CAD <45°，
∵CD= AD，
∴∠ACD=∠CAD<45°，
∴∠ADC> 90°，
∴ACD是钝角三角形，故③正确；
④ 、∵∴当b=时，a=，
∴方程ax2 +(b-2)x+c=0转化为x2-x-2=0，
解得x=4+2，
∴当b=1时， a=，
∴方程ax2 +(b-2)x+c=0转化为x2-x-3=0，
解得x=-2或6；
∵方程ax2 +(b-2)x+c=0的两根为x1、x2(x1∴2综上所述，其中正确结论有3个.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线开口向上得a>0，根据对称轴为得b>0，根据抛物线与y轴交于负半轴得c<0，即可判断 ① ；由对称轴为直线x=-=-2可得a=，由A(2，0)在抛物线上可得4a+2b+c=0可得c=-3b，结合已知c的范围即可求出b的范围，可判断 ② ；将x=-2代入解析式中结合a=可得y=-4b，即可根据tan∠CAD判断∠CAD <45°，即可判断 ③ ；由二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（2025·宜宾）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
14．（2025·宜宾）分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
解：去分母：x+x-2=0，
合并：2x-2=0，
移向：2x=2，
系数化为1：x=1，
检验：当x=1时，x(x-1)0，
故x=1是原方程的解，
故答案为：1.
【分析】根据解方式方程的步骤逐一计算得到x=1；再检验即可解答.
15．（2025·宜宾）如图，已知是的圆周角，，则　 　°
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解：∵∠BAC是 的圆周角，∠BAC=40° ，
∴∠BOC= 2∠BAC = 80° ，
∵ OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB =，
故答案为：50.
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可解答.
16．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
17．（2025·宜宾）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5=　 　．
【答案】58
【知识点】解一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：设a1+a2+a3+a4+a5=m，那么去掉a1后和为m-a1；去掉a2后和为m-a2；去掉a3
和为m-a3；去掉a4后和为m-a4；去掉a5后和为m-a5；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设m-ai=m-aj(i≠j)，
那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3， m-a4， (假设a5 与前面某一个数相等)，
∵这四个值分别是45、46、 47、48，
∴(m-a1)+(m-a2)+(m-a3)+(m-a4)=45+46+47+48=186，即4m-(a1+a2+a3+a4)= 186，
∵a1+a2+a3+a4+a5 =m
∴a1+a2+a3+a4 =m-a5，
∴4m-(m-a1)=186，即3m+a5= 186；
当m-a5=m-a1=45时，即a5=m-45 ；
∴3m+m-45= 186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当m-a5=m-a2=46时，即a5=m-46；
∴3m +m-46=186，解得： m=58，符合题意；
当m-a5=m-a3=47时，即a5=m-47 ；
∴3m+m-47=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当 m-a5=m-a4= 48时，即a5=m-48；
∴3m +m-48=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
综上，m=58，即a1+a2+a3+a4+a5 =58.
故答案为：58.
【分析】 设a1+a2+a3+a4+a5=m， 由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设 m-ai=m-aj(i≠j)， 那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3，m-a4， (假设a5 与前面某一 个数相等) 且这四个值分别是45、46、47、 48； 再说明3m+a5= 186，然后分四种情况解答即可.
18．（2025·宜宾）如图，在中，，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结AD，使得面积为24，连结，则的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD ，
∴ACD= 90°，
∵ACD面积为24，
∴AC·CD·=24
∴ AC·CD= 48，
过点C向上作线段CF⊥BC，使得CE=8，
∵BC=6.
∴BC·CE=6x8=48
即AC·CD= BC·CE
∴
连接DE，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE= CACD= 90°，
∵∠BCE-∠ACE=∠ACD- ∠ACE，
∴∠ACB= ∠ECD，
∵
∴CEDACB，
∴∠EDC= ∠ABC =90°，
∵CE=8，即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，.
记圆心为直径CE的中点O，
即的半径OD=4
连接OB，并延长与交于-一点，即为D1，
此时BD1为BD的最大值，
故BO=
∴BD= BO+OD=2+4.
故答案为：.
【分析】先整理得ACxCD=48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE=8，得到结合∠BCE=∠ACD= 90°，整理得ACB=ECD，证明△CEDACB，即EDC=ABC = 90°，可运用定角定弦，得点D在以CE为直径的圆上，连接OB，并延长与交于一点，即为D，再运用勾股定理得BO=2，即可解答.
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（2025·宜宾）
（1）计算：；
（2）计算：.
【答案】（1）解：原式=2-4
=2-2+
=
（2）解：原式=
=
=1
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根；分式的乘法；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】(1)先开平方运算，算特殊三角函数函数值，化简绝对值，最后算加减即可解答；
（2）先进行同分母的减法运算得到，因式分解x2-1=(x+1)(x-1)，再约分计算即可解答.
20．（2025·宜宾）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）.根据调查结果，制成了如下的统计图.
请结合图中信息解答下列问题．
（1）本次共调查了 ▲ 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是 ▲ ，并补全条形统计图；
（2）若七年级新生共有600人，估计有　 　人喜欢乒乓球运动；
（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动.学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率.
【答案】（1）解：100，10，
补全条形统计图如图：

（2）150
（3）解：列表如下：
　 甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
∴共有12种等可能的结果，同时选中甲乙的有2种结果，
∴同时选中甲乙两人的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
解：(1)本次共调查了：名学生，
喜爱舞蹈的学生人数是喜爱舞蹈的学生人数是：人，
故答案为：100，10．
（2）600
估计有150人喜欢乒乓球运动．
故答案为：150.
【分析】
（1）利用演讲与口才的人数5除以所占的百分比5%，即可得到总人数；再用总人数乘以舞蹈占的百分比10%得到舞蹈的人数，不全图形，解答即可；
（2）根据样本估计总体：用总体人数600乘以样本所占的的比例，解答即可；
（3）先列出表格，找到共有12种等可能的结果，同时选中甲乙的有2种结果，再利用概率公式计算即可解答.
21．（2025·宜宾）如图，点是平行四边形边的中点，连结并延长交BC的延长线于点．求证：，并求的长.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC =AD=5，
∴∠D= ∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在ADE和FCE中，
∴△ ADEFCE(ASA)，
∴FC=AD=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10.
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】现根据平行四边形的性质得到BC//AD，BC =AD=5，再利用平行线的性质得到∠D=∠FCE，结合中点的定义得到DE=CE，即可由ASA证明△ ADEFCE(ASA)，再由全等三角形的性质即可解答.
22．（2025·宜宾）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上.直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进80米到达B处.直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
（1）求圆心角的度数；
（2）求的弧长（结果精确到0.1米）．
【答案】（1）解：∵直线AP与所在 相切于点P，
∴∠APO=90°，
∵∠PAO=45°，
∴∠PON=90°-∠PAO=45°；
（2）解：∵直线BQ与PN所在OO相切于点Q，
∴∠BQO=90°，
∵∠QBO=60°，
∴
设BQ=X，BO=2x，
∴ OQ =OP =，
∵AB=8.0m，
∴AO = AB + BO =(8.0+2x)m，
∵在RtAPO中，∠A=45°，
∴sinA = sin45°=
∴
解得x=
∴OP==12
∴
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长
【解析】【分析】
(1)根据切线的性质得到∠APO=90°，结合已知条件计算即可解答；
（2）由∠QBO=60°，利用三角函数得到，设BQ=X，BO=2x，利用勾股定理得到OQ =OP ，再表示出AO = (8.0+2x)m，再利用∠A=45°的三角函数建立方程，解方程可得x=，即可求出OP，再利用弧长公式计算即可解答.
23．（2025·宜宾）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中
（1）求一次函数的表达式，并求的面积．
（2）连结，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把A(-2，1)代入到 中得：1=
解得k =- 2，
∴反比例函数解析式为y＝
∵反比例函数交于另一点
∴ C(-1，2)，
把A(-2，1)， C(-1，2)代入到y =mx +b中得：
解得
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
在y=x+3中，当y=x+3＝0时，x=-3，
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
∴M(-3，0)，
∴OM=3，
∴SAOM=OM·IyAl=x3×1=
（2）(2) ∵直线AB经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B(2，-1)，OA=OB，
∴ A(-2，1)， C(-1，2)，
∴AC=，同理计算BC=3，AB=2，
∴ AC2 +BC2=()2 +(3)2=2 +18= 20， AB2 =(2)2 =20，
∴AC2 +BC2 =AB2，
∴∠ACB=90°，
∵BC⊥AC，
∴OA与AC不垂直，
∵△OAD与△ABC相似，
∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，
当OAD∽BAC时，则，∠ODA= ∠BCA=90°，
∴AD=AC，OD/ /BC，
∴此时点D为AC的中点，
∴点D的坐标为(-)，
当△OAD∽△CAB时，
∴
∴AD=5，OD=3，
设D(d，d +3)，
解得d=3，
∴d+3=6，
∴点D的坐标为(3，6)；
综上所述，点D的坐标为(-)或(3，6).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数y=mx+b的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点м的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可解答；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式得到AC，BC，AB即可由勾股定理的逆定理可证明∠ACB=90°，则只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况；再分别讨论这两种情况，利用相似的性质得到对应边成比例建立关系计算即可解答.
24．（2025·宜宾）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点作于点，连结、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求与的长度；
（3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OD=OE，
∴∠ODE = ∠OED，
∵∠AED = ∠ADC，
∴∠ODE = ∠ADC，
∵AE是 的直径，∠ADE=90°，
∴∠ODC = ∠ADC+ ∠ODA= ∠ODE+ ∠ODA=90°，
∵OD是的半径；
∴直线BC是的切线；
（2）解： ∵∠C = ∠ADE=90°，∠ADC = ∠AED，
∴∠CAD = ∠DAE，
∵tan∠CAD=tan∠DAE =2， tan∠DAE=，
∴=，
∵AD2 + DE2= AE2，AE =10，
∴(DE)2 + DE2 = 102，
∴DE=6，
∵∠BDE = ∠CAD，∠CAD = ∠DAE，
∴∠BDE = ∠DAE，
∵∠B=∠B，
∴
∴
∴ BE =BD，
∵OD=OE=AE =5，
∴OB=OE+BE=5+BD
∵OD2+ BD2=OB2，
∴52 +BD2=(5+BD)2，
解得BD=0(舍去)或BD=
（3）解：过点E作EG ⊥ BF于点G，则∠DGE=90°，
当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到AE的距最大，点F是AE的中点，
∴AF=EF，
∴AF =EF，
∵∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠EAF =(180°- ∠AFE) =45°，
∴∠EDF=∠EAF=45°，
∴∠DEG=90°-∠EDF=45°，
∴DG=EG，DG2+EG2=DE2，DE=6，
∴DG=EG=3，
∵AE=10，
∴EF =AE
∴FG=，
∴DF=DG+FG=7.
【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)连接OD，可得 ∠ODE =∠OED，∠ODE= ∠ADC，由圆周角定理可得CADE =90*，可得∠ODC=90°，根据切线的判定定理即可得直线BC是的切线；
(2)先结合已知条件得到∠CAD=∠DAE，再由tan∠CAD= tan∠DAE=2，得=，再根据勾股定理计算出DE=6，即可由AA判定得到由OD2+BD2 =OB2 ，计算可得到BD的值，解答即可；
(3)过点E作EG⊥BF于点G，则∠DGE =90°，当四边形ADEF面积最大时，△AEF 面积最大，点F是E的中点，可得AF=EF ，得∠AEF =∠E4F =45° ，得∠EDF=∠EAF =45° ，∠DEG=45° ，即可由勾股定理计算得DG=EG=3，从而得到EF =AE，再由勾股定理得到FG=4 ，最后由线段的和差计算即可解答.
25．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中．
（1）求b、c的值；
（2）点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标；
（3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题分别把A(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，
得，
解得b=2，c=3
（2）解：由(1)得b =2， c = 3，
则y=-x2 +2x+3，C(0，3)，
令y=0，则0=-x2+2x+3=（-x+3)(x+1)，
x1=3，x2=-1，
故B(-1，0)，A(3，0)，
分别过点E、D作EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示：
∵EN⊥OA，DM⊥OA，
∴∠ENB=∠DMB=90°，
∵∠DBM= ∠EBN，
∴DMB∽ENB，
∴
∵DE：BE=1：2，
∴DB：BE=3：2，
∴
设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，
设AC的解析式为y = kx + r(k ≠ 0)，
∵C(0，3)， A(3，0)，
∴
解得r=3，k=-1；
∴AC的解析式为y=-x+3，
把y＝2m代入y=-x+3，得 2m =-x+3，
∴x=3-2m，
∴E(3-2m，2m)，
设BE的解析式为y = tx + q(t ≠ 0)，
把E(3-2m，2m)，B(-1，0)分别代入y =tx + q，
解得
BE的解析式为y=
依题意，把y=3m代入得 3m
则x=5-3m，
即点D(5-3m，3m)，
∵点D为抛物线上第一象限内一点，且y=-x2+2x+3，
∴3m =- (5-3m)2 +2(5-3m) + 3，
整理得3m2-7m+4=(m-1)(3m-4) = 0，
∴m1=1，m2 =
此时y=的2-m ≠ 0，
故m1=1，m2= 43是符合题意的，
当m=1时，则5-3m=5-3=2，3m=3，此时D(2，3)，
当m=43时，则5-3m=5-4=1，3m=3×43=4，此时D(1，4)，
综上：D(2，3)或D(1，4)；
（3）解：存在，理由如下：
由(2)得y =-x2 +2x +3，
整理y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∵F为抛物线的顶点，
∴F(1，4)，
∵平移抛物线使得新顶点为P(m，n)(m>1)，P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，
连结FP、PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN=120°，如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为y=-(x-m)2 +n，
把x=1 代入y=-(x-m)2+n，
得yN =-(1-m)2 +n，
∵点P(m，n)在y =-(x-1)2 +4 上，
∴n=-(m-1)2+4，
∴ (m-1)2=4-n，
∴yN =-(1-m)2+n=-4+n+n=-4+2n，
∴N(1，-4+2n)，
∵P(m，n)， N(1，-4+2n)， F(1，4)，
∴PF2=(m-1)2+(n-4)2， PN2=(m-1)2+[n-(-4+2n)]2=(m-1)2+(n-4)2，
则PF2 = PN2，即PF＝PN，
∴ΔPFN是等腰三角形，
∵∠FPN=120°，
∴∠EPH=x 120° =60°，
则 tan∠FPH=tan60°=
∴4-n=(m-1)，
令t=m-1，
∴4-n=t，即n=-t+4，
∵n=-(m-1)2+4，
∴-t+4，=-t2+4，即t2-t=0，
∴ t(t-)=0，
∴t1=0，t2=，
∴m-1=0，或m-1=，
∴m=1(舍去)或m=+1，
∴P(1+，1)，
∴平移后的抛物线解析式为y＝-(x-1-2+1，
令y=0，则0＝-(x-1-)2+1，
∴ (x-1-)2=1，
即x-1-=±1，
∴x1=2+，x2=，
则Ix1-x2l=2+-=2，
∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
(1)根据用待定系数法求解析式，分别把A(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，进行计算，即可解答.
(2)令y=0先求解B(-1，0)，A(3，0)，再利用AA证明DMB∽ENB，利用相似三角形的性质得到DE：BE=1：2，转换比例关系得到，于是设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，再分别求出 AC 的解析式为y=-x+3，BE 的解析式为y=即可得到D(5-3m，3m)，因为点D为物线上第一象限内一点，代换得到3m=-(5-3m)2+2(5-3m)+3，解得m1=1，m2= 43 ，解答即可.
（3）根据F为抛物线的顶点求出F(1，4)再整理得平移后的抛物线的解析式为y=-(x-m)2+n，因为点P(m，n)在y=-(x-1)2+4，则(m-1)2=4-n，即N(1，-4+2n)，故PF2＝PN2，所以△PFN是等腰三角形，
再结合解直角三角函数得 tan∠FPH=tan60°=，代入数值计算得4-n=(m-1)，再运用换元法进行整理得到m-1=0，或m-1=，即可求出P(1+，1)，从而可的平移后的抛物线解析式为y＝-(x-1-2+1，再令y=0求出x1=2+，x2=，即可求出两个交点之间的距离，解答即可.
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