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2025年山东省东营一中中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，这四个数中，绝对值最小的数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.一副三角板按如图所示摆放，其中，，，点在边上，点在边上，与相交于点，且，则度数是( )
A. B. C. D.
4.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过千克，收费元；超过千克的部分每千克加收元．圆圆在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5.孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为( )
A. B. C. D.
6.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次假设飞镖落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则( )
A. B. C. D.
8.二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是( )
A. 若，是图象上的两点，则
B.
C. 方程有两个不相等的实数根
D. 当时，随的增大而减小
9.如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒．则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，已知，，将绕点沿逆时针方向旋转后得到，直线、相交于点，连接，则下列结论中：；∽；；为的中点，其中正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共28分。
11.黄河在东营市垦利境内公里，年径流量亿立方米，正常年份，黄河每年携沙造陆万亩左右，是中国唯一能“生长”土地的地方．则数据亿用科学记数法表示为______．
12.分解因式：______．
13.某学校八年级班有名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图这个班参赛学生的平均成绩是______．
14.如图，无人机在离地面米的处，观测楼房顶部的俯角为，观测楼房底部的俯角为，则楼房的高度为______米
15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
16.如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以、为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点，为射线上任意一点，过点作，交于点，连接，若．，则长度的最小值为______．
17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数图象上，则的值为______．
18.如图，分别过轴上的点，，，作轴的垂线，与反比例函数图象的交点分别为，，，，与相交于点，与相交于点，，与相交于点，若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则______．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中满足．
20.本小题分
五一将至，学校某社团对学生“最想去的地方”进行问卷调查该社团在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查：去淄博吃烧烤；去济南南部山区：去登泰山；泰安周边游；宅在家里已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图请你根据以上信息，回答下列问题：
本次接受调查的学生共有______人； ______； ______；
补全条形统计图；
若该校学生有人，试估计只选C去登泰山的学生有多少人？
该社团计划从人中去淄博吃烧烤的人，泰安周边游人随机抽取人为同学们分享游玩趣事，请用列表法或画树状图的方法所选人既有去淄博吃烧烤的同学又有泰安周边游同学的概率．
21.本小题分
如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积结果保留
22.本小题分
如图，直线与双曲线相交于点，．
求双曲线及直线对应的函数表达式；
将直线向下平移至处，其中点，点在轴上连接，，求的面积；
请直接写出关于的不等式的解集．
23.本小题分
在某县美化城市工程招投标中，有甲、乙两个工程队投标经测算：甲队单独完成这项工程需要天，若由甲队先做天，剩下的工程由甲、乙合作天可完成．问：
乙队单独完成这项工程需要多少天？
甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需工程款万元，该工程计划用时不超过天，在不超过计划天数的前提下，由甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独完成，那么安排甲队单独施工多少天工程款最省？最省的工程款是多少万元？
24.本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．
求抛物线的表达式；
点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标；
点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，当直线与边相交时交点为，与边相交时交点为．
【数学思考】如图：
折痕的长为______；
试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
如图，当直线经过中点时，求此时的长度；
【问题延伸】
在绕点旋转的过程中，当时，是否存在点，若存在，请求的长度；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【解析】原式
；
原式
，
，
，
原式．
20.【解析】本次接受调查的学生数为人，
所以，
，
即；
故答案为：，，；
组的人数为人，
补全条形统计图为：
人，
所以估计只选C去登泰山的学生有人；
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中所选人既有去淄博吃烧烤的同学又有泰安周边游同学的结果数为，
所以所选人既有去淄博吃烧烤的同学又有泰安周边游同学的概率．
21.【解析】证明：在中，，平分交于点，为直径的经过点，如图，连接，
，，
，，
，
，
于点，
又为的半径，
是的切线．
解：在中，，，，如图，连接，，
，，
，
是的直径，
，
平分，
，
在中，，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
又，
垂直平分，
，，
，
，
．
22.【答案】解：将代入双曲线，
，
双曲线的解析式为，
将点代入，
，
，
将，代入，
，
解得，
直线解析式为；
直线向下平移至，
，
设直线的解析式为，
将点代入，
，
解得，
直线的解析式为，
，
过点作交于，
设直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的面积；
由图可知时，．
23.【答案】解：设乙队单独完成这项工程需要天．
，
经检验是原分式方程的解，
答：乙队单独完成这项工程需要天．
设甲队完成这项工程需天，总工程费用为万元．
由题意，得乙还需要单独施工天，
，
解得，
所以
当时，．
答：安排甲队单独施工天工程款最省，最省的工程款是万元．
24解：抛物线过点和点，
，解得，
抛物线解析式为：；
当时，，
，
直线解析式为：，
，
，
过点作轴，交轴于点，交于点，
设，
，
，
，
即，
，，
，；
，，，
为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
点的横坐标为，
又点在直线上，
点的纵坐标为，
，
设，
当，，
当时，则，
解得或舍去，
此时点的坐标为，
当，当时，
则，解得：或舍去，
此时点的坐标为；
当，时，
连接，故当为关于对称轴的对称点时，，
此时四边形为正方形，
，
，，，
，
，
解得：，舍去，
此时点的坐标为；
故在射线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为：，或．
25.【解析】，，，
，
点和点重合，
是中点，，
，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：；
，理由如下：
连接，
由旋转的性质，得，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
连接，
，，
，
由题易得，，，
由题意知为的中位线，
，，
，
在中，，
在和中，
，
≌，
；
第一种情况：如图，
，
，
≌，
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
；
第二种情况：如图，
，
，
≌，
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
；
综上所述，的长度为．
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