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广东省统考2025年中考数学模拟卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．实数π，，0，中，最小的数是（　　）
A．π B． C．0 D．
2．三台经济主要以纺织鞋服为主导，加上健康食品医药、新能源两大产业，构成了三台的产业格局。围绕三大产业做文章，不断拓展产业集群是三台经济不断增长的关键。2023年三台经济增长快速，GDP已经达到530亿元，用科学记数法表示530亿元是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图是由3个小正方体搭成的立体图形，则从左面看得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（　　）
A．或 B．
C．或 D．
8．如图，为的直径，点在上，且，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在，，三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得，且已知，两个时刻的温差是，则时刻的温度比时刻的温度（　　）
A．高 B．低 C．高 D．低
10．如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为.则的值为（　　）
A．100 B．199 C．5050 D．10000
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式： 　 　．
12．已知实数，是方程的两根，则代数式的值为　 　．
13．以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为　 　°．
14．如图，在扇形中，已知，，过弧的中点C作，，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．计算：．
17．先化简．再求值：，其中．
18．如图，在中，
（1）（尺规作图）作的垂直平分线交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若，的周长是，求的长
19．跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148
152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
145
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
20．如图，在中，，垂足为E，，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，，①求；②求的面积.
21．某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
22．在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接．
（1）如图1若，时，求及的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由．
23．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
（1）求k的值及抛物线的解析式．
（2）如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标；
（3）如图2，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴数π，，0，中，最小的数是．
故选：B．
【分析】
正数都大于0，负数都小于0；负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：530亿=53000000000=5.3×1010
故答案为：B.
【分析】科学记数发的表示形式是，其中，n是整数。本题可以先将530亿完整书写出来，然后a=5.3，n=10，列式表示即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的正方形．
故答案为：D．
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可求解.．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故选：C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可得：，变形可得：，再代入数据进行计算可求出的大小.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组为：．
故答案为：C．
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺， 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺 ”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，即可得出结论.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数和反比例函数，
∴时，，
整理得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
如图，画出图象观察分析，
∴当时，的取值范围为或，
故答案为：A．
【分析】先求出一次函数和反比例函数的交点横坐标，当一次函数的图象在反比例函数的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】连接、，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由同弧所对的圆周角相等可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：令容器内的空气体积为，温度为t，细管液面高度为，
由图2可得：，，
∴，
而，
∴随t的增大而减小，
∴点处的温度低于点处的温度，
∵，且已知，两个时刻的温差是，
∴时候比时候的温度低；
故答案为：D
【分析】令容器内的空气体积为，温度为t，细管液面高度为，由图2可得：，，则，再根据一次函数性质即可求出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：从图上可以看出，
a1=1，
a2=1+2=3，
a3=1+2+3=6，
a4=1+2+3+4=10，
a5=1+2+3+4+5=15，
......
a100=1+2+3+4+5+...+100=（1+100）×100÷2=5050.
故答案为：C.
【分析】本题分别将a1、a2、a3、a4、a5展开列出，然后发现规律，再利用高斯求和法计算即可。
11．【答案】x（2x+3y）（2x-3y）
【解析】【解答】解：原式=x（4x2-9y2）=x（2x+3y）（2x-3y），
故答案为：x（2x+3y）（2x-3y）
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
12．【答案】5
【解析】【解答】解：实数是方程的根，
，
，
，
实数，是方程的两根，
，
．
故答案为：5．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到a+b的值，同时将x=b代入代数式，可得到-（a+b）+3，然后整体代入求值即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是，
故答案为：．
【分析】本题首先知道，多边形的外角和是360°，因此正五边形的外角和也是360°，并且正五边形有5个外角，因此计算即可得到的度数，也就是旋转的角度．
14．【答案】
【解析】【解答】解：连接，则：，
∵C为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，
∴四边形为正方形，
由勾股定理，得：，即：，
∴，
即：正方形的面积为，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【分析】连接，则：，根据角之间的关系即可，再根据矩形判定定理可得，则，即四边形为正方形，再根据勾股定理可得
正方形的面积为，则阴影部分的面积，结合扇形面积，正方形面积即可求出答案.
15．【答案】
【解析】【解答】解：双曲线上存在“好点”，
，
①②得：，
，
，
，
整理得：，
，
．
故答案为：．
【分析】本题首先根据“好点”的定义列出方程组，然后变形得到关于x和k的二元一次方程，继续变形为抛物线方程，根据抛物线方程的特点即可求出k的取值范围。
16．【答案】解：
=-4
【解析】【分析】本题首先判断绝对值里面的的正负性、tan30°的值、（π-3.14）0的值，并对进行变形，然后进行计算即可。
17．【答案】解：
当时，原式
【解析】【分析】先运用完全平方公式、单项式乘多项式进行化简，进而代入求值即可求解。
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∵的周长
又∵
∴；
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图：分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧，相交于两点，过这两点做直线，即为的垂直平分线，即可作答；
（2）利用线段垂直平分线的性质得，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
19．【答案】（1）165；150
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【解析】【解答】（1）根据题干中的数据可知，165出现的次数最多，故众数a=165；将数据从小到大排列，可知排列中间的两个数分别是148，152，故中位数b=，
故答案为：165，150.
【分析】（1）利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可；
（3）根据中位数的性质求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAG＝90°﹣∠ABE，∠DAH＝90°﹣∠ADF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴∠BAG＝∠DAH，
∵AG＝AH，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴∠AGB＝∠AHD，
∴△ABG≌△ADH（ASA），
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形。
（2）解：①∵，∴△ADG∽△EBG，
∴
∵，
∴
∵菱形
∴
∴
∵
∴
②∵
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，首先证明出四边形ABCD是平行四边形，然后证明出△ABG≌△ADH（ASA），得出AB＝AD，即可证明结论；
（2）①首先判定△ADG∽△EBG，然后找到对应边成比例，逐步变形即可求出；②根据①的计算结果，求出，然后根据平行四边形面积计算公式计算即可。
21．【答案】（1）解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
（2）解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据题意得：，
解得：，
设商店共获利w元，则，即，
，
∴w随m的增大而增大，且，
∴当时，w取得最大值，
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．
【解析】【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围。
再设商店共获利w元，利用总利润=每个的利润×销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
22．【答案】（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，；
（2）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
（3）解：不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下：
根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点，
边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAD=∠BDA=45°，易得∠ABD=∠AED=90°，由确定圆的条件可得A、D、B、E四点共圆，由同弧所对的圆周角相等推出∠BED=∠BAD=45°，由平角定义推出得∠BEC=45°，由等角对等边得CE=CB=1，在Rt△ABC中，由含30°角直角三角形的性质可得AB=2，进而利用勾股定理得AC、AD、DE的长；
（2）由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAD=∠BDA=45°，过点B作BF⊥BE交DE于点F，易得∠ABD=∠AED=90°，由确定圆的条件可得A、D、B、E四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得∠BED=∠BAD=45°，由等腰直角三角形性质得BE=BF，由等角的余角相等得∠FBD=∠EBA，从而由SAS判断出△ABE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF，通过线段和差可得结论；
（3）根据题意进行作图，将BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，过点B作BF⊥BE交ED的延长线于点F；由旋转的性质得∠ABD=90°，AB=AD，由四边形内角和为，易得∠BAE+∠BDE=180°，由同角的补角相等得∠BAE=∠BDF，由同角的余角相等得∠FBD=∠EBA，从而用ASA判断出△ABE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF，BE=BF，进而根据线段和差及勾股定理可得结论.
（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，；
（2）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
（3）不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下：
根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点，
边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
在中，，
．
23．【答案】（1）解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
∴的坐标为，
将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）
∴的坐标为；
（3）解：①由（1）可知，直线的解析式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，
则
，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，
解得（舍或，
即此时
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得直线的表达式为，根据y轴上点的坐标特征可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据等边对等角可得，则，设，则的坐标为，再将点D坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（3）①由（1）可知，直线的解析式为：，由题意可得点的坐标为，点的坐标为，设线段的长度为，则则，结合二次函数性质即可求出答案.
②由图形可知，根据相似三角形性分情况讨论：当时，由（2）可知，，此时；当时，过点作轴交抛物线于点，令，解方程即可求出答案.

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