资源简介

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气：
作业01 二次根式
【知识点1 二次根式的定义】
1.定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数.形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
注：判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
2.二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B.
【知识点2 二次根式的性质】
（1）；a≥0（双重非负性）.
（2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
（3）（算术平方根的意义）.
【知识点3 二次根式的乘法】
1.法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即，（a≥0，b≥0）.
（1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即，（a≥0，b≥0，c≥0）.
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，
即，（a≥0，b≥0）.
2.积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即，（a≥0，b≥0）.
【知识点4 二次根式的除法】
1.法则：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即，（a≥0，b＞0）.
二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即，（a≥0，b＞0，c＞0）.
2.商的算术平方根
（1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即，（a≥0，b＞0）.
（2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程
方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号.
【知识点5 最简二次根式】
1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简二次根式.
2.化为最简二次根式的步骤：
（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
（2）将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方；
（3）利用商的算术平方根，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母；
（4）分母有理化，化去分母中的根号；
(5)约分化简，整理成最简二次根式。
【知识点6 二次根式的加减】
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下：
（1）化成最简二次根式；
（2）找出被开方数相同的二次根式；
（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.
【知识点7 二次根式的混合运算】
（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算；
（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.
因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型1 与二次根式有关的概念】
1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．若最简二次根式与是同类二次根式，那么（ ）
A． B． C． D．
【题型2 二次根式有意义的条件】
5．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．式子成立的条件是（ ）
A． B． C．或 D．
【题型3 二次根式的性质与化简】
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则 ．
10．若整数m满足条件，且，则m的值是 ．
11．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：．
【题型4 二次根式的大小比较】
12．比较大小：，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
13．若，，，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接）
14．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小，　　　　（填写，或者）
(2)猜想，之间的大小关系，并证明．
【题型5 二次根式的混合运算】
15．计算下列各题
(1)；
(2)．
16．计算：
(1)；
(2)．
17．计算：
(1)
(2)
18．计算：
(1)；
(2)．
【题型6 二次根式的化简求值】
19．若，则代数式的值为 ．
20．已知，．求：
(1)的值；
(2)的值．
21．已知，，求下列代数式的值：
(1)
(2)先化简，再求值：．
22．先化简，后求值：，其中，．
【题型7 复合二次根式的化简】
23．我们将一个二次根式的被开方式中再含有二次根式的式子称为“复合二次根式”．如，……等都是“复合二次根式”．对于一些特殊的“复合二次根式”可以用配方法将其被开方式化成一个平方式后化简成最简二次根式，如：
；
．
请认真阅读上述材料，然后解决下列问题：
(1)利用材料告诉的方法化简复合二次根式；
(2)利用材料告诉的方法或者其它方法化简．
24．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：(a＞b)．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
结合所学知识，仿照上例，回答下列问题：
(1)填空：= ；
(2)填空：= ；
(3)计算：．
25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(2)化简：．
【题型8 裂项相消法化简根式求和】
26．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到形如的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
还可以用以下方法化简：．
(1)化简：__________；__________；
(2)请用不同的方法化简：；
(3)化简：．
27．在进行二次根式化简时，如遇到，，这类式子，我们需要将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
(1)化简：_____．
(2)，，求的值．
(3)计算：．
28．在数学小组探究学习活动中，小明遇到这样一道解答题：
已知，求的值．
他是这样解答的：∵，
∴，∴，即，
∴，∴．
请你根据小明的解题方法，解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【题型9 二次根式的应用】
29．（1）用“”、“”、“”填空．
__________，__________，__________，__________．
（2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为对角线互相垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
30．现有两块同样大小的长方形纸片，小黑采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，．
(1)求原长方形纸片的周长．（结果化为最简二次根式）；
(2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
31．秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．
(1)在中，，请用上面的公式计算的面积；
(2)如图，在中，，，，，垂足为，求的长．
32．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ）
A． B．
C． D．
33．对任意两个正实数a，b．定义新运算为：．则下列等式：①；②；③；④，其中成立的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
34．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
35．对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（ ）
①若，则；
②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8；
③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
36．对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ．
37．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值；
(2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值．
38．阅读下面材料：
将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……．
则
；
；
……
根据以上材料解答下列问题：
(1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ；
(2)猜想的结果，并证明你的猜想；
(3)令，，，…，，且，求T的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业01 二次根式（7个知识点+9个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）》参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【详解】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
2．D
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式为最简二次根式，进行判断即可．
【详解】解：，，，，故①，②，⑤，⑦都不是最简二次根式，③，④，⑥，都是最简二次根式，共3个；
故选B．
4．D
【分析】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程组是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义，可得关于、的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式得：
，
解得：．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不等于0．根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，即，
解得．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是商的算术平方根，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件必须是被开方数大于等于0，特别注意0做除数无意义．根据二次根式有意义的条件和0不能为分母可知，且，解不等式组即可．
【详解】解：由题意可得，且，
解得．
故选：C
7．B
【分析】本题考查了二次根式乘法成立的条件：被开方数非负；据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：；
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简．
先根据被开方数非负确定的正负，再利用二次根式的性质对原式进行化简．
【详解】因为二次根式有意义，则，
所以．
则．
答案选B．
9．##
【分析】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键；由题意易得，然后根据可进行求解．
【详解】解：，
∵，
∴;
故答案为．
10．或0或1
【分析】本题考查了二次根式的性质、求不等式的解集，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得出，再结合得出，即可求解．
【详解】解：，
，
解得：，
又，
，
是整数，
的值是或0或1．
故答案为：或0或1．
11．
【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值和二次根式的非负性成为解题的关键．
【详解】解：根据数轴可得：，，，
∴


．
12．D
【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴；
故选D．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，因式分解的应用，实数的大小比较，熟练掌握二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小进行求解是解决本题的关键．
根据题意中提取公因式可得，即可得出，根据二次根式的性质可得，，再根据实数比较大小的方法进行求解即可得出答案．
【详解】解：
，
，
，
∴．
故答案为：．
14．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键：
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用平方法进行比较即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、平方差公式、二次根式的化简，同类二次根式，掌握相关知识是解题关键．
（1）将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）利用平方差公式去括号即可求得答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）利用乘法公式进行二次根式的运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，进而去括号合并即可得到答案；
（2）利用乘法公式分别化简，进而合并即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用平方差公式和完全平方公式先去括号，然后计算加减即可；
（2）先化简二次根式，去括号，然后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．
【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，先求出，从而可得，推出，将所求式子变形并整体代入计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
20．(1)
(2)2018
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、因式分解的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）先计算二次根式的分母有理化可得，，再根据代入计算即可得；
（2）先计算二次根式的分母有理化可得，，再求出，然后代入化简计算即可得．
【详解】（1）解：∵，
，
∴
．
（2）解：∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴
．
21．(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先求出、的值，再将式子变形为，代入计算即可得解；
（2）根据分式的混合运算法则进行化简，再代入的值计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：
，
由（1）可得：，故原式．
22．，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
当，时，
原式．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握配方法的应用是解题的关键．
（1）仿照示例，把二次根式的被开方数配成完全平方的形式，即可得到结果；
（2）仿照示例，先把被开方数的分子、分母同乘以2，再把二次根式的被开方数的分子配成完全平方的形式，最后再化简，即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
24．(1)
(2)
(3)1
【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据范例，二次根式里面的式子化为完全平方的形式，二次根式的性质求解即可；
（3）根据范例，把每个二次根式里面的式子化为完全平方的形式，再开方并计算求解即可．
【详解】（1）解：
（2）；
（3）
25．(1)28或12
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到，，利用a、m、n均为正整数得到或，然后由分别计算即可；
（2）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴．
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，．
∴a的值为28或12；
（2）解：令，
则
∴．
26．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握分母有理化的方法．
（1）第一个式子，分子、分母乘以即可化简；第二个式子，根号内分子、分母乘以，即可；
（2）根据例题方法化简即可；
（3）先根据例题方法求解即可，然后合并二次根式即可；
【详解】（1），，
故答案为：，；
（2）解：方法一：
；
方法二：
；
（3）解：
，
．
27．(1)
(2)10
(3)2025
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先求出，，，再把变形为，最后整体代入计算即可；
（3）先把括号内的部分进行分母有理化，然后合并同类二次根式再进行乘法运算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
∴
；
（3）解：
．
28．(1)
(2)12
(3)8
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后同类二次根式即可；
（3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再利用同样方法计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
．
29．（1）；；；；（2），理由见解析；（3）
【分析】此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
（1）根据完全平方公式进行计算可得结论；
（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可．
【详解】解：（1），
；
，
；
，
；
，
；
故答案为：；
（2）；
理由如下：
∵，
∴，
∴；
（3）设，，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴用来做对角线的竹条至少要．
30．(1)
(2)不能裁出，见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，算出正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答；
（2）先计算，则，据此即可作答．
【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为；
则截出的正方形纸片B的边长为，
则原长方形纸片的长为，宽为，
∴，
故答案为：
（2）解：不能截出，理由如下：
∵面积为的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．
31．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的应用，明确题意、运用海伦－秦九韶公式求三角形的面积是解题的关键．
（1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
（2）由海伦-秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的面积为．
（2）解：∵，，，
∴，
∴的面积为，
又∵，
∴．
32．A
【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，，，，…，
∴第n 个单项式是，
故选：A．
33．C
【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的性质，理解新定义并熟练运用是解此题的关键．利用新运算的规定和二次根式的性质对每个等式进行验证即可得出答案．
【详解】解：①，故①不成立；
②，故②成立；
③，故③成立；
④，故④成立，
故选：C．
34．A
【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解．
【详解】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，
∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是，
∴从左向右数第个数是；
故选A．
35．A
【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可．
【详解】解：①∵，
∴，
∴或，
解得或，
故①错误；
②进行“新运算操作”得到，
∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8；
∴，
则，
∵在数轴上和的距离为8，
∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6，
∴无解，
故②错误，
a，b，c的“新运算操作”结果为，
当，，时，原式；
当，，时，原式；
当，，时，原式；
当，，时，原式；
当，，时，原式；
当，，时，原式；
当，，时，原式；
当，，时，原式；
根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种．
故③错误，
故选：A
36．
【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据新定义把数值代入得，再化简计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
37．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）由题意得：，化简即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴；
38．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到：
（1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可；
（2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可；
（3）利用（2）中点的结论，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……
∴面积记为的正方形边长为；
故答案为：；
（2）猜想，证明如下：
∵，
∴
；
（3）∵，
∴
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑