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第二章
§3　第2课时　函数的最值
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值或值域.
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　函数的最值
1.定义
名称 前提 条件 图象
函数的最大值M 设函数y=f(x)的定义域是D.若存在实数M,对所有的x∈D 都有 　　　　　 且存在x0∈D,使得 f(x0)=M 函数的最大值对应其图象　　　点的纵坐标
函数的最小值M 都有 　　　　　 函数的最小值对应其图象　　　点的纵坐标
注意M是一确定的实数
x0也可理解为方程f(x)=M的根
2.函数的最大值和最小值统称为最值.
f(x)≤M　
f(x)≥M
最高　
最低
名师点睛
函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.
(2)区别:
①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)f(x)= 在其定义域内无最大值、最小值.(　　)
(2)f(x)=2x2+4x+1的值域为[-1,+∞).(　　)
(3)若函数f(x)在其定义域内有最大值和最小值,则最大值一定大于其最小值.(　　)
√
√
×
2.函数y=-3x2+2在区间[-1,2]上的最大值为　　　　　.
2
解析 函数y=-3x2+2的图象的对称轴为直线x=0,又0∈[-1,2], ∴f(x)max=f(0)=2.
3.[人教B版教材例题]判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.
解 任取x1,x2∈[-1,6]且x1因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6),从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　求函数的最值
角度1利用函数的图象求最值
【例1-1】 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].
规律方法　图象法求最值的基本步骤
(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解 (1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
角度2利用函数的单调性求最值
【例1-2】 已知函数f(x)=x+ .
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
解 (1)任取x1,x2∈[1,2],且x1∵1≤x1∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)=2+ =4,f(x)的最大值为f(1)=1+4=5,
∴f(x)的最小值为4,最大值为5.
变式探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
规律方法　函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
角度3利用数形结合思想与分类讨论思想求一元二次函数的最值
【例1-3】 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
解 y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
规律方法　1.探求一元二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解一元二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
2.对于一元二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下
讨论:
h与m,n的关系 f(x)的单调性 最大值 最小值
hh>n 在[m,n]上单调递减 f(m) f(n)
m≤h≤n m≤h< 在[m,h]上单调递减,在(h,n]上单调递增 f(n) f(h)
h= f(m)或f(n) f(h)
变式训练2函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解 由函数f(x)=x2-2x+2知其图象开口向上,对称轴为直线x=1.下面分三种情况讨论:
当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当 即0探究点二　与最值有关的应用问题
【例2】 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆车
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少
所以当x=4 050,即每辆车的月租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.
规律方法　1.本题建立的是一元二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.
2.解函数应用题的一般步骤是
变式训练3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
其中x(单位:台)是仪器的产量.
(1)将利润表示为产量的函数f(x).
(2)当产量为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少元 (总收益=总成本+利润)
(2)当0≤x≤400时,f(x)=- (x-300)2+25 000,
∴当x=300时,f(x)max=25 000.
当x>400时,f(x)=60 000-100x单调递减,
f(x)<60 000-100×400<25 000.
∴当x=300时,f(x)max=25 000.即产量为300台时利润最大,最大利润为
25 000元.
探究点三　利用函数的最值解决恒成立问题
所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.
记y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
因为y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,
故当x=1时,y取得最小值,最小值为3+a,
所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立,
所以实数a的取值范围为(-3,+∞).
规律方法　对于任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为最值问题:f(x)min>a来解决.对于任意x∈D,f(x)变式训练4已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数的最值;
(2)一元二次函数在给定区间上的最值(或值域);
(3)与最值有关的应用.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:在求函数的最值时,一定注意函数的定义域,有值域不一定存在最值.
学以致用·随堂检测促达标
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3
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5
1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别
是(　　)
A.f(-2),0
B.0,2
C.f(-2),2
D.f(2),2
6
C
解析 由图象可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.
1
2
3
4
5
2.函数y=|x+1|+2的最小值是(　　)
A.0 B.-1 C.2 D.3
C
解析 y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
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2
3
4
5
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(　　)
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
D
解析 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数取得最小值为-1;当x=3时,函数取得最大值为3.故函数的值域为[-1,3],故选D.
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11
解析 当x∈[1,2]时,f(x)单调递增,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1)时,f(x)单调递减,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
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5.已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
(-∞,-1]　
解析 因为f(x)=2x-3为增函数,所以当x≥1时,f(x)≥-1.又因为当x≥1时,f(x)≥m恒成立,所以m≤-1,故m∈(-∞,-1].
6.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.
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本 课 结 束

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