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第二章
4.1　函数的奇偶性
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解奇函数、偶函数图象的特征.
3.会判断(或证明)函数的奇偶性.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　奇、偶函数的定义
函数 奇函数 偶函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且 说明集合A是关于原点对称的 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
结论 称函数f(x)为奇函数 称函数f(x)为偶函数
图象特征 图象关于原点对称 图象关于y轴对称
定义域特征 奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称 注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
奇偶性是函数的整体性质
名师点睛
1.判断函数的奇偶性要“二看”
(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:
①f(-x)=f(x) f(x)是偶函数;
②f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数;
③f(-x)≠±f(x) f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
④f(-x)=±f(x) f(x)既是奇函数,又是偶函数.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0.f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
思考辨析
1.对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性
若f(-x)-f(x)=0呢
提示 由f(-x)+f(x)=0,得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.由f(-x)-f(x)=0,得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
2.(1)如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值
(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图象上,则还有哪一个点一定在其图象上 若f(x)为偶函数呢
提示 (1)f(x)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图象上;若f(x)为偶函数,则点
(-x,f(x))一定在其图象上.
自主诊断
1.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则f(-2)=　　　　　.
1
解析 ∵当x>0时,f(x)=-x+1,∴f(2)=-2+1=-1.又f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(-2)=-f(2)=1.
2.[人教A版教材习题]已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.
解 补充后图象如图所示.
3.[人教A版教材习题](1)从偶函数的定义出发,证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
(2)从奇函数的定义出发,证明函数y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
证明 (1)充分性:若y=f(x)的图象关于y轴对称,设M(x0,f(x0))为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点M'(-x0,f(x0))仍在该图象上,即f(-x0)=f(x0).
所以y=f(x)为偶函数.
必要性:若y=f(x)为偶函数,设M(x0,f(x0))为f(x)图象上任意一点,因为y=f(x)为偶函数,所以f(x0)=f(-x0).
所以图象上另一点M'(-x0,f(-x0))与M关于y轴对称,所以y=f(x)的图象关于y轴对称.
(2)充分性:若y=f(x)的图象关于原点对称,设M(x0,f(x0))为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点M'(-x0,-f(x0))仍在该图象上,所以f(-x0)=-f(x0),所以y=f(x)为奇函数.
必要性:若y=f(x)为奇函数,设M(x0,f(x0))为其图象上任意一点,
因为y=f(x)为奇函数,所以-f(x0)=f(-x0),所以图象上另一点M'(-x0,f(-x0))与M关于原点对称,所以y=f(x)的图象关于原点对称.
知识点2　函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互
为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
名师点睛
1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这将研究其单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若f(x)为奇函数且在[a,b]上有最大值,则f(x)在[-b,-a]上有最小值.(　　)
(2)函数f(x)为偶函数且在[1,2]上单调递增,则f(x)在[-2,-1]上也单调递增.
(　　)
(3)f(x)为偶函数且在[2,+∞)上单调递增,则f(-2)√
×
√
2.[人教B版教材习题]已知函数f(x)满足f(-3)>f(-1),分别在下列各条件下比较f(3)与f(1)的大小:
(1)f(x)是偶函数;
(2)f(x)是奇函数.
解 (1)因为函数f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x),因此f(3)=f(-3),f(1)=f(-1),从而由条件可知f(3)>f(1).
(2)因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
因此f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1),
由条件可知-f(3)>-f(1),因此f(3)3.[人教A版教材习题]已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上单调递减,判断f(x)在(-∞,0)上单调递增还是单调递减,并证明你的判断.
解 f(x)在(-∞,0)上单调递增.证明如下:
任取x1-x2>0.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以f(-x1)因为f(x)是偶函数,
所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),
所以f(x1)重难探究·能力素养速提升
探究点一　判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=x3-2x;
解 (1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,且对任意的x∈R,有
f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
规律方法　判断函数奇偶性的两种方法
1.定义法:
2.图象法:
变式训练1判断下列函数的奇偶性:
(4)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
探究点二　利用函数的奇偶性求解析式
【例2】 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
解 (1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.
当x=0时,f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
变式探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
规律方法　已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=f(-x)=φ(-x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
探究点三　奇偶函数性质的应用
角度1奇偶函数的图象性质
【例3—1】 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出函数y=f(x)完整的图象;
(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解 (1)由题意作出函数图象如图,
(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).
规律方法　由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.
变式训练2已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么(　　)
A.f(2)=2
B.f(2)=-2
C.f(2)>-2
D.f(2)<-2
C
解析 由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C.
角度2利用奇偶函数的性质求解析式中的参数
【例3—2】 若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=　　　　　.
规律方法　利用奇偶性求参数的方法
(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.
变式训练3函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m=　　　　　.
±1
解析 根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有
(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.
探究点四　函数奇偶性与单调性的综合应用
角度1比较函数值的大小
【例4-1】 已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则
f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)A
解析 ∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(2)变式探究(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”,其他条件不变,则
f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解 (1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递减,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)规律方法　应用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
角度2解函数不等式
【例4-2】 已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)解 因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递减.
变式探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解 因为函数为区间[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,
不等式可化为f(|1-m|)规律方法　解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号“f”,使不等式得解.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数奇偶性的概念;
(2)函数奇偶性与单调性的关系.
2.方法归纳:特殊值法、数形结合法.
3.常见误区:忽略函数的定义域的对称性,只有定义域关于原点对称,才可能具有奇偶性.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.(多选题)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(　　)
A.y=x2(x>0) B.y=|x+1|
C.y= D.y=3x-1
ABD
1
2
3
4
5
2.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间
(-∞,-1]上单调递增,则(　　)
D
1
2
3
4
5
3.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中不一定正确的是(　　)
A.f(-x)+f(x)=0
B.f(-x)-f(x)=-2f(x)
C.f(x)·f(-x)≤0
D
1
2
3
4
5
4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=　　　　　.
-26
解析 令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
1
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3
4
5
6.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解 ∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6.故a的取值范围为(6,+∞).
1
2
3
4
5
本 课 结 束

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