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第二章
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数 的图象,理解它们的变化规律.
3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　幂函数的定义
一般地,形如　　　　　(α为常数)的函数,即　　　　是自变量、
　　　　是常数的函数称为幂函数.
名师点睛
1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数 就不是幂函数.
2.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
y=xα
底数
底数
思考辨析
y=1是幂函数吗
提示 不是,它与y=x0=1(x≠0)不是同一函数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=8x2都是幂函数.(　　)
(2)一元二次函数都是幂函数.(　　)
2.在函数①y= ,②y=3x2,③y=x2+2x中,是幂函数的为　　　　　.(填序号)
×
×
①
解析 函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α为常数)的形式,所以它不是幂函数.
知识点2　幂函数的图象和性质
1.常见的五种幂函数的图象
2.幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
定义域 R R R 　 　 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R 　 　 R 　 　 (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 　 　 　 奇函数 　 　
　 　
单调性 在R上是 　　 　 在[0,+∞)上 　　　　　,在(-∞,0]上 　 在R上是 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上
　 ,
在(-∞,0)上

公共点 (1,1) [0,+∞)　
[0,+∞)
[0,+∞)
奇函数
偶函数
既不是奇函数,也不是偶函数
奇函数
增函数
增函数
单调递增
单调递减
单调递减
单调递减
名师点睛
幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:
(1)当α>0时,图象都经过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.
(2)当α<0时,图象都经过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
思考辨析
通过对5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象 哪个象限一定没有幂函数的图象
提示 第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).(　　)
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.(　　)
×
√
2.如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±
四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的解析式中n的值依次为(　　)
B
3.3.17-1与3.71-1的大小关系为　　 　　　.
3.17-1>3.71-1
4.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),试求出此函数的解析式,并画出图象,判断奇偶性、单调性.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　幂函数的概念
【例1】 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3,或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
规律方法　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数 的图象不过原点,求实数m的值.
解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
探究点二　幂函数的图象
C
解析 函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数,选项A,直线对应函数为y=x,曲线对应函数为y=x-1;选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为
选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2;选项D,直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3或y=x2.故选C.
规律方法　对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越
大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或 ,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递减.
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
A
解析 画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n探究点三　利用幂函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
规律方法　1.比较幂的大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须转化为同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
探究点四　幂函数图象的应用
【例4】 已知点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问当x满足什么条件时,有(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1变式训练3 [2024湖南常德高一期末]已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数h(x)=2f(x)-kx-1在[-1,1]上具有单调性,求实数k的取值范围.
解 (1)因为幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以函数f(x)=x2.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)幂函数的定义;
(2)几个常见幂函数的图象;
(3)幂函数的性质.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.
3.常见误区:对幂函数形式的判断易出错,只有形如y=xα(α为常数)的函数为幂函数,其他形式都不是幂函数.
学以致用·随堂检测促达标
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2
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B
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3
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5
2.幂函数y=x2,y=x-1, 在第一象限内的图象依次是下图中的曲线
(　　)
A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
6
D
解析 幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4,
y= 在第一象限内的图象为C2,y= 在第一象限内的图象为C3.
1
2
3
4
5
3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
6
B
解析 幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即m<
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴y=f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数,不符合题意;
当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
故m=1.
1
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4.函数y=x-3在区间[2,4]上的最小值是　　　　　.
解析 因为函数y=x-3在(0,+∞)上单调递减,
所以当x=4时,y取得最小值4-3=
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5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　.
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6.比较下列各组中两个值的大小:
(2)0.61.3与0.71.3;
(4)0.18-0.3与0.15-0.3.
(2)∵幂函数y=x1.3在区间(0,+∞)上单调递增,且0.6<0.7,∴0.61.3<0.71.3.
(4)∵幂函数y=x-0.3在区间(0,+∞)上单调递减,且0.18>0.15,∴0.18-0.3<0.15-0.3.
本 课 结 束

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