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第二章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
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易错易混·衔接高考
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一　求函数的定义域、值域
1.定义域:关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义;抽象函数的定义域一般用代入法求解.
2.值域:首先考查函数类型,再确定函数在定义域上的单调性,最后计算最值.解题过程中要灵活应用换元法、配方法等方法,含字母的要分情况讨论.
B
★(2)若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是(　　)
A.[-4,4] B.[-4,2] C.[-4,-2] D.[2,4]
B
解析 由题知-2≤-x≤4,得-4≤x≤2.
所以函数g(x)=f(-x)的定义域是[-4,2].
规律方法　求函数的定义域,始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值范围;求函数的值域,别忘了定义域优先的原则.另外,定义域、值域一定要写成集合或区间的形式.
D
★(2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1,2],则y=f(1-3x)的定义域为(　　)
C
解析 由-1≤x≤2,得-2≤x-1≤1,
所以-2≤1-3x≤1,解得0≤x≤1.
专题二　分段函数
1.作分段函数的图象、求单调区间、求值域或最值、求解析式等问题的解决均可用四个字概括——分段处理.
2.掌握基本函数求值运算,会画简单函数的图象,提升数学运算和直观想象素养.
是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示),知
∴1规律方法　已知函数的奇偶性求参数值,可利用奇偶函数定义求解.
变式训练2已知函数 是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,0) B.(-∞,-2] C.[-3,-2] D.(-∞,0)
C
专题三　函数的性质及应用
1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点题型,解不等式时经常结合图象,要注意勿漏定义域的影响.
2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明,会简单的综合运用,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
【例3】 设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(-x)=f(x),f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2a2+a+1)解 ∵f(x)是定义在R上的函数,且f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
又f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
规律方法　1.解决有关函数性质的综合应用问题时,可以根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
∵-2≤x1∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在[-2,-1]上单调递增.
专题四　函数图象的作法及应用
1.作函数的图象,可以用描点法,也可以用变换法,要注意利用函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图.
2.借助函数的图象可以求函数值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
3.掌握简单的基本函数图象,提升直观想象和逻辑推理素养.
【例4】 (1)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则实数a的值为　　　　　.
解析 函数y=|x-a|-1的图象如图所示,因为直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,故2a=-1,解得a= .
★(2)已知函数f(x)=x2-2|x|+a,其中x∈[-3,3].
①判断函数f(x)的奇偶性;
②若a=-1,试说明函数f(x)的单调性,并求出函数f(x)的值域.
解 ①因为定义域[-3,3]关于原点对称,f(-x)=(-x)2-2|-x|+a=x2-2|x|+a=f(x),即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
②当0≤x≤3时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2;当-3≤x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2.
作出函数的图象,如图所示.所以函数f(x)在区间
[-3,-1],[0,1]上单调递减,在(-1,0),(1,3]上单调递增.
当0≤x≤3时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为f(1)=-2,最大值为f(3)=2;
当-3≤x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为f(-1)=-2,最大值为f(-3)=2.
故函数f(x)的值域为[-2,2].
规律方法　函数图象可以使问题变得直观,但仍要结合代数运算才能获得精确结果.
变式训练4(1)对于任意x∈R,函数f(x)表示 ,x2-4x+3中的较大者,则f(x)的最小值是　　　　　.
2
如图,分别画出三个函数的图象,得到三个交点A(0,3),B(1,2),C(5,8).从图象观察可得函数f(x)的
表达式为
f(x)的图象是图中的实线部分,图象的最低点是点B(1,2),所以f(x)的最小值是2.
(2)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
①求f(-1);
②求f(x)的解析式;
③画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
解 ①由于函数f(x)是R上的奇函数,所以对任意的x都有f(-x)=-f(x),
所以f(-1)=-f(1)=-(-1+2+2)=-3.
②设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2.
又因为f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
因此f(x)=x2+2x-2.
③先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示.
由图可知,其单调递增区间为[-1,1],单调递减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).
易错易混·衔接高考
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1.[2024四川泸州高一期末]已知f(x)是定义在[0,1]上的函数,那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
A
解析 若函数f(x)在[0,1]上单调递增,由单调性的定义可知,此时函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),即充分性成立;若函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则函数f(x)在[0,1]上不一定单调递增,比如函数f(x)=(x- )2,故必要性不成立.综上,“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.
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2.已知函数f(x)=ax2-x(a≠0),若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则实数a的取值范围是(　　)
C
解析 因为f(x)=ax2-x对任意x1,x2∈[2,+∞),且x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1
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3.[2024江西宜春高一期末]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=ax+1,若f(-2)=5,则不等式f(x)> 的解集为(　　)
A
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4.(多选题)已知函数f(x)=x2-2x-3,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小值为-4
B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.函数f(|x|)为偶函数
D.若方程f(|x-1|)=a在R上有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
ACD
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解析 二次函数f(x)在x=1处取得最小值,且最小值f(1)=-4,故A正确;二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1,其在(0,+∞)上不具有单调性,故B错误;由f(x)得,f(|x|)=|x|2-2|x|-3,显然f(|x|)为偶函数,故C正确;令h(x)=f(|x-1|)=|x-1|2-2|x-1|-3,方程f(|x-1|)=a的零点转化为y=h(x)与y=a的交点,作出h(x)图象如图所示,图象关于x=1对称,当y=h(x)与y=a有四个交点时,两两分别关于x=1对称,所以x1+x2+x3+x4=4,故D正确.故选ACD.
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5.[2024江苏镇江期末]幂函数f(x)满足下列性质:(1)对定义域中任意的x,有f(x)=f(-x);(2)对(0,+∞)中任意的x1,x2(x1≠x2),都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0,请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式f(x)=　　　　　　　.
x-2(答案不唯一)
解析 由题意知幂函数f(x)满足性质:对定义域中任意的x,有f(x)=f(-x),则函数为偶函数,又函数满足对(0,+∞)中任意的x1,x2(x1≠x2),都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0,可知函数在(0,+∞)上单调递减,故f(x)=x-2满足题目中要求.
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6.[2024河南许昌高一期末]已知函数f(x)=x+ .
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并用定义法证明;
(2)写出函数f(x)的单调区间,并用定义法证明某一个区间的单调性;
(3)求函数f(x)在[2,9]上的最大值和最小值.
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因为0所以x1x2<9,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,则f(x)在(0,3)上单调递减.
本 课 结 束

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