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(共43张PPT)
第三章
§1　指数幂的拓展　§2　指数幂的运算性质
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.通过对有理数指数幂　　(a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　指数幂的拓展
1.正分数指数幂
互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数

2.负分数指数幂
给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义
3.无理数指数幂
一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定
这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数.
名师点睛
1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理数指数幂.分数指数幂　　　
　不可理解为　个a相乘,它是根式的一种写法.
2.正数的负分数指数幂为正数.
思考辨析
提示 不正确,因为在指数幂的概念中,总有a>0.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)0的任何指数幂都等于0.(　　)
×
×
√
×
D
3.[人教A版教材习题]用根式的形式表示下列各式(a>0):
知识点2　指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:

运算性质的成立需此约束条件的限制
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
名师点睛
1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用:
2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质进行计算.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
×
√
√
×
2.[人教A版教材习题]设a>0,则下列运算中正确的是(　　)
D
重难探究·能力素养速提升
探究点一　利用分数指数幂的定义求值
D
规律方法　解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解.
A
探究点二　根式的化简(求值)
【例2】 求下列各式的值:　
解 (1)原式=a-b+b-a=0.
∴当-3当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
变式探究(1)该例中的(2),若x<-3呢
(2)该例中的(2),若x>3呢
解 由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.
(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,
故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.
(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,
故原式=(x-1)-(x+3)=-4.
2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定　　中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
探究点三　指数幂的化简与求值
【例3】 计算下列各式的值:　
规律方法　对于指数幂的化简与求值要注意以下两点:
(1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
(2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
探究点四　条件求值
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.　
得a+a-1+2=5,
即a+a-1=3.
(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,
即a2+a-2=7.
(3)设y=a2-a-2,两边平方,得
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以y=±3 ,即a2-a-2=±3 .
规律方法　解决条件求值问题的一般方法——整体法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体法”求值时常用的变形公式如下:
解 ∵x+y=12,xy=9,
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
∵x本节要点归纳
1.知识清单:
(1)实数指数幂的性质;
(2)指数幂的化简与求值.
2.方法归纳:转化法、整体代换法.
3.常见误区:在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
学以致用·随堂检测促达标
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2
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5
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A.5-2a B.2a-5
C.1 D.-1
C
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6
2.下列各式正确的是(　　)
D
1
2
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1
2
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3.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为(　　)
A.15 B.17 C.35 D.37
B
1
2
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4
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[2,4)∪(4,+∞)
解析 由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4.
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6.已知实数x满足x2-mx+1=0(x>0),求:
(1)x2+x-2(用m表示);
(2)x-x-1(用m表示).
1
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3
4
5
6
本 课 结 束

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