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第三章
3.1-3.2 第1课时　指数函数的概念、图象和性质
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
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学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.通过具体实例,理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　指数函数的概念
　 分“a>1”和“0当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应.因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.(1)定义域为R,函数值大于0;(2)图象过定点(0,1).
名师点睛
1.当x=0时,y=a0=1,即指数函数的图象过定点(0,1).
2.根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数才叫指数函数,如
思考辨析
指数函数为什么要规定a>0,且a≠1
提示 如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如 无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)y=xx(x>0)是指数函数.(　　)
(2)y=ax+2(a>0,且a≠1)是指数函数.(　　)
(3)若f(x)=ax为指数函数,则a>1.(　　)
×
×
×
2.[人教A版教材习题]下列图象中,有可能表示指数函数的是(　　)
C
解析 因为y=ax>0(a>0,且a≠1),所以A,B,D都不正确.故选C.
3.[人教A版教材习题]已知函数y=f(x),x∈R,且f(0)=3,
=2,n∈N+,求函数y=f(x)的一个解析式.
知识点2　指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质 a>1 0图象
性质 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (4)当x<0时,00时,y>1 (4)当x<0时,y>1;当x>0时,0(5)在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0 (5)在R上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大
2.函数y=ax和y=bx函数值的大小关系
x x<0 x=0 x>0
0bx>1 ax=bx=1 0a>b>1 0bx>1
3.一般地,指数函数y=ax和y=( )x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相反.
注意区分函数本身图象关于y轴对称,与两个函数的图象关于y轴对称的不同
名师点睛
1.指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,所以指数函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.指数函数的图象永远在x轴的上方.当x>0时,底数越大,图象越高,简称“底大图高”.
思考辨析
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么 具体变化特征是什么
提示 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于a的值.当a>1时,图象具有上升趋势,当x>0时,底数a的值越大,函数图象“越陡”,函数值增长得越快;当0自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.(　　)
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(　　)
(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).(　　)
(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|(a>0,且a≠1)的图象是相同的.(　　)
×
√
√
×
2.指数函数y=2x的定义域是　　　　　,值域是　　　　　.
R
(0,+∞)
3.[人教B版教材例题]利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1)0.8-0.1与0.8-0.2;
(2)2.5a与2.5a+1.
解 (1)因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值,所以考查函数y=0.8x,由于这个函数在实数集R上是减函数,
又因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
(2)因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值,所以考查函数y=2.5x,由于这个函数在实数集R上是增函数,又因为a4.[人教A版教材习题]体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晚期就急剧增加,画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
解 设体内癌细胞的初始数量为k,时间为t,体内癌细胞数量为y,癌细胞的增殖速度是用倍增时间计算的,体内癌细胞数量y是时间t的指数型函数y=k·at(k,a为常数,且k>0,a>1),其增殖速度可以用“爆炸”来形容,如图.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　指数函数的概念
【例1】 (1)若指数函数f(x)满足f(2)-f(1)=6,则f(3)=　　　　　.
27
解析 设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
规律方法　1.判断一个函数是不是指数函数的方法
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)这一结构形式.
(2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函数.
2.已知某个函数是指数函数,求参数值的步骤
(1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等式(组).
(2)解:解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.
变式训练1下列函数一定是指数函数的是　　　　　.(填序号)
①y=5x;②y=4x-1;③y=-3x;④ ;⑤y=(5x)x;⑥ ;⑦y=(a+3)x.
①⑥
解析 ①y=5x符合指数函数的定义,是指数函数;
②y=4x-1中,指数是x-1而非x,不是指数函数;
③y=-3x中,系数是-1而非1,不是指数函数;
④ 中,底数是自变量x,不是指数函数;
⑤y=(5x)x中,底数和指数均是自变量x,不是指数函数;
⑥ ,符合指数函数的定义,是指数函数;
⑦y=(a+3)x中,底数a+3不一定满足“大于0,且不等于1”的条件,不一定是指数函数.
探究点二　指数函数的图象及应用
角度1指数型函数图象过定点问题
【例2-1】 已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是　　　　　　　　.
(-1,4)
解析 ∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).
变式探究本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
规律方法　指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例2-2】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.
(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.
解 (1)如图①,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)如图①,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
(3)如图①,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.
(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图②所示.
规律方法　变换作图法及注意点
(1)平移变换及对称变换:
(2)翻折变换:
①将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,替代原x轴下方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得到函数y=|f(x)|的图象.
②将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可得到函数y=f(|x|)的图象.
(3)利用变换作图法作图要注意以下两点:
①选择哪个指数函数作为起始函数;
②要注意平移的方向及距离.
变式训练2函数 的图象有什么特征 你能根据图象指出其值域和单调区间吗
∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是
(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞).
角度3指数函数图象的识别
【例2-3】 如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　)
A.aB.bC.1D.aA
解析 (方法一)①②中函数的底数大于0且小于1,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有b(方法二)作直线x=1,与函数①②③④的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由图可知b规律方法　指数函数图象的特点
指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即底数,由此可得底数的大小.
变式训练3若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有(　　)
A.00 B.0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0
D
解析 如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
探究点三　利用指数函数单调性比较幂值大小
【例3】 比较下列各题中两个值的大小:
(1)2.53,2.55.7;
(3)2.3-0.28,0.67-3.1.
解 (1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数都是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.
(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,
则2.3-0.28<0.67-3.1.
变式训练4[2024江苏无锡高一期末]已知a=2.1-0.1,b=1.2-0.1,c=2.1-0.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.b>c>a
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
B
解析 a=2.1-0.1,b=1.2-0.1,c=2.1-0.2,∵函数y=2.1x是R上的增函数,∴a>c. ∵y=x-0.1是(0,+∞)上的减函数,∴aa>c,故选B.
规律方法　比较幂的大小的常用方法
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)指数函数的概念;
(2)指数函数的图象和性质.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合法、
换元法、分类讨论法.
3.常见误区:易忽视底数a的限制条件;易忽视对于a是否大于1进行讨论.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.下列函数图象中,有可能表示指数函数的是(　　)
C
解析 A为一次函数图象;B为反比例函数图象;D为二次函数图象;选项C的图象可能是指数函数模型.
1
2
3
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5
2.设a=0.20.2,b=0.20.3,c=0.30.2,d=0.30.3,则a,b,c,d的大小关系是(　　)
A.c>a>d>b B.c>d>a>b
C.c>a>b>d D.d>c>b>a
A
解析 由指数函数的单调性知a=0.20.2>b=0.20.3,c=0.30.2>d=0.30.3.由幂函数的单调性知b=0.20.3d=0.30.3=0.0270.1.综上可得,c>a>d>b.故选A.
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5
3.已知函数f(x)=ax-m+n(a>0,且a≠1,m,n为常数)的图象恒过点(3,2),则m+n=(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
B
1
2
3
4
5
4.函数f(x)=3|x|的图象是(　　)
A
解析 f(-x)=3|-x|=3|x|=f(x),f(x)是偶函数,可排除C,D,又当x>0时,f(x)=3x是增函数,排除B.
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5.已知某种细菌在培养过程中,每20 min繁殖一次,经过一次繁殖1个细菌变成2个,经过3 h,这种细菌由1个可繁殖成　　　　　个.
512
解析 因为3 h=(9×20)min,所以这种细菌由1个可繁殖成29=512(个).
本 课 结 束

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