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第三章
3.1-3.2 　第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用
重难探究·能力素养速提升
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学以致用·随堂检测促达标
重难探究·能力素养速提升
探究点一　解指数方程或不等式
解 要使函数 有意义,则ax-2-1≥0,即ax-2≥1.
当a>1时,由ax-2≥a0知x-2≥0,得x≥2;
当0综上可知,当a>1时,函数f(x)的定义域为[2,+∞);
当0规律方法　1.指数方程的求解方法
(1)同底法:形如af(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的方程,化为f(x)=g(x)求解.
(2)换元法:形如a2x+b·ax+c=0(a>0,且a≠1)的方程,用换元法求解,求解时应特别注意ax>0.
2.指数不等式的求解方法
(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解.
(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用换元法转化为一元二次不等式求解.
A.{-1,0} B.{1} C.{0} D.{0,1}
C
解析
∴3-1<3x+1<32,
∵y=3x在R上为增函数,∴-1解得-2又M={0,1},∴M∩P={0}.
解 原方程可化为 =2-2x,所以x2+1=-2x,
即x2+2x+1=0,解得x=-1.
探究点二　与指数函数有关的定义域、值域问题
【例2】 求下列函数的定义域和值域:
解 (1)由题意知x-4≠0,∴x≠4,
∴函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
∴函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
规律方法　求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型,前者的定义域是R,后者的定义域与y=f(x)的定义域一致.y=f(ax)的定义域由t=ax的值域在y=f(t)的定义域内决定,因此求 型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,要先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后画出y=at(t∈A)的草图或利用函数的单调性,求出原函数的值域.
(3)利用均值不等式求与指数函数有关的值域问题.
变式训练2求下列函数的定义域和值域:
解 (1)由题意知,定义域为R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
探究点三　指数型复合函数的单调性
解 设u=x2+2(a-1)x+2,指数函数 在R上为减函数,根据复合函数单调性同增异减的原则可知函数u=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减.
由于函数u=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上,且对称轴为直线x=1-a,要使函数u=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则4≤1-a,即a≤-3.
故a的取值范围为(-∞,-3].
变式探究本例(1)中函数改为“ ”呢
解 类似于例(1)的解法,设u=x2-2x+3,则该函数在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
又y=3u在R上是增函数,
∴函数 的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1].
规律方法　指数型复合函数单调性的判断方法
令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上单调递增;如果两者的单调性不同(即一增一减),那么复合后的函数y=af(x)在区间[m,n]上单调递减.
探究点四　指数型复合函数的奇偶性
【例4】 判断函数 的奇偶性.
规律方法　指数型复合函数奇偶性的判断方法及常用结论
指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的复合函数可以具有奇偶性,其判断方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.
结论:若a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax-a-x,g(x)= 都是奇函数.
变式训练3若函数 (a∈R)为奇函数,则a的值为　　　　　.
1
解析 函数f(x)的定义域为R,
又函数f(x)为奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0,解得a=1.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)解指数方程或不等式;
(2)求与指数函数有关的定义域和值域;
(3)指数型复合函数的单调性与奇偶性.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法、换
元法.
3.常见误区:求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0;利用单调性解决问题时,易忽视对底数的讨论.
学以致用·随堂检测促达标
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1.已知2x>21-x,则x的取值范围是(　　)
C
解析 ∵2x>21-x,∴x>1-x,即x> .
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2.函数y=( )1-x的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
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A
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3.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, ,则f(-8)的值是　　　　.
-4
解析 ∵y=f(x)是奇函数,
∴f(-8)=-f(8)= =-4.
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4.函数 的定义域是　　　　　,值域是　　　　　.
R
[1,+∞)
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5.解方程:22x+2+3×2x-1=0.
解 ∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则方程可化为4t2+3t-1=0,解得t= 或t=-1(舍去).
∴2x= ,解得x=-2.
6
6.已知定义在R上的函数 是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由);
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
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本 课 结 束

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