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第三章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
易错易混·衔接高考
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一　分数指数幂的运算
分数指数幂运算基本步骤
(1)有括号先算括号里面的,无括号先进行指数运算(即先乘方、开方),再乘除,最后加减.
(2)注意:①负指数幂化为正指数幂的倒数;②底数是负数,先确定符号;③底数是小数,要先化为分数;④底数是带分数的,要先化为假分数;⑤若是根式,则应先化为分数指数幂,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质.
【例1】 计算:
变式训练1计算:
专题二　与指数函数有关的图象问题
1.平移变换
(1)把函数y=f(x)的图象向右平移m个单位长度得函数y=f(x-m)的图象(m>0,若m<0,就是向左平移|m|个单位长度);
(2)把函数y=f(x)的图象向上平移n个单位长度得到函数y=f(x)+n的图象(n>0,若n<0,就是向下平移|n|个单位长度).
2.对称变换
(1)函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;
(2)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称;
(3)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.
【例2】 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为(　　)
A
解析 令(x-a)(x-b)=0,解得x=a或x=b.
观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象,可得其与x轴的两个交点的横坐标分别在区间
(-∞,-1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<-1,0★(2)画出下列函数的图象,并说明它们是由函数y=3x的图象经过怎样的变换得到的.
①y=3x-1;②y=3x+1;③y=-3x.
解 如图.
① y=3x-1的图象是由y=3x的图象向右平移1个单位长度得到的;
② y=3x+1的图象是由y=3x的图象向上平移1个单位长度得到的;
③ y=-3x的图象是由y=3x的图象关于x轴对称得到的.
变式训练2(1)函数 的图象大致为(　　)
B
★(2)画出函数y=2|x-1|的图象,并根据图象指出这个函数的对称性、单调性、值域.
其图象是由两部分组成的:一部分是把y=2x的图象向右平移1个单位长度,取x≥1的部分;另一部分是把 的图象向右平移1个单位长度,取x<1的部分.y=2|x-1|的图象如图中实线部分所示.
由图象可知,
①对称性:图象的对称轴为直线x=1.
②单调性:在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
③函数的值域:[1,+∞).
专题三　与指数函数有关的定义域、值域问题
解与指数函数有关的定义域、值域问题需注意:
(1)充分考虑指数函数本身的要求,同时考虑指数函数的单调性,特别注意ax>0.
(2)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(3)形如y=af(x)的函数的值域,先求出f(x)的值域,再结合y=au(u=f(x))的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
(4)形如y=f(ax)的函数的值域,先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.
【例3】 求出下列函数的定义域与值域:
解 (1)函数的定义域为R.
令-x2+2x=t,t=-(x-1)2+1≤1,
(2)∵4-2x≥0,∴x≤2,
∴函数定义域为{x|x≤2}.
∵2x>0,∴4-2x<4,又4-2x≥0,∴0≤4-2x<4,
∴y∈[-1,1),即函数值域是[-1,1).
专题四　指数函数单调性的应用
1.比较幂的大小的常用方法
(1)作差(商)法.
(2)函数单调性法.
(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C,B与C的大小即可.
(4)图象法:在同一直角坐标系中,作出相应函数的图象,根据条件观察图象变化规律,再作出分析判断.
2.解指数型不等式时,首先应化成同底的指数型函数,然后利用指数函数的单调性解决.
【例4】 (1)已知关于x的不等式 >3-2x,则该不等式的解集为(　　)
A.{x|x≥4} B.{x|x>-4}
C.{x|x<-4} D.{x|-4B
(2)比较下列各题中两个数的大小:
①1.72.5,1.73;②1.70.3,0.93.1;
③已知am>an(a>0,且a≠1),比较m,n的大小.
解 ①∵底数1.7>1,
∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.
∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.
②由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1.
0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.
③当a>1时,m>n;
当0变式训练4(1)已知指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),则实数a的取值范围是　　　　　.
解析 ∵指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),
∴函数f(x)在定义域内单调递减,
∴0<2a-1<1,解得 (2)比较0.8-0.1,1.250.2的大小.
解 1.250.2=0.8-0.2.∵0<0.8<1,
∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上是减函数.
又-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,
即0.8-0.1<1.250.2.
专题五　指数函数性质的综合应用
在性质的综合应用中,主要出现以指数函数为载体的复合函数,然后利用定义判断复合函数的奇偶性、单调性,从而解决问题.
【例5】 已知定义在R上的函数
(1)若f(x)= ,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
即m(22t-1)≥-(24t-1),
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1)恒成立即可.
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
∴要使m≥-(22t+1)恒成立,只需m≥-5,
故实数m的取值范围是[-5,+∞).
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明.
易错易混·衔接高考
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A
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2.[2023全国新高考卷Ⅰ,4]设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
D
解析 (方法一　导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.
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3.[2023全国乙,理4]已知 是偶函数,则a=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
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4.[2024湖南耒阳高一期末](多选题)下列说法正确的是(　　)
AC
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5.[2024黑龙江牡丹江高一期末](多选题)已知2x-2=( )y,则3x+3y的值可以
为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
CD
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6.[2024北京朝阳高一期末]已知函数f(x)=a·2x-1的图象过原点,则a=　　　　　;若对 x∈R,都有f(x)>m,则m的最大值为　　　　　.
1
-1
解析 ∵函数f(x)=a·2x-1的图象过原点,
∴a-1=0,∴a=1,∴f(x)=2x-1.
∵对 x∈R,2x>0,∴对 x∈R,f(x)=2x-1>-1.
又对 x∈R,都有f(x)>m,∴m≤-1,即m的最大值为-1.
本 课 结 束

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