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第四章
§1　对数的概念
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握对数式与指数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　对数的概念
1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以_____　　　为底　　　的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
名师点睛
“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算.
a
N
2.两种特殊的对数
名称 定义
常用对数 当对数的底数a=　　　　　时,通常称之为　　　　　　　,并将log10N简记为　　　　　
自然对数 在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln N
10
常用对数
lg N
思考辨析
1.logaN中N满足什么条件
2.对数式log32与log23的意义一样吗
3.任何一个指数式都可以化为对数式吗
提示 N>0.因为ab=N>0,所以N>0.
提示 log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,意义不一样.
提示 不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)logaN是loga与N的乘积.(　　)
(2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3.(　　)
(3)若3x=2,则x=log32.(　　)
×
×
√
2.[人教A版教材例题]把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(5)10-2=0.01.
(6)e2.303=10.
知识点2　对数的基本性质
1.负数和零没有对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1.
3.对数恒等式 =N.
名师点睛
1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对数lg N没有底数.(　　)
(2)只有负数没有对数.(　　)
×
×
2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为(　　)
B
3.计算log2 0241+log2 0242 024+eln 3=　　　　　.
4
解析 原式=0+1+3=4.
4.[人教B版教材例题]求下列各式的值:
重难探究·能力素养速提升
探究点一　对数式与指数式的互化
【例1】 (1)(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　)
A.e0=1与ln 1=0
D.log77=1与71=7
ABD
解析 C选项中,由log416=2,得42=16,故C错误,ABD均正确.
(2)将下列指数式与对数式互化:
① =-3;　
②43=64;
③e-1= ;　
④10-3=0.001.
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
规律方法　1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)表示a,b,N三者之间的同一种关系.
式子 名称 意义
a b N 指数式ab=N 底数 指数 幂 a的b次幂等于N
对数式ogaN=b 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于b
2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.
变式训练1将下列指数式与对数式互化:
(1)2-2= ;
(2)102=100;
(3)ea=16;
(5)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).
(2)log10100=2,或lg 100=2.
(3)loge16=a,或ln 16=a.
(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).
探究点二　利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x;　
(2)log7(x+2)=2;
(3)ln e2=x;　
(4)logx27= ;
(5)lg 0.01=x.
(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49.∴x=47.
(3)∵ln e2=x,∴ex=e2.∴x=2.
(5)∵lg 0.01=x,∴10x=0.01=10-2.∴x=-2.
规律方法　指数式ax=N(a>0,且a≠1)与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.
变式训练2求下列各式中的x值:
(1)log2x= ;(2)log216=x;(3)logx27=3.
(2)∵log216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.
(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33.∴x=3.
探究点三　利用对数的基本性质与对数恒等式求值
【例3】 求下列各式中x的值:
(1)ln(log2x)=0;　(2)log2(lg x)=1; (3) =9.
解 (1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.
(2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2.∴x=102=100.
规律方法　1.在对数的运算中,常见的对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,且a≠1);(3)logaa=1(a>0,且a≠1).
2.对指数中含有对数的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.
变式训练3求下列各式中x的值:
(1)ln(lg x)=1;
(2)log2(log5x)=0;
解 (1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e.
∴x=10e.
(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1.∴x=5.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数的概念;
(2)两种特殊对数:自然对数、常用对数;
(3)指数式与对数式的互化;
(4)对数的性质及对数恒等式.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
学以致用·随堂检测促达标
1
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5
1.将log5b=2化为指数式是(　　)
A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5
C
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5
2.已知ln x=2,则x等于(　　)
A.±2 B.e2 C.2e D.2e
B
解析 由ln x=2,得e2=x,即x=e2.
1
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3.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为(　　)
A
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4.已知a=log23,则2a=　　　.
3
解析 由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
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3
4
5
5.求下列各式中x的值:
(1)log8x=- ;(2)logx27= ;(3)log3(lg x)=1.
(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,故x=103=1 000.
本 课 结 束

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